Mines Maths 2 MP-MPI 2023

A2023 --- MATH II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Fonction de Wallis

Préliminaires

Dans tout le sujet, l'intervalle | -- 1, +|{ de R est appelé I et o et f sont 
les fonctions,
de R dans R, définies par :

et

x /2
f(x) = | (sin(t)}® dé.
0
On se propose, dans cette épreuve, d'étudier f (domaine de définition, 
régularité, varia-

tions, convexité, développement éventuel en série entière.) puis, dans la 
dernière partie,
de montrer qu'elle est la seule fonction numérique à vérifier certaines 
propriétés.

1 Calcul de o{1)

1 > Déterminer le domaine de définition de & puis justifier que o est continue 
sur
celui-ci.

2 > Exhiber deux nombres réels & et 5 tels que :

T 1
Vn EUR N", | (at" + Bt) cos(nt) dt = --,
0

n?

puis vérifier que si & EURÏ0, tr}, alors :

MENT 2e con 2sn{t) 2

3 > Justifier que, si w est une application de classe C! de [0, 7] dans R, alors

T

lim o(t) sin(xt) dt = 0,

z--+00 J0
et en conclure que

2 Equivalents
4 > Déterminer le domaine de définition de f puis vérifier que

Vx el, (x+1)f(x) = (x +2)f(x +2). (1)

5 > Justifier que f est de classe C?, décroissante et convexe sur J.
6 > Donner un équivalent simple de f(x) lorsque x tend vers --1.

7 > Montrer que pour tout entier naturel n,

+

JOUE DE 3 ET

puis que :
T

f(x) V5:

t-- +00 2%

8 > Représenter graphiquement f en exploitant au mieux les résultats précédents.

3 Développement en série entière

x /2
Si n EUR N, on note D), l'intégrale généralisée | (In(sin(t)))" dt.
0

9 > Justifñier que, si n EUR N, l'intégrale généralisée L),, est convergente, 
puis montrer que

Di = | 7 n(cos(#)) dt.

10 > Calculer f'(0) et f'(1).
11 > Vérifier que si n EUR N*, alors

(--1)"D, = du,
0 e2u -- ]
puis que
mn --1}?n|!
D n--+00 ( 1) 7
12 > Démontrer que f est développable en série entière sur | -- 1,1{.

4 Convergence de suite de fonctions

On se propose dans cette partie de calculer f"(0). Dans ce but, on considère 
deux
nombres réels strictement positifs a et b, et on pose

_b--a
__b+a

P

On appelle Y l'application de R dans R définie par :

Vx ER, V(x) = In(a° cos" x + b° sin' x).

13 > Montrer que Y est de classe C! sur R,. puis que pour tout x EUR R.

+00
U'(x) = 4 p'sin(2kr).
k=1

14 > En déduire que pour tout x EUR R,

Y(x) = 21n (5) A cos(2kx) y

29 L P".

k=1

15 > En conclure que

| U(x)?dx -- 4x (in É = )) + 2r0(p?).
On définit les suites réelles (a )nen* et (bn )neN* par

1
et 0, -- 7

Vn EUR N°,an --
n + 1 n + 1

16 > Établir la convergence simple de la suite d'applications (Y,),en-, de ]0, 
x] dans R.
définie par :
Vn EUR N°, VtEURl0,r|}, V,(t) = In(a° cos" t + b° sin" t).

n

En déduire f"(0).

b Convexité logarithmique

Une application À d'un intervalle non trivial J de R dans R est dite In-convexe 
si, et
seulement si, elle est à valeurs dans R et In oh est convexe sur J.

17 > Vérifier que f est une application de 7 dans R In-convexe.

On souhaite désormais déterminer toutes les applications de 7 dans R qui sont 
In-
convexes et qui vérifient la propriété (1), voir question 4.
On appelle f l'application de R., dans R, définie par :

VreR*, f(x) = In(f(2x)).
18 > Montrer que

: u pi 2% +2k+I
N* R _ En | À.

19 > On suppose ici que x EUR R*, (n,p) EUR (N*)° et x < p. Vérifier que f(n)-- f(n--1) < f(n+x) -- f(n) c f(n + p) -- f{(n) et que (f(n + x) -- f(n)) admet une limite lorsque n tend vers +oo. 20 > En conclure que f est la seule application de 7 dans R, qui soit 
In-convexe, qui
vérifie (1) et telle que

x

0) = ©:

(0) = ©

21 > Plus généralement, déterminer, si T EUR R*, toutes les applications g de | 
-- T', +oo|
dans R, In-convexes et vérifiant

VtE] --T,+oof, (t+T)g(t) = (t +2T)g(t + 27).

22 > Existe-t-il une application h, de R dans R et In-convexe, vérifiant

VER, (+T)h(t) = (t+2T)h(t +2T)?