Mines Maths 1 MP-MPI 2023

A2023 --- MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Théorème de stabilité de Liapounov

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul. On note (.|.) le 
produit scalaire usuel
de K", K pouvant être R ou EUR, et |.| la norme euclidienne associée.
Si u et v sont deux applications linéaires pour lesquelles la notation u o v a 
un sens, alors on note
uv l'application u o v. De plus, si u est un endomorphisme d'un espace 
vectoriel Æ et k est un entier
naturel non nul, u" désigne l'application uo---o4, où w apparaît 4 fois dans 
l'écriture. Par convention
u° -- id E:

On s'intéresse au système différentiel suivant :

y -- (y)

y(0) -- xo

avec 0 EUR R" et est une application de classe C! de R"" à valeurs dans R", 
telle que @(0) = 0. Cela
entraîne que si zo = 0, alors la solution de ce système est la fonction nulle, 
et donc 0 est un point
d'équilibre. Notons dy(0) l'application différentielle de & en 0. L'objectif de 
ce problème est d'établir
une condition suffisante sur le spectre de dy(0) pour assurer la stabilité de 
l'équilibre en ce point, et

d'obtenir des informations quant à la dynamique des solutions au voisinage de 
ce point d'équilibre.
Plus précisément, on établit le résultat suivant :

Théorème de Liapounobv :
Soit le système différentiel suivant :

avec z0 EUR R° et @ est une application de classe C! de R" à valeurs dans R", 
telle que (0) = 0 et
telle que toutes les valeurs propres complexes de dy(0) aient une partie réelle 
strictement négative.
Alors il existe trois constantes &, C et B strictement positives telles que :

Vaoe B(0,à), VteR4, |f:,(0)| < Ce *|xol|, où fx, est l'unique solution du système différentiel et B(0, &) désigne la boule ouverte, pour la norme |.|, de centre 0 et de rayon à. Dans une première partie, on étudie une norme sur les endomorphismes des sous-espaces vecto- riels de K". Dans la seconde partie, on établit des résultats sur le système différentiel linéaire, en se servant des résultats de la partie À. Enfin, la troisième partie est consacrée à la démonstration du théorème de Liapounov. Cette dernière partie est très largement indépendante des deux premières, à l'exception du résultat obtenu à la fin de la partie B. A.. Etude d'une norme sur £(E) Soit Æ un sous-espace vectoriel de K". Soit u un endomorphisme de Æ. 1 oe Après avoir justifié l'existence des bornes supérieures, montrer que : -- sup |u(x SUD y] SUP lu(x)| T Ix|= 2 © On note [fu = sup reE  |t| xÆÙ . Montrer que ||.|| est une norme sur £L(E). 3 -- Montrer qu'il s'agit d'une norme sous-multiplicative, c'est-à-dire que : V(u,u) e L(EY, Iluvll < [full "II, et en déduire une majoration de |[u"||, pour tout entier naturel k, en fonction de ||u|| et de l'entier k. B.. Etude de la stabilité en 0 du système linéaire Dans cette partie, a désigne un endomorphisme de C7. 4 Montrer qu'il existe un entier naturel non nul r, des nombres complexes distincts A1, À2, ..., À, ainsi que des entiers naturels non nuls M1, M2, ...., m,, tels que : T C" -- E;. i=1 où pour 4EUR [l;r], E; = Ker(a -- \jidcn)"". D'après la question précédente, si x est un élément de C", il existe un unique r-uplet (x1,...,%,) EUR T E, x--.x E, tel que x -- > x. Fixons à présent ? EUR ]1;r]. On définit alors 
les endomorphismes :
i=1
C" -- E;, E; --  C"
Pi : | et qi: | |
TT + ZX; Ti > Li

Par ailleurs, on note ||.||; la norme sur £(E;) introduite à la partie À, à 
savoir

u(x
Vue L(F;), |lul:; = sup luc]

x F0
On utilisera la notation ||.||. pour £(C"). Enfin, on notera a; l'endomorphisme 
p;aq:.

5 = Montrer que, pour tout 4 EUR [l;r], il existe une constante C; > 0 telle 
que :

Vue L(Ei), |lqupille < Cillulls. 6 -- Montrer que, pour à EUR ]l;r], E; est stable par a. T 7 © Soient (i,5) EUR [1;r]°. Exprimer p;q; puis > ip en fonction des 
endomorphimes idcr et idp,.
i=1

T
8 -- Montrer que : a = > didiDi.
i=1

9 = En déduire que :

T
VER, e"-- > qe ps.
i=1
10 oe Montrer par ailleurs que :

a IN? *

11 > En déduire l'existence d'un polynôme P à coefficients réels tel que :

r

VteR, le] < P() Der, i=1 où Re(z) désigne la partie réelle d'un nombre complexe 2. 12 oe Pour toute matrice À EUR .#A(R), on notera u, l'endomorphisme canoniquement associé à À dans R' et v, l'endomorphisme de C" canoniquement associé à À, vue comme une matrice de Mn(C) . On conservera la notation ||. pour la norme introduite à la partie À sur £(C") et on utilisera ||.]|, sur £L(R?). Montrer qu'il existe C > 0 telle que :

VAE Mn(R), VER, le",   Sp(A)cR? +iR.
+00

14 = On se place dans cette question dans le cas où toutes les valeurs propres 
de À ont une partie
réelle strictement négative. Montrer alors qu'il existe deux constantes C2 et a 
strictement

positives telles que :
VteR,, fe", < Ce %, et en déduire une majoration de |g,(t)| pourteR.. C.. Démonstration du théorème de Liapounov On considère dans cette partie une application w de R° dans R" de classe C! telle que (0) = 0, et en notant a = dp(0), telle que toutes les valeurs propres de a aient une partie réelle strictement négative. Soit zo EUR R". On s'intéresse au système différentiel suivant : y -- (y) y(0) -- xo On admettra l'existence d'une solution de ce système définie sur R,, que l'on notera f,.. 15 oe Montrer que la fonction R'XR" -- R +00 au | (etre) dt est bien définie et qu'elle définit un produit scalaire sur R7. On notera q la forme quadratique associée à b, c'est-à-dire que pour tout æ ER", q(x) = b(x, x). 16 = Démontrer alors que : VxeR", dg(x)(a(x)) = 2b(x,a(x)) = -|x|?. Pour toute fonction y définie sur R}, on associe la fonction £(y) définie par : ii 7 À DT 4 p(y(t) -- a(y(t) 17 oe Vérifier l'égalité VER: q(fro) (6) = --| fr (| + 20( F0 (6); (Pro (0). 18 = Prouver l'existence de deux nombres réels a et 5 strictement positifs tels que, pour toutte R,, on ait : (ro) < à + | fr EI + 20 (Pro (6): Pro) (6) < -- BF ()). On fixe un tel couple («, 5) pour la suite de ce problème. 19 oe Montrer alors que : go)0, q(fro)(t) < e "q(xo). 20 = En déduire l'existence de trois constantes &, C et 5 strictement positives telles que : _ _B Vroe B(0,à), VteR.,, |f.(#4)| < Ce 2{|xol, où B(0,à) désigne la boule ouverte, pour la norme |.|, de centre 0 et de rayon à. FIN DU PROBLÈME