e3a Mathématiques MP-MPI 2023

SESSION 2023 (> MP8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

.< _ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. . _ Ne pas utiliser de correcteur. « Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/6 EXERCICE 1 Soit n un entier naturel non nul. On note E, = R,[X] et pour tout k EUR [0, n], Px = X*. Questions de cours Soit & un réel. 1. Justifier que la famille & = (1,X -- &,....,(X -- a)") est une base de E,. 2. Soit P un polynôme de E,. Donner sans démonstration la décomposition de P dans la base & à l'aide des dérivées succes- sives du polynôme P. 3. On suppose que a est une racine d'ordre r EUR [1, n] de P. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par (X -- @)'. RRREE À tout polynôme P de E,, on associe le polynôme Q défini par : l Q(X) = X PO) -- > (X° -- 1) P'(X)

et on note 7 l'application qui à P associe Q.

'

Soit k EUR [0,71]. Déterminer T(P}).

5. Montrer que T est un endomorphisme de E,.
6.
7

. On suppose que 1 est une valeur propre réelle de l'endomorphisme T et soit P 
un polynôme

Écrire la matrice M de T dans la base Z = (Po, P1,...., P,) de E,.

unitaire, vecteur propre associé à la valeur propre À.

7.1. Montrer que P est de degré n.
7.2. Soit z, une racine complexe de P d'ordre de multiplicité r EUR N°. Prouver 
que Z -- |] = 0.

7.3. En déduire une expression de P.

. Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme T.

L'endomorphisme T est-1l diagonalisable ?

EXERCICE 2

Questions de cours

. Soient a et b deux réels avec a > 0. Choisir sans justification l'expression 
correcte de a? :

( A) e? In(a) ( B) ed In(b) (C) eln(a) M)

Soient x et y deux réels tels que x < y et f un réel de JO, If. Comparer r° et f'. . Donner, sans démonstration, le développement en série entière de la fonction exponentielle réelle et donner son domaine de validité. 2/6 +00 4, On considère la fonction T définie par T'(x) = [ le 'dt. 0 On admet que cette fonction est définie sur |0, +co[ et que, pour tout réel x strictement positif : Fx + 1) = x I (x). Calculer T (1) et en déduire, en effectuant un raisonnement par récurrence, la valeur de ['(n + 1) pour n EUR N. RRREE 5. Pour x e KR, on note, lorsque cela a un sens : 1 F(x) = [ f dt 0 5.1. Déterminer l'ensemble de définition de F. où, comme il est d'usage, # ="). 5.2. Déterminer le sens de variation de F.. 1 5.3. Démontrer que pour tout x réel positif, on a : F(x) > 5:

5.4. Démontrer que F est continue sur son ensemble de définition.

5.5. Déterminer lim F(x) et lim F(x).

X-- +00

Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs 
hypothèses
sont bien vérifiées.

5.6. Dresser alors avec soin le tableau de variations de F et donner une allure 
générale de

sa courbe représentative dans un repère orthonormal. On admettra que F"(0) = 1 
et on
tracera la tangente au point d'abscisse x = 0.
6. Soit x un réel strictement positif.
ne t* In"(®)
Pour tout entier naturel n, on note g, la fonction définie sur ]0, 1] par g,(f) 
= NS
n!

6.1. Démontrer que la série de fonctions > gh converge simplement sur |0, 1] et 
donner sa

neN
somme.
1
1 I(n+l
6.2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, [ |2,(#)| dé = LIG+D ,
0 n! (nx + 1)1

6.3. Établir enfin que l'on a :
+00
(1)
FO =

n+]
A (1 + ax)"

3/6
EXERCICE 3

On note E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles continues sur R..

Pour tout élément f de E et tout x EUR KR, on pose F(x) = [ f(u) du.
0
1. Justifier que F est de classe C' sur R. et donner pour tout x EUR R. 
l'expression de F'(x).

I
SotW:feE + W(f) défimepar:VxeR,, vh@= [ f (xt) dr.
0

2. Exprimer, pour tout réel x strictement positif, #(f)(x) à l'aide de F(x).
3. Justifier que la fonction Y(f) est continue sur R, et donner la valeur de 
#(f)(0).
4, Montrer que Y est un endomorphisme de E.

5. Surjectivité de Y
. [1
Soith:xeR;:t- h(x) = À in) pour x > 0
0 pour x = 0

5.1. Montrer que la fonction h est continue sur R..
5.2. La fonction h est-elle de classe C! sur R. ?

5.3. Soit g EUR Im(Y).
Montrer que la fonction x + x g(x) est de classe C ! sur R..

5.4. A-t-on h EUR Im(Y) ?

5.5. Conclure.

6. Montrer que Y est injective.

7. Recherche des éléments propres de Y
7.1. Justifier que 0 n'est pas valeur propre de Y.

Soit u EUR R. On considère l'équation différentielle (L) sur R° :
y + Ê y = 0.
x

7.2. Résoudre (L) sur R'.
7.3. Déterminer les solutions de (L) prolongeables par continuité sur R..

7.4. Déterminer alors les valeurs propres de Y et les sous-espaces propres 
associés.
8. SOLNEN, n>1I. Pouriefl,n], on pose :

x In(x) pour x > 0

fixeR fs degixeR re 00 = | à pour x=0

On note Z = (f1,....., fn, g1, ..., 8,) et F, le sous-espace vectoriel de E 
engendré par Z.

8.1. On veut montrer que la famille 8 = (fi, ....., f», 21, ...., 2,) est une 
base de F,

Soient (@;)iep1np Et (Bj)jepi.ny des Scalaires tels que > @; f; + > B; gi =0. 
(+)

i=1 j=1

4/6
8.1.1. Montrer que à; = B1 = 0.
On pourra simplifier l'expression (+) par x lorsque x est non nul.

8.1.2. Soit p EUR [1,n -- 1]. On suppose que a; = -::=«&, =f =: =pB, = 0.
Démontrer que &,:1 = Bp+1 = 0.

8.1.3. Conclure et déterminer la dimension de l'espace vectoriel F,.

8.2. Où l'on démontre que Y induit un endomorphisme sur F,

8.2.1. Soient x > 0 et p EUR N°. Montrer que l'intégrale [ | t" In(r) df est 
convergente et la
calculer. °
8.2.2. En déduire que Y induit un endomorphisme Y, sur F,.
8.3. Donner la matrice de l'application Y, dans la base 8.

8.4. Démontrer que W, est un automorphisme de F,.

2
8.5. soitzs rer eq = | (+5) pour x > 0
0 pour x=0

N . » ' ? ° |
Après avoir vérifié que z EUR F,, déterminer F, (2).

EXERCICE 4

Soit n un entier naturel non nul.

Questions de cours

1. Soit p une projection vectorielle de rang r EUR N.
1.1. Donner, en fonction de r, une matrice W de p dans une base adaptée.
1.2. Donner les spectres possibles de W.
1.3. Comparer rg(W) et tr(W).
1.4. Calculer det(W\).

RRREE

On considère la famille X,,..., X, de variables aléatoires indépendantes 
définies sur le même espace
probabilisé (Q, «7, P) toutes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p EUR]0, 
1[.

Soit M une variable aléatoire discrète de Q dans .#,(R) telle que pour tout w 
dans Q, M(w) est
diagonalisable et semblable à A(w) = diag(X;(w), ..., X,(w)).

2. On note 7 la variable aléatoire tr(M).

2.1. Déterminer T(Q), c'est-à-dire l'ensemble des valeurs prises par la 
variable aléatoire T..

2.2. Donner la loi de probabilité de T et l'espérance de la variable aléatoire 
T.

3. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire R = rg(M).
4, On note D la variable aléatoire det(M).

4,1. Déterminer D(Q).

5/6
4.2. Donner la loi de probabilité de D et calculer l'espérance de la variable 
aléatoire D.

5. On se propose de déterminer la probabilité de l'évènement Z :

« les sous-espaces propres de la matrice M ont tous la même dimension ».

5.1. On note V l'évènement : « M ne possède qu'une seule valeur propre ». 
Calculer P(V).
5.2. On suppose n impair. Déterminer P(Z).
5.3. On suppose n pair et on pose nr = 2r. Calculer P(T = r). En déduire P(Z).
X1(&)
6. Pour toutw EUR Q,onnote U(w)=| : |e.#,1(R)etA(w) = U(w)x(U(w))" = (a;;(w))
Xh(w)

G,j)e1,2]2

6.1. Soit w EUR Q). Déterminer, pour tout couple (5, j) EUR [1, n]", a; j(&).

6.2. Donner la loi de probabilité de chaque variable aléatoire a;;.

6.3. Montrer que tr(A) = > X;.
i=1
6.4. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire rg(A).

6.5. Pour tout w dans Q, donner les valeurs propres de la matrice A(w).

6.6. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire rg(A).

FIN

6/6
8.1.1. Montrer que à; = 1 = 0.
On pourra simplifier l'expression (+) par x lorsque x est non nul.

8.1.2. Soit p EUR [1,n -- 1]. On suppose que a; =-::=a, =, =: =f6, = 0.
Démontrer que &@,+1 = B+1 = 0.

8.1.3. Conclure et déterminer la dimension de l'espace vectoriel F,.

8.2. Où l'on démontre que Y induit un endomorphisme sur F,

8.2.1. Soit x > O et p EUR N°. Montrer que l'intégrale [ | 1" In(r) df est 
convergente et la
calculer. °
8.2.2. En déduire que Y induit un endomorphisme Y, sur F,.
8.3. Donner la matrice de l'application Y, dans la base 8.
8.4. Démontrer que Y, est un automorphisme de F,.

2
8.5. soie: re eq = | (+5) pour x > 0
0 pour x = 0

DN e. » + ? ? . -- |
Après avoir vérifié que z EUR F,, déterminer Y, (2).

EXERCICE 4

Question de cours

1. Rappeler la définition d'un évènement négligeable et d'un évènement presque 
sûr.

+ 2% 2

Soit (he une suite de réels telle que # = 1 et pour tout n > 1, u, EUR, If.
Pour tout n EUR N, on pose p, = | | Uy.
k=0
2. Étude de la suite (p, ex
2.1. Montrer que la suite (p,),en est convergente. On note £ sa limite.
2.2. Démontrer que £ EUR [0, If.
2.3. Soit q EUR [0, If. Montrer que s1 à partir d'un certain rang no, on a u, < g, alors EUR = 0. 2.4. Que peut-on dire de £ si la suite (u,) est décroissante ? 1 2.5. Déterminer la valeur de £ dans le cas où wo = 1 et pour tout n > 1,u, = 1 
-- + Ip
n
3. On considère une famille (X,),en de variables aléatoires définies sur le 
même espace probabilisé

(Q, A, P) avec :

e X, est constante et égale à 1,

e X, suit la loi de Bernoulli de paramètre u:1,

e pour tout n > 1, X, suit une loi de Bernoulli de telle sorte que :

Prx,=o1 Xy+1 = 1D = 0 et Prx,217 Au = 1) = ur.

5/6
3.1.

3.2.
3.3.

Démontrer par récurrence sur l'entier naturel n que l'on a :
VnenN, PIX, = 1]) = ps.

En déduire l'espérance E(X,) de la variable aléatoire X,.

Déterminer les valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles les deux variables 
aléatoires
X, et X,.1 sont indépendantes.

4, On suppose que £ = 0

4.1.

4.2.

4.3.

4.4,

Soit deux entiers naturels non nuls m et n tels que m < n. Montrer que la probabilité de l'évènement [X,, = 0[N[X,:1 = 1]N..N[X, = 1] est nulle. Quelle est la probabilité de l'évènement ae = 1]? k=0 En déduire que la probabilité de l'évènement À = [ [X, = 1] est nulle. neN On définit les variables aléatoires Y et Z par : Max{neN/X,(w) = 1} s'il existe Vo EUR Q, Y(w) = --] sinon et +00 > Xx(w) si la série converge
V &w E Q, Z(w) -- k=]1

+co Sinon

Démontrer que P([Y Æ Z]) = 0.
Que peut-on en conclure pour l'évènement [Y = Z]?

FIN

6/6