CCINP Maths 1 MP-MPI 2023

SESSION 2023 MP1M1

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence
des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

1/5
EXERCICE 1

Dans cet exercice d'informatique commune, on se propose d'écrire des 
algorithmes dans le but de
faire du calcul matriciel et plus particulièrement afin d'utiliser les matrices 
d'adjacence d'un graphe.
Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très 
attentif à la rédaction
et notamment à l'indentation du code. L'usage de toute librairie est interdit.

Notation
Les matrices sont carrées et représentées par des listes dont les éléments 
correspondent aux lignes

1 2
de la matrice. Par exemple, la matrice A = L : est représentée par la liste 
[12].[8,4]|.

Dans la suite, pour définir la matrice d'adjacence Ae M, (R) d'un graphe ayant 
n sommets, on
numérote ses sommets de 0 à n-1.

Q1. Écrire une fonction produit (A, B) prenant en arguments deux matrices 
carrées À et B de

mêmes dimensions et qui renvoie AB le produit de la matrice À par la matrice B.

Q2. Écrire une fonction oriente (A) prenant en argument la matrice d'adjacence 
À d'un graphe et
qui retourne rue si le graphe est orienté et False sinon.

Q3. On admet que le nombre de chemins de longueur p reliant i et j dans un 
graphe de matrice
d'adjacence A est égal au coefficient d'indice (i,j) de la matrice AP.
Écrire une fonction distance À,i, j) où À est la matrice d'adjacence d'un 
graphe et qui renvoie
le nombre minimal d'arêtes que l'on doit parcourir pour atteindre le sommet / 
depuis le
sommet ; (on suppose qu'un tel chemin existe).

On considère deux tables : CLIENTS et PARTENAIRES. La première contient des 
informations sur
les clients et la deuxième permet d'identifier qui sont les partenaires des 
clients.

La table CLIENTS contient les attributs suivants :
- id : identifiant d'un individu (entier), clé primaire ;
- nom (chaîne de caractères) ;

- prenom (chaîne de caractères) ;

- ville (chaîne de caractères) ;

- email (chaîne de caractères).

La table PARTENAIRES contient les attributs suivants :

- id : identifiant de suivi (entier), clé primaire ;

- id_client : identifiant du client représenté par l'attribut id dans la table 
CLIENTS (entier) ;
- partenaire : nom du partenaire (chaîne de caractères).

Q4. Écrire une requête SQL permettant d'extraire les identifiants de tous les 
clients provenant de
la ville de « Toulouse ».

Q5. Écrire une requête SQL permettant d'extraire les emails de tous les clients 
ayant « SCEI »
comme partenaire.

215
EXERCICE I
Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul.
Pour toute matrice A

ai , j

1d i , j d n

· %n

, on note :
n

N A

max
1di dn

¦a

i, j

.

j 1

Q1. Démontrer que N est une norme sur %n

On munit l'espace %n,1

de la norme ~

On note S la sphère unité définie par : S

Q2. Démontrer que

X · S,

A · %n

Q4. Démontrer que

A · %n

1di dn

^ X · %n,1
,II AX

On pose alors, pour toute matrice A · %n

X · %n,1

max xi .

f

En déduire, pour toute matrice A · %n

Q3. Démontrer que

§ x1 ·
¨ ¸
¨ # ¸ · %n,1
¨x ¸
© n¹

définie, pour tout X

f

IX

.

,II A · %n
,II ||| A |||

Q5. Application. On considère la matrice A

f

, X

f

`

1 .

dN A .

, l'existence de sup AX
X ·S

, ||| A |||

sup AX
X ·S

,II AX

f

f

f

.

.

d ||| A ||| X

f

.

N ( A) .
§2
¨
¨3
¨5
©

2/5

0
2
0

1·
¸
3 ¸ . Calculer ||| A ||| .
1 ¸¹

, par :

EXERCICE II

On définit la fonction f:(x,y}+> x? -2xy +2y°+e7* sur R?.

Q6.

Q7.

Q8.

Établir que l'équation e-* = x admet une unique solution sur R.

Démontrer que f possède un unique point critique (X:Yo) eR°.

À l'aide de la matrice hessienne, démontrer que f admet un extremum local en 
(Xo: Yo)
Est-ce un minimum ou un maximum ?

PROBLÈME

Dans tout le problème, & est un réel appartenant à l'intervalle 10,1. On pose :

Q9.

1 xa-- 1 +0 ,a--1
I(a)- | dx et /(c)- | dx.

o1+X

Partie 1 - Calcul d'une intégrale à l'aide d'une série

xa 1
Démontrer que x +
1+ x

est intégrable sur [0,1] et sur [1,+c .

Q10. Démontrer que J{æ)=1(1-«).

On se propose maintenant d'écrire I(a) sous forme d'une somme de série.

Q11. 1° tentative

Pour tout x e [0,1] , on pose f,(x)= (1) x"+4-1| Montrer que :

xa-1 + 00
Vxe]0f, --- >, (x).
n=0

La série de fonctions Yf, converge-t-elle uniformément sur 10,1 ?

315
Q12. 2° tentative
Pour tout x e [0,1], on pose :

n
S, (x) = (1) xktat
k=0

À l'aide du théorème de convergence dominée, montrer que :

1
I(oe)= lim [ s,caex

N-->+00 0

En déduire une expression de I(@) SOUS forme d'une somme de série.

Q13. En déduire que :

+2 ,a-1 1 +2 _1 n
L(a)+J(a)= [ ete SC
n=1

On admet la formule suivante :

VxeR,  cos(ax)- MU) 145" ç ap 222500 |

7 a az = n°

n=1

Q14. Démontrer que :

+20 xa--1 T
dx = --
[. 1+x sin(az)

Partie Il - Lien avec la fonction Gamma

Dans toute la suite, on pose :

+00
Vx EUR|0,+|, r(9- | te t dt,
0
et
ee --Xxt
Vx e[0,+f, f, (x) = - 121° dt

Q15. Démontrer que l est bien définie sur |0,+|.

Q16. Démontrer que f, est bien définie et continue sur [O, +00] .

4/5
Q17. Démontrer que f, est de classe C\ sur 10, + et calculer sa dérivée.

Q18. Déterminer lim f, (x):

X-->+00

--t
Q19. Démontrer que Mers est intégrable sur 10, +00] . En déduire :

+00 __f
lim [ dt.
x--+0 J , (°

Partie III - Vers la formule des compléments

Q20. Pour tout x e]0,+«], démontrer que :

T(a)

x

Vérifier que g, est une solution particulière de l'équation différentielle y -- 
y"=

En déduire que Vx e]0,+{, f, (x)=g, (x).

Q22. En déduire que :

+0 441 +00 __f
Î dr (a) ca dt

Q23. Démontrer l'identité suivante (formule des compléments) :

sin(ar)

F(a)r(1-a)-=

Q24. En déduire la valeur de l'intégrale de Gauss :

+,
| e t'df.
0

FIN
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