Centrale Maths 2 MP 2020

Mathématiques 2

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CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Caleulatrice autorisés (CN

Espaces à noyau reproduisant

Les espaces à noyau reproduisant ont des applications dans divers domaines 
comme l'apprentissage statistique
ou la résolution d'équations aux dérivées partielles.

Ce problème présente en partie IT quelques exemples d'espaces à noyau 
reproduisant, l'un de ces exemples étant
obtenu à partir de l'étude préalable dans la partie IT d'un opérateur intégral. 
La partie IV propose quelques
résultats sur les espaces à noyau reproduisant.

L'attention du candidat est attirée sur le fait que l'espace préhilbertien 
étudié n'est pas le même dans les
différentes parties du problème.

Définitions
Soit Z un intervalle de R et soit (E, (,-)) un espace préhilbertien réel muni 
de la norme || associée au produit
scalaire. On dit que E est un espace à noyau reproduisant sur I lorsqu'il 
vérifie les trois propriétés suivantes :

1. l'espace E est un sous-espace vectoriel de l'espace F(1,R) des fonctions 
définies sur 1 et à valeurs dans R:
2. pour tout x EUR 1, l'application V, : (E, ||) -- R définie par V,(f) = f(x) 
est continue ;
3. pour tout x EUR 1, il existe une application k, EUR E vérifiant,
VIJEE, f(x) = (ks, f).
On appelle alors noyau reproduisant l'application K définie par

V(z,t) EUR T2, K{(x,t) = k,(t).

Soit [a,b] un segment de R. On dit qu'une fonction f : [a,b] -- R est de classe 
Cl par morceaux s'il existe une
subdivision (t;)0<;<, de [a,b] telle que, pour tout à EUR [1,p], la restriction de f à ]x;_,,x;[ se prolonge en une fonction de classe ©! sur [x;_,,7;]. IT Préliminaires Soit (E, (:,-)) un espace préhilbertien réel, de norme associée |:|. Soit w un endomorphisme de E vérifiant, V(æ,y) EE,  (u(x),y) = (x, u(y)). Q 1. Soit Fun sous-espace vectoriel de E stable par u. Montrer que l'orthogonal F1 de Fest stable par u. On suppose qu'il existe un vecteur unitaire +, EUR F vérifiant {u(æo), To) = sup (u(x),x). zeF,|x|=1 Pour tout vecteur unitaire y EUR F'orthogonal à x,, on pose, pour tout réel #, (6) = x, cost + ysint, p(E) = (uo7(t),7(6)). Q 2. Montrer que w est de classe C1. Q 3. Calculer |y(t)| puis justifier que w'(0) = 0. Q 4. En déduire que u(x,) est orthogonal à y. 5. Montrer que x, est vecteur propre de u. q 0 prop II Étude d'un opérateur Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel des fonctions f : [0,1] -- R continues, muni du produit scalaire défini par, VDEE,  (f.9)= | F9 dr. 0 2020-03-06 10:49:59 Page 1/4 (cc) BY-NC-SA On note |:| la norme associée au produit scalaire. Pour tout s EUR [0,1}, on définit la fonction k, par, _ ftfl--s) sits.
On note également, pour tout (s,t) EUR [0,1]*, K(s,t) = k,(t).
Q 6. Soit s EUR |0,1|. Tracer la courbe représentative de k, sur |0,1|.

Q 7. Montrer que K est continue sur [0,1] x [0,1|.
Pour tout f EUR E, on pose,

Vse[01,  T(f)(s) = | (6) F(6) dt.

Q 8. Montrer que Test un endomorphisme continu de E.

Soit F'le sous-espace vectoriel de Æ formé des fonctions polynomiales. Pour k 
EUR N, on note p, la fonction définie
par pL(x) = x.

Q 9. Pour tout k EUR N, calculer T'(p,). En déduire que Fest stable par T°

Q 10. En déduire (T(p)) pour tout pe F.

Q 11. Soit f EUR E. Calculer T(f)(0) et T'(f)(1).

Q 12. Pour tout f EUR E, montrer que T{(f) est de classe EUR? puis que T(f)" = 
--f.
Q 13. Montrer que T'est injectif.

Q 14. Déterminer l'image de T.

Q 15. Soit À EUR R une valeur propre non nulle de T'et f un vecteur propre 
associé. Montrer que f est solution
de l'équation différentielle À f" = --f.

Q 16. Déterminer les valeurs propres de T'et montrer que les sous-espaces 
propres associés sont de dimen-
Sion 1.

Pour tout # EUR N°, on pose g,(x) = V2sin(krx). On note G = Vect((g)pen) et H = 
GT.
Q 17. Justifier que, pour tout (f,g) EUR E*,ona

(T(F).g) = (F. T(g))

On pourra utiliser la question 12.

On admet que,

If = 1
hEH,|h|=1
Q 18. En déduire que H = {0}.
Q 19. Montrer que la famille de vecteurs (g,)£en- est orthonormale.
On admet pour la suite que (gL)Len est une suite totale.

Pour tout f EUR E, on pose,

+00
1
Vx EUR 0,1} P(x) -- > 2e > 9»)9k(&):
n=1
Q 20. Montrer que ® est continue.
N
Pour tout N EUR N, on pose fn = D CF, gx)9r-
k=1

Q 21. Montrer que
li T -- | --=0.
ii IT) | =0

Q 22. En déduire T(f) = ®.

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IIT Exemples d'espaces à noyau reproduisant

Dans cette partie, E, désigne l'espace vectoriel des fonctions f : [0,1] -- R 
continues, de classe ©! par morceaux,
et vérifiant f(0) = f(1) = 0.

ITT. À -- Un exemple

Q 23. Montrer que l'on définit un produit scalaire sur E, en posant

Ve),  (|9- | f'(bg/ (6 dt.

Dans la suite de cette partie, on désigne par N la norme associée à ce produit 
scalaire.
Q 24. Montrer que, pour toute fonction f : [0,1] -- R de classe ©! telle que 
f(0) = 0, on a

x

Ve) 1< le f GO) at 0 On pose, pour tout f EUR E., UP) = KO Ode 0 où k, a été défini dans la partie précédente. Q 25. Soit fe E, de classe EUR*?. Montrer que U(f) = --T(f"). En déduire que U(f) = f. Q 26. Montrer que U est l'application identité de E;. Q 27.  Démontrer que l'espace préhilbertien (E,, (- | -)) est un espace à noyau reproduisant et que son noyau reproduisant est l'application ÆX définie dans la partie précédente. ITI.B -- Un contre-exemople On considère à nouveau l'espace ÆE des fonctions continues de [0,1] dans R, muni du produit scalaire défini par (f,g) = [rot dt. Q 28. Montrer que (ÆE, (:,-)) n'est pas un espace à noyau reproduisant. ITI.C -- Fonctions développables en série entière Q 29. Soit (a), EUR R\ une suite de réels telle que la série > _(a,) soit 
convergente.

Montrer que le rayon de convergence de la série entière Ù at" est supérieur ou 
égal à 1.

Dans la suite de cette sous-partie, on considère l'ensemble Æ, des fonctions de 
|---1,1[ dans R de la forme
+00
th ÿ at"
n=Û0
où (a,,), EUR R\ et > _(a,) convergente. Pour f, g EUR E,, on pose
+00 +00 +00
(f,g) = d_ a,b, où fit) at"etgith D) b,t".
n=Û0 n=0 n=0

Q 30. Montrer que Æ, muni de (-,-) est un espace préhilbertien réel.
Q 31. Soitx Ee |[---1,1[. Déterminer g, EUR E, tel que, pour tout f EUR E,,

J(x) -- (9x J)

Q 32. En déduire que E, est un espace à noyau reproduisant et préciser son 
noyau.

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III.D -- Autre exemple parmi les fonctions de classe C! par morceaux
On se donne dans cette sous-partie un réel a > CO.

On considère l'espace E, des fonctions f : [0,a] -- R, continues et de classe 
©! par morceaux sur [0,a|, et
vérifiant f(0) = 0. On munit FE, du produit scalaire défini, pour f, g EUR E2, 
par

(fo) = | f'(bg (0) dt.

Q 33. Montrer que la fonction (x,y) + min(x,y) est un noyau reproduisant sur 
(Æ3,(- | :)).

Soit Æ, l'espace des fonctions continues sur [0, a], à valeurs dans R, de 
classe C1 par morceaux et vérifiant de
plus f(a) = 0. Soit  : [0,a] -- R de classe ©! vérifiant w(a) = 0 et, pour tout 
x EUR [0, a], w'(x) < 0. Q 34. Déterminer un produit scalaire sur Æ, tel que la fonction (x,y) R min(y(x),w(y)) soit un noyau reproduisant sur l'espace préhilbertien Æ,. IV Quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisant IV.A - Continuité Soit (E, (:,-)) un espace à noyau reproduisant sur un intervalle Z, de noyau reproduisant K. Pour tout (x, y) EUR 1*, on pose k,(y) = K{x,y). Soit x EUR Î'et V, définie sur E par V,(f) = f(x). On pose N(V,) = sup |f(x)|. IfI=1 Q 35.  Démontrer que N(V,)= VER). XI ZX On suppose que Æ est continue sur Z X J. Q 36.  Démontrer que toutes les fonctions de Æ sont continues. IV.B - Construction d'un espace à noyau reproduisant On note ici Æ l'espace vectoriel des fonctions continues définies sur [0,1] et à valeurs dans R muni du produit scalaire défini par (J,9) = [ro dt. On considère une fonction À : [0,1] x [0,1] -- R continue. On s'intéresse à l'application T': E -- E définie par T(f)(x) = | A(x,6)f(0 dt. On suppose que ker T'est de dimension finie. Q 37.  Justifier que T'induit un isomorphisme de (ker T')= sur ImlT On note désormais $ la bijection réciproque de cet isomorphisme. On définit le produit scalaire @ sur Im T'en posant, pour tout (f,g) EUR (ImT}*, e(F:g) = (S(F), S(g)) On considère l'application K définie sur [0,1] par K{x,y) = | A(x,t)A(y,t)dt / Q 38. Montrer que (Im 1',4) cest un espace à noyau reproduisant, de noyau K°. ee erFINee.e 2020-03-06 10:49:59 Page 4/4 CO) 8Y-Nc-sA