X Maths B MP 2019

ECOLE POLYIECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2019

VENDREDI 19 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B
(X

Durée : 4 heures

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Notations

Si n E N'est un entier naturel et 1 un intervalle de R, on note #"(1) l'espace 
vectoriel des
fonctions sur 1, à valeurs réelles, de classe EUR", c'est à dire n fois 
dérivables sur J et dont la
n-ième dérivée est continue sur f.

On munit EUR°([-1,1]) de la norme ||: ||£ définie par :
lle = sup 1f(6)|:
tE[--1,1|

Soit y EUR I. On dira qu'une fonction u : 1 -- R est de classe 6" au voisinage 
de y s'il existe
un intervalle J ouvert non vide tel que y EUR J'etue E"(1NJ).

Soit (x,p) - H(x,p) une fonction continue sur [--1,1] x R à valeurs réelles. Le 
but de ce
problème est d'étudier certaines fonctions u vérifiant l'équation fonctionnelle

Vr e[-1,1|, u(x) + H(x,u'(x)) = 0. (1)

Partie I

On suppose dans cette partie qu'il existe une fonction u EUR EUR!([---1,1]) 
vérifiant

me + lju'(x)| =0 pour tout x EUR [-1,1|, o)

u(--1) = u(1) = ---1.

la. Justifier que l'application x + [u/(x)| est une fonction de #1([--1,1]) et 
en déduire
que u est de classe #7 au voisinage de tout point y EUR [--1,1] tel que w/(y) 
0. Calculer
l'expression de u"(y) en fonction de u'(y) en de tels points.

1b. Montrer que si y EUR [---1,1] est tel que w/(y) = 0, alors u' est dérivable 
en y et u"(y) = 0.

2. En déduire que u est une fonction de #?([--1,1]), qu'elle vérifie sur [1,1] 
l'équation
différentielle

1
U --UÙU

et conclure qu'une telle fonction uw n'existe pas.

3. Montrer que les fonctions wo et u1 définies par uo(x) -- --e7 tir et u1(x) = 
el sur
[1,1] sont des fonctions de EUR°([-1,1]) et vérifient

qe + ju'(x)| = 0, pour tout x EUR [---1,1]\ {0},

Partie II

Soit u EUR °([-1,1]).

On définit le sur-différentiel de u en x EUR |--1,1|] comme l'ensemble des p 
EUR R pour lesquels
il existe une fonction ÿ de classe #! au voisinage de x, avec w/(x) = p et 
telle que u --
admet un maximum local en x. On note cet ensemble D'u(x).

On définit le sous-différentiel de u en x EUR |--1,1] comme l'ensemble des p 
EUR R pour lesquels
il existe une fonction 4 de classe #1 au voisinage de x, avec w/(x) = p et 
telle que u --
admet un minimum local en x. On note cet ensemble Du(x).
4. Soit xo EUR |-1,1[. Montrer que si u est de classe #! au voisinage de 9 alors
D'u(xo) = D'u(xo) = {u'(xo)}.

5. Soit z0 EUR ]---1,1[. On suppose que D'u(xo) et D u(xo) sont non vides.

5a. Prouver qu'il existe 41,42 de classe #! au voisinage de x0 et 6 > 0 tels que

u(to) = p1(x0) = p2(t0)

et pour tout [x -- xo| < 6, 5b. En déduire que « est dérivable en 0. Déterminer DTu(xo) et D u(xo). Ga. Soit zo EUR |--1,1|. Soit 0 < r < min(|1---x0|,|[1+x0l). En considérant la fonction définie Par Pror(T) = EE sur l'intervalle ouvert 1,,(r) = to -- r,xo +r|, montrer qu'il existe y EUR Lxotr) tel que D'u(y) £ Ü. 6b. Démontrer que l'ensemble {y EUR |---1,1[, D'u(y) £ D} est dense dans ]-1,1{. 7a. Soit xo EUR |---1,1][ tel que DTu(xo) £ 0. Soit p EUR D'u(xo). Montrer que u(y) -- u(xo) -- p(y -- xo) lim sup < 0. (3) E0T yelro--e,ro+eln[-1,1] y = To YÆXO Dans les sous-questions 7b à 7e, on considère x9 EUR [---1,1[et p ER satisfaisant (3). Le but est de montrer qu'alors réciproquement p EUR D'u(xo). 7b. On pose, pour r > O0,

p(r) = max 4 O, sup u(y) -- u(xo) -- p(y -- xo)

yElro--r,zo+r[N|-1,1] y -- To)
YÆXO

et w(0) = 0. Justifier que, pour tout r > 0, w(r) est un nombre réel bien 
défini, puis que,
pour tout x E |-1,1|},

u(x) < u(xo) + pÜx -- to) + px -- rol)lx -- ol. 7c. Montrer que la fonction p définie sur [0,+oo[ par p(r) = f, (s)ds appartient à Æ1([0,+oo[) et vérifie 7d. Prouver que Vr >0, p(2r) > v(r)r.

7e. Conclure que p EUR DTu(xo) et que, pour tout xo EUR [---1,1{,

D'u(xo) = {p ER, lim sup u(y) Z u(æo) © p{y -- %0) < 0}. e--0T vero eme Li y HE To | YF-X0 On peut montrer de même (mais on ne demande pas de le vérifier) que pour tout x0 EUR |---1,1|, D'u(xo) = {p ER, lim inf u(y) Z u(to) © p{y 7 to) > 0}.
e--0+ peter ete RE y -- xo|
VF XO

8. Soit xo EUR |--1,1|. Montrer que le résultat de la question 4 est toujours 
valable en suppo-
sant uniquement w dérivable en xo.

9. Soit xo EUR ]---1,1[ tel que D'u(xo)  Ü. Démontrer que D'u(xo) est un 
intervalle fermé.

10. On suppose dans cette question que u est concave sur [--1,1]. Soit xo EUR | 
---1,1{.

10a. Soient y1,y2 EUR [---1,1] \ {xo} avec y1 < y2. Prouver que u(y1) -- u(xo) s u(y2) -- u(xo) Y1 -- XO T 2 -- 20 10b. Montrer que lim u(y)  u(ro) -- W(ro) =: {7 et lim u(y) -- u(vo)  U(wo) --: {T Y--T) Y -- LO TS Y -- LO sont bien définies et que DTu(xo) = [£7, EUR]. 10c. Démontrer que D'u(xo) -- {p ER, Vr E [-1,1}, u(x) < u(xo) + p(x -- vo)}. En déduire que uw admet un maximum en x9 si et seulement si 0 EUR D'u(xo). Partie III Soit (x,p) + H(x,p) une fonction continue sur |[---1,1] XR à valeurs réelles. On suppose qu'il existe une fonction continue croissante w : R° -- R*, vérifiant w(0) = 0, telle que, pour tous x,y El-1,1],et pour tout pER, H(x,p) -- H(y,p)l < w(Ix -- yI(1 + Ip). (4) On dit que u EUR 6V([-1,1]) est une sur-solution de (1) si pour tout x EUR |-1,1[, pour tout p EUR D'u(x), u(x) + H{(x,p) > 0.

On dit que u EUR 6° ([-1,1]) est une sous-solution de (1) si pour tout x EUR 
|---1,1[, pour tout
p EUR D'u(x),
u(x) + H{(x,p) < 0. 11a. Montrer que si u EUR 6 !(|[-1,1]) vérifie Vx E |-1,1{, u(x) + H(x,u'(x)) = 0, alors u est sur-solution et sous-solution de (1). 11b. Montrer que si u est à la fois sur-solution et sous-solution de (1), alors en tout point x EUR ]-1,1[ au voisinage duquel u est de classe EUR!, on a u(x) + H(x,u'(x)) = 0. On souhaite démontrer que si u est une sous-solution et v une sur-solution de (1) telles que u(y)  v(yo):

12. Montrer que la fonction u -- v atteint son maximum sur [--1,1] en un point 
xo EUR [---1,1|
et M := max;e[_1 1(u(x) -- v(x)) > 0. Montrer qu'il existe 7 > 0 tel que pour 
tout (x,y) EUR
[1,1]? vérifiant

im -- yl < V2(|ulls + [vlloe)r: ur) -- u(y)| + ju(x) -- v(y)| < M/2 et W(|x -- y| +2lu(x) -- v(y)|) < M7/2, où w est la fonction intervenant en (4). Pour un paramètre 7 obtenu grâce à la question précédente, on considère la fonction ®, : [1,1] -- R, définie par fm yf PA(e,0) = u() -- 0) -- 13. Démontrer que ® atteint son maximum sur [--1,1]? en un point (x,,yn) EUR [---1,1/* tel que BP, (Zn, Yn) 2 M. 14a. Montrer que En -- Ynl < V2(ullse + Ilvilse)n: 14b. En déduire que |x,| £ 1 et [y] # 1. 14c. Conclure que = EUR D'u(xy)N Do (yn). 15. Prouver que Un) -- (Un)