X Maths 2 MP 2013

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Exposant de Hôlder ponctuel d'une fonction continue

N désigne l'ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels.

On note C l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur 
l'intervalle compact [O, 1[
et a valeurs dans R. Cet espace est muni de la norme [[ ' [[oo définie pour 
tout f E C, par

W...» = SUpoeEUR[0,l] lf(OE)l-

On note C0 le sous--espace de C formé par les fonctions f telles que f (O) = f 
(1) = O.

n t
log2 est la fonction définie pour t E [O, +oo[, par log2 t : ñ' où ln est le 
logarithme népérien.
n

Première partie : définition de l'exposant de Hôlder ponctuel

Soit 560 E [O, 1]. Pour tout 3 E [O, 1[, on désigne par F3(a30) le 
sous--ensemble de C formé par
les fonctions f qui vérifient :

|f<æ> -- f<æo>|
sup < --l--oo . oeEUR[O,l[\{oeo} [oe -- OE0[S la. Montrer que F3(a30) est un sous--espace vectoriel de C, puis que, pour tous réels 51 et 52 vérifiant O S 51 S 52 < 1, l'on a F32(oe0) C F31(oe0). Enfin, déterminer F0(oe0). lb. Soit f E C. Si f est dérivable en 550, montrer que f E F3(a30) pour tout 3 E [O, 1[. 1c. Montrer que pour tout 560 EUR [O,1[, il existe f E C non dérivable en 5130 tel que pour tout 5 EUR [O,1[, f E F3(oe0). Pour tout f E C et tout 560 E [O, 1], on pose Oéf(âî0) = SUP {5 E [O, 1l[f EUR 118(550)} - Le réel OEf(SIÏO) est appelé eæposant de Holder ponctuel de f en 5130 ; il permet de mesurer finement la régularité locale de f au voisinage du point 5170. 1 2.S°t : 01 R \/1--4 2.D't ' l' td H"ld t ld --. 01 p [ , [ --> , a: l--> [ a: [ e erm1ner exposan e 0 er ponc ue e p en 2

Pour tout f E C, on définit la fonction wf : [O, 1[ --> R+ par

Wf(h) =Sup{lf(æ) --f(y)l [way EUR l071l et la?--gl £ h}-

3a. Montrer que wf est croissante, et continue en O.

3b. Montrer que pour tous h, H E [O, 1[ tels que h S H, wf vérifie
wf(h') £ Wf(h) + Wf(h' -- h) -

3c. En déduire que wf est continue sur [O, 1[.

4a. Soit 3 E [O, 1[. On suppose que la fonction h l-->

h

w';L(S ) est bornée sur [0,1]. Pour tout

5130 E [O, 1[, montrer que f E F3(oe0).

4b. Soit q : [O, 1[ --> R définie par

77

{q(oe) : a:cos (--) pour a: > O,
56

q(O) O.

wq(h)
\/Ë

Montrer que pour tout 5130 E [O, 1], qu(aî0) : 1, mais que

ne tend pas vers 0 quand h tend

vers O.
Deuxième partie : le système de Schauder

On note 1 = {(j, lc) E N2 [j E N et O S 16 < 27}; pourj E N, on désigne par 7}- l'ensemble T,={keN[ng [O, 1[ la fonction de Co, 
définie pour tout a: E [O, 1[ par

1 _ [2j+1oe _ 2k -- 1[ si a: & [k2_--7, (k + 1)2_--7l7
j,k(aï) :

O sinon.

La famille des fonctions (9j,k)(j,k)eî est appelée le système de Schauder.

On note là,--(a:) la partie entière du réel 2jÇC, c'est donc l'unique entier 
tel que

"là,--(oe) g 235: < "%,--(a:) + 1. 5a. Montrer que pour tout j E N et tout lc EUR 7}+1, il existe un unique entier lc' EUR Î, tel que [k2--j--1, (k + 1)2--j--1[ c [k'2--j, (k' + 1)2--j] . On précisera le lien entre 1--6 et lc' . 5b. Calculer 9j,k(Æ2_j_l) pour tous j E N, lc EUR 7}, EUR EUR 7}+1. 5c. Montrer que pour tout ( j, lc) EUR I , la fonction 93--71, est continue, affine sur chaque intervalle de la forme [Æ2_n, (EUR + 1)2_"[ où n > j et EUR EUR 7},

5d. Prouver que pour tous (j, lc) EUR I et (a:,y) E [O, 1[2, on a
|9j,k<æ> -- 9j,k| £ Wlæ -- y\ .
Dans le reste de cette partie f est un élément de Cg.

Pour tout n E N, soit Sn f la fonction de Cg définie par
Snf = Z Z Cj,k(f) 9j,k ,
j=0 keTj

où, pour tout (j, lc) EUR 1, on a posé

cj,i =f((k+g)2--j) _ f +f2<2"> .

6. M t 1' ° = 0-
on rer que j_1}ranO %Ê7Ë [Cg,k(f)[

721. Pour tout (j, lc) EUR I, (i,Æ) EUR I, calculer Cj7k(9i7g).

7b. Soit dj,], une famille de réels indexée par (j, lc) EUR 1. On note bj : 
rfinaÎx [aj,k[, et on suppose
EUR j

que la série 2 b, est convergente.

Pour tout j E N, soit ff la fonction définie par

f Ï(OE) = 2 aj,k9j,k(æ) -

keTj

Montrer que la série z ff est uniformément convergente sur [0,1] vers une 
fonction noté f a, qui
appartient a Cg et qui vérifie, pour tout (j, lc) EUR I, cj,k(fa) : aj,k.

821. On suppose f de classe C 1. Montrer qu'il existe une constante M 2 0 telle 
que pour tous
(ja [EUR) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ M2_j°

En déduire que la suite de fonction Sn f est uniformément convergente sur [O, 
1[ lorsque n
tend vers oo.

8b. On suppose f de classe C2. Montrer qu'il existe une constante M ' 2 0 telle 
que pour tous
(jvk) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ Ml4_g°

9a. Montrer que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, la fonction Sn f est 
affine sur l'intervalle
[£2--n--1, (EUR + 1)2--n--1].

9b. Soit n E N. On suppose que pour tout EUR EUR %, (Sn--if)(Æ2_n) : f(Æ2_n). 
Montrer que
l'on a aussi que pour tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : f(£2_n_l).

On pourra distinguer les cas suivant la parité de EUR.
9c. En déduire que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : 
f(£2_n_l).

10a. Déduire de la question 9 que pour tout f de Co, nl_lïloe llf _ Sanoe = 0.

10h. Soit n E N. Montrer que Sn est un projecteur sur Co, dont la norme 
subordonnée (à
H - Hoc) vaut 1.

1121. Soit 3 EUR ]0,1[. Montrer que si a, b 2 0, alors a.3 + 193 £ 21_3(a + b)3.

11b. Montrer que si f E F3(a30) fiCg, alors il existe un réel c1 > 0, tel que 
pour tout (j, lc) EUR 1,
on a,

\c,,k(f)\ g 01 (r?" + lk2_j -- æ0\)3 .
Troisième partie : min0ration de l'exposant de Hôlder ponctuel

L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de 
la question
11b. Dans toute cette partie, on désigne par f E Cg une fonction vérifiant la 
propriété suivante :

(731) il existe 560 EUR [0,1], 3 EUR ]0,1[ et c1 EUR ]0, +oo[, tels que pour 
tout (j, lc) EUR I,
le,k(f)l £ c1(2----7' + vw -- OE0l)8 .
Dans tout le reste de cette partie, on fixe les 560, 3 et cl de la propriété 
731 et a: E [O, 1] \ {270}.
12. Montrer qu'il existe un unique 710 E N tel que 2_"0_1 < la: -- a:0l S 2_"0. 13. On rappelle que la notation là,--(a:) a été introduite en préambule de la deuxième partie. On pose W....-- = 2 lc;--.æ(f)l |H...<æ> -- e.,.<æo>| .

keî}

Montrer que
. N ... j+1 _
W.... £ (le,,,,(oe,l + \c,,,,.,,,l) 2 tv æo\ .
14a. Montrer que pour j £ no (no est déterminé dans la question 12), on a
Wj S 4c12(1_3)j33loe -- aîgl .

14h. En déduire que, en posant c2 : 8(21_3 -- 1)_1(3/2)8c1,

Z 2 lcj,k(f)l |9...<æ> -- e.,.<æo>| £ c.læ -- :... . .

j=0 keî}

15. Montrer que pour tout j E N, le (f)l £ 23<1_j)01. En déduire, en posant 03 = (1 -- 2--8)_12801, j,kj(oeo) +00 2 Z le,I--c(f)l l9j,k(oeo)l S CBlOE -- oeOls- j=no+l kEUR'Îj Dans la suite du problème, on suppose que M flloe : 1 et on rappelle que la fonction wf a été définie a la question 3. 16. Montrer qu'il existe un unique nl E N tel que wf(2_nl_l) < 2_"03 S wf(2_nl). 17. Montrer que pour tout n 2 nl, où nl est déterminé dans la question 16, on a Hf _ SanOO £ 28+1'oe _ oe0'8° On pourra utiliser les résultats des questions 93 et 9e. 1821. Montrer que lorsque no < nl, on a, Z Z le,k(f)l lQÿ,k(OE)l S 0133(n1 -- "O)loe -- oeOls- j=no+1 kEURTj On suppose de plus dans la suite que la fonction wf vérifie la propriété suivante : (732) pour tout entier N 2 1, il existe un réel C4(N) > 0, tel que pour tout h 
EUR ]0,1],
wf(h) £ C4(N) (1 + l10g2 hl)_N -

18h. Pour tout entier N 2 1, on pose C5(N) : 3301(04(N))1/N. Montrer que

n1--nol s C5læ -- æ0\<1--w>s .

j=no+l kEUR'Îj

19. Déduire de ce qui précède que ozf(oe0) > 3

On pourra distinguer les cas no 2 nl et no < nl.