ECOLE POLYIECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2019
JEUDI 18 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE PC - Epreuve n° 1
MATHEMATIQUES
(XEULC)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Les quatre parties sont indépendantes entre elles.
Dans l'ensemble du sujet, pour répondre à une question, on pourra admettre les
résultats des questions
précédentes.
Notations
Dans l'ensemble du sujet m et n désignent des entiers strictement positifs.
L'ensemble C désigne le corps
des nombres complexes. Le module d'un nombre complexe z est noté |z| et son
conjugué est noté z. On
note D={zeC:12| <1} le disque unité fermé, et S={z2eC:12| =1}. On note Myn(C) l'ensemble des matrices à m lignes et à n colonnes à coefficients dans EUR et M,(C) = Mnn(C) l'ensemble des matrices à n lignes et à n colonnes à coefficients dans C. On note I, la matrice identité de MA(C). La matrice transposée d'une matrice À EUR Myn(C) est notée AT. Si À = (a; j)o 1. On
considère un nombre
complexe z EUR D et on définit les matrices M EUR Mh41(C) et P EUR Myr11(C) par
[2 0 O0 :.. 0 1--[:P) Ne Ne
Vi=EE 0 0. 0 -Z 2 :
0 1 0 :.. 0 0 or 0 0 0 N
UM 0 0 1 '+ 0 0 E |
. . ! 1
: 0
0 0
| 0 0 0 1 0
et
1
0
P=|.
0
5. Montrer que M est une matrice unitaire.
6. Montrer que 26 -- PTMFP pour tout entier 0 l'un entier et A(z) = 5Y2, axz* un polynôme non nul tel
que ax EUR {--1,0,1}
pour tout 0 < k £ n -- 1. Alors pour tout entier L >lona
1
SUP | A(e))] Z L=-1.
0E[-7,7] "0
Pour démontrer ce résultat, on fixe un entier n > 1 et A(z2) = YY2$ axz* un
polynôme tel que ax EUR
{--1,0,1} pour tout 0 < k < n -- 1. On fixe également un entier L > 1.
9. Size C vérifie |2| = 1, montrer que |[A(z)| < n. 10. On suppose dans cette question que ao = 1, et on pose, pour tout z EUR C, L--1 dir; F(2) = IT 4 (se L ) | a. Montrer qu'il existe 20 EUR C tel que |20| = 1 et |F(20)| > 1.
b. Montrer que [F(20)| & 1 un entier et soit S,, une somme
de n variables aléatoires
à valeurs dans {0,1} mutuellement indépendantes de Bernoulli de paramètre p.
Alors
S (p--a)?
Dm -r)) < es. Sn T T Pour démontrer ce résultat, on fixe p, q EUR [0,1] et (X;)1 0.
a. Montrer que g est bien définie et de classe C° sur R.. Pour x > 0, exprimer
g/(x) sous la
forme 7: où «à et 5 sont des réels positifs pouvant dépendre de x.
b. Montrer que g"(x) < + pour tout æ > 0.
c. Montrer que
2
x
In(1 ---p+pe") < px + TR Pour tout x > 0.
13. On suppose dans cette question que p < q. a. Justifier que Sn Sn n n b. Soit X une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p. Pour u > 0,
calculer E(e"*).
c. Montrer que pour tout u > 0,
Indication. On pourra admettre que si (Z;)1<;5en sont n variables aléatoires réelles mutuelle- ment indépendantes et prenant un nombre fini de valeurs, alors E(T[;_, Zi) = II; E(Z;). 2 _n (p--a) d. Montrer que P(S,, > Pin) Ze 2
14. Démontrer le Théorème 3.
Quatrième partie
Dans cette partie, on s'intéresse à la reconstruction d'une suite de 0 ou 1 à
partir d'un échantillon
d'observations bruitées (on pourra utiliser le Théorème 2 et le Théorème 3).
Plus précisément, étant donné un élément æ = (x%0,...,4n-1) EUR {0,1}", appelé
la source, et un paramètre
p EUR [0,1] fixé, on considère la variable aléatoire O(x) à valeurs dans {0,1}
construite comme suit :
-- soient (B;)o 1 --
b. Montrer que Un < j+1et1; =k)=p Cri -- pi.
b. Montrer que, pour tout 0 < j ---
nm
b. Démontrer que |
eo --(1--p)|
D
p
> 1.
7 nln-1
S_ [E(O,(x)] - E(O,(y)]| |
j=--0
c. Justifier l'existence d'un entier 7, (x, y) tel que 0 < jn(x,y) < n -- 1 et p | 1-p 7 | EXP | ---- --n |. n£n 2p? I? Dans la suite, on fixe une fois pour toutes un entier n qu'il faut considérer comme étant très grand. Pour chaque couple (x,y) EUR ({0,1}")° tel que x £ y, on fixe un entier 7,(x,y) dont l'existence est prouvée dans la question 17c. Soient T >1et (E',E°,...,E") EUR ({0,1}")". Ainsi, pour 1 e alors pour tout x EUR {0,1} et toute suite
Ol(x), O°(x),...,O"(x)
de 7} variables aléatoires à valeurs dans {0,1}° mutuellement indépendantes de
même loi que
O(x), on a
max P (R, T. (O'(x). O*(x),...... O7"(x)) L r) < Un xEe{0,1}"7 | OÙ (Un)n>1 est une suite tendant vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
Indication. On pourra commencer par écrire, en le justifiant, que
P (Rrr(O (x), O(x)......,OT(x)) Z r)
< > P (x n'est pas meilleur que y compte tenu de O'(x), O*(x), ... O"(x))
ye{0,1}"
VFX
On a donc démontré qu'en partant de x EUR {0,1} inconnu, on peut retrouver x à
partir de la donnée
d'une suite
Ol(x), O'(x),...,O!(x)
de T' variables aléatoires à valeurs dans {0,1}"" mutuellement indépendantes de
même loi que O(x)
(qui représentent la donnée de T' échantillons bruités obtenus à partir d'une
même source), avec grande
3In(n})n1/3
probabilité à partir de e échantillons différents.
* *X *
