CCINP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2023

  

SESSION 2023 PC7MO

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.

Les poids respectifs de ces trois parties sont :
- 41% pour la partie II
- 26 % pour la partie III
- 33 % pour la partie IV

Le sujet comporte :

l'énoncé du sujet : page 2 à 14,
-__ l'Annexe : page 15 à 16,
- le Document Réponse (DR) : 2 pages.

Le Document Réponse doit être rendu dans son intégralité avec la copie.

16 (a)
Étude des caractéristiques d'un matériau biosourcé :
le Kairlin®

Partie | - Contexte de l'étude

Source : https://www.kairos-jourdain.com/fr/environnement/kairlin

Véritable révolution dans le domaine des matériaux, les composites offrent de 
nombreux avantages
comparativement aux matériaux standards : performances mécaniques supérieures, 
faible masse
volumique ou durée de vie améliorée. Ces avantages sont obtenus grâce à leur 
structure
composée d'un renfort, constituant l'ossature, et d'une matrice ou résine, 
assurant la cohésion du
matériau.

Issu du bureau d'étude de l'entreprise Kaïros, le Kairlin® (figure 1), est un 
matériau bio-composite
conçu à partir de fibres de lin et de composants 100 % végétaux destiné à la 
construction de voiliers
de course. Le respect de l'environnement a été l'un des principaux critères 
considéré lors du
développement du produit. Désireux d'élargir son offre et de permettre l'emploi 
du Kairlin® au plus
grand nombre, Kaïros envisage d'élargir son usage à lindustrie du bâtiment 
comme isolant
thermique et phonique.

Ce sujet vise ainsi à déterminer quelle devra être l'épaisseur minimum du 
composite permettant de
garantir des performances acoustique et thermique conformes aux recommandations 
du
gouvernement pour les usages du génie civil. Il conviendra ensuite d'en déduire 
son énergie grise
volumique, reflet de l'impact environnemental d'un matériau.

Figure 1 - Le Kairlin®, un composite biosourcé

2116
Partie Il - Étude des performances thermiques

La performance thermique est un critère essentiel dans le choix de tout 
isolant. En effet, ce
paramètre influence directement l'énergie dissipée à travers les parois du 
bâtiment et est donc lié à
l'énergie supplémentaire que l'on doit fournir au bâtiment pour maintenir une 
température donnée.

1.1 - Étude analytique du régime permanent

On s'intéresse tout d'abord aux transferts thermiques dans le composite (figure 
2) lorsque la
température intérieure T(t, x = 0) = T;,+ = 20 °C et la température extérieure 
T(t,x = L) = Ter = 5 °C.
On supposera ces températures constantes et uniformes sur toute la surface de 
la paroi. On
souhaite étudier l'évolution de la température dans le mur, en supposant que le 
matériau est
homogène d'un point de vue thermique et que sa température est à T(t = 0,x > 0) 
= Tor.

ARS LC LORS ENRR TS NRS OS GRRR EEe ÆERR SR LR ER
117 Pr LR TTL TT 40 0 071

Intérieur |: isolant | Extérieur

L_s'e"0107

2" "6 70".

T' nt Text

X

Figure 2 - Schématisation du problème

Q1. Quelles hypothèses sont faites pour se ramener à une modélisation 
unidimensionnelle
suivant x ?

Q2. Donner, sans démontrer, l'équation de la diffusion thermique en régime non 
permanent et en
l'absence de source interne. On notera T la température, d;so1ant la 
conductivité thermique de
l'isolant, p la masse volumique et c, la chaleur spécifique à pression 
constante, ï.e. la capacité
thermique massique. La simplifier en prenant en compte l'hypothèse de la 
question Q1.

Q3. Donner les conditions aux limites, T(t > 0,x = 0) et T(t,x = L), et les 
conditions initiales
T(t =0,x > 0) et T(t = 0, x = 0) de la fonction T(t, x).

Q4. Déterminer l'expression de la température en régime permanent T(x) en 
fonction des variables
X, Lost; int et L.

Q5. Proposer une définition de la résistance thermique et en donner la formule. 
En déduire

l'expression de la résistance thermique surfacique r;, de lisolant en fonction 
de l'épaisseur L
de la plaque et de la conductivité thermique de lisolant ;soiant:

3/16
Q6. Quelle doit être la valeur de l'épaisseur du composite pour obtenir une 
résistance thermique
surfacique de r;n = 3,15 m° : K: W71? On prendra isolant = 0,037 W:K=t:m° t{.

1.2 - Étude numérique du régime transitoire

On cherche à résoudre numériquement l'équation aux dérivées partielles :

ÔT OT)

a kih 3x2) ©Ù k:n est une constante.

Q7. Exprimer la diffusivité thermique k;, en fonction de la conductivité 
thermique Z;solant, de la
masse volumique p et de la chaleur spécifique massique à pression constante c,.

On discrétise l'intervalle [0, L], représentant l'épaisseur de l'isolant, en 
N_X + 1 points régulièrement
espacés d'un pas spatial dx (figure 3). On souhaite déterminer la température 
en chacun de ces
points.

0 1 2 NX Y
O0 dx L

Figure 3 - Discrétisation de l'isolant selon x

Q8. Donner le nombre d'intervalles spatiaux dans l'intervalle [0,Z]. Donner 
l'expression de dx en
fonction des données du problème. En déduire l'abscisse x; du (i)-ème point.

Q9. À l'aide de la formule de Taylor-Young, équation (1), exprimer :
a. T(t+dt,x), au premier ordre par rapport à t, dt étant l'incrément temporel ;
b. T(t,x -- dx), au second ordre par rapport à x ;
c. T(t,x + dx), au second ordre par rapport à x.

FO = fa) +1 (x = a + 1 (x = a)? + o((x -- a) a)
O°T(t,x)

Q10. En déduire une expression de To -- en fonction de dx,T(t,x), T(t,x -- dx) 
et T(t,x + dx).

La température à l'abscisse x; à une date t, sera notée : T;.

Q11. En reformulant le résultat des questions Q9 et Q10, déterminer une 
relation entre :

OT(t,x)

1 |

a. T7, Ty, ro, * dt :
O"T(t,x)

b. T,,T;",7T;, EYE et dx.

Q12. À partir des questions Q2 et Q11, montrer que :

ia + Tia --2T;
TRY = dt. kan ° D )+ T{! (2)

Le code de l'algorithme 1 permet de déterminer les valeurs de température aux 
points de
discrétisation. Dans les questions suivantes, on cherchera à compléter les 
instructions manquantes.

Q13. Donner l'Instruction 1 permettant de définir la diffusivité thermique k;}.

4/16
ER
RCE CURE

4 Données a: probtère
Lenbde = 0.097

CEE
ÉRRTES

CPE RES

DEEE EE
CR CEE

È

RE

PÉDALE EU
SECTE EEE EE

PRE TE
RE EC TRS RE)

D

HAN CS ES
DEEP EN EEE Eee)
DO Ce CET

DEEE
EECECEER

EP ECRR
EEE ARE
EE
3.4

ÉPRRCE ER

ERERE

On donne en figure 4 le profil de température dans le composite à plusieurs 
instants.

Empérature [°C]
5 à

1 T

F 1
CO G2 C4 GE GE 10
Distance selon x [mm]

Figure 4 - Évolution de la température dans le composite à plusieurs instants
Q18. Associer à chaque courbe de la figure 4 les instants de la liste suivante :
t = [0 5,6 000 5, 12 000 s,18 000 s].

Q19. Le régime permanent est-il atteint ? Justifier.

Partie III - Études des performances acoustiques

Source : Manuel Van Damme, Isolation aux bruits aériens : principes et 
matériaux, Bruxelles
Environnement

Les bruits aériens sont transmis à un bâtiment principalement à travers ses 
parois. Dans le but de
protéger un immeuble des bruits extérieurs, il est possible de l'isoler. Dans 
cette partie, la valeur de
l'indice d'affaiblissement acoustique du Kairlin® sera estimée à l'aide de 
mesures expérimentales.

On considère le panneau isolant comme une plaque infiniment fine située en x = 
0, de masse

surfacique u. Elle sépare deux fluides parfaits de même masse volumique. Les 
deux milieux 1 et 2
sont supposés illimités.

La source du bruit émet une onde sonore incidente qui se propage dans le milieu 
1 jusqu'à la plaque.
Deux ondes sont alors créées, comme lillustre la figure 5 :

-_ l'onde réfléchie, se propageant dans le milieu 1 dans le sens opposé à 
l'onde incidente ;

-__ l'onde transmise, se propageant dans le milieu 2 dans le même sens que 
l'onde incidente.

6/16
Milieu 1 Milieu 2

mé

Onde réfléchie Onde transmise

D

Onde incidente

Isolant

Figure 5 - Comportement de l'onde incidente

111.1 - Modélisation de la propagation des ondes

Tout d'abord, on cherche à obtenir une expression des grandeurs associées aux 
ondes sonores
supposées longitudinales et planes. On introduit ainsi les grandeurs 
caractéristiques de l'air
suivantes :

e Masse volumique : p(M,t) = po + p1(M,t)
Pression : p(M,t) = po + P(M,t)

Champ de vitesse : v,(M,t)

Coefficient de compressibilité isentropique : xs

Q20. Établir l'équation linéarisée de conservation de la masse dans le cas 
d'une propagation
unidirectionnelle selon x en fonction de p(M, t) et de v,(M,t).

Q21. Écrire la loi linéarisée de la conservation de la quantité de mouvement 
dans le cas d'une
propagation unidirectionnelle selon x en fonction de p(M,t), v,(t) et p(M,t).

Q22. Donner l'équation isentropique linéarisée reliant 9, à Po, Ys et D1.

Q23. En déduire l'équation (3). On prendra le soin de préciser l'expression de 
c en fonction de p,
et Ys :
ch 1 9°
HE Lo, (3)
0x? c'ût?

On définit limpédance d'un milieu comme étant le rapport entre la pression et 
l'amplitude de la
vitesse, équation (4) :

P1 (x, t)
Z = À:
MODES (4)
Dans le cas d'une onde plane progressive, on montre l'équation (5) :
Z = Po C (5)

e p, = Zu, sil'onde est directe (propagation dans le sens des x croissants) ;
e p, = ---Zv, sil'onde est rétrograde (propagation dans le sens des x 
décroissants).

716
Q24. Montrer que le produit #,c a bien la même unité qu'un rapport pression sur 
vitesse.

Q25. On rappelle que p(x,t) = f{t--=)+ g{t+") est solution de l'équation (3). 
En déduire, à
C ÿ C

l'aide de l'équation (4), la forme générale des champs de vitesse parcourue 
dans un milieu
fluide.

II. 2 - Réflexion et transmission des ondes

Une onde sonore incidente progressive monochromatique de pulsation w arrive sur 
la plaque depuis
le milieu 1 vers le milieu 2, figure 6. On supposera que cette onde est 
longitudinale et plane. On
rappelle que les deux milieux sont de même nature.

On supposera que la forme du champ de pression associée à l'onde incidente 
progressive
monochromatique de pulsation w et de nombre d'ondes k qui arrive sur la plaque 
est définie par
l'équation (6) :

p(x,t) = p\cos(wt -- kx). (6)

Q26. Déterminer une expression des champs de vitesse et pression associés aux 
ondes transmise
et réfléchie.

Us .. , D _ Dt
Q27. On cherche à déterminer les coefficients de réflexion r = " et de 
transmission t = DA en
1 1

amplitude pour la pression, p. et p, étant respectivement les amplitudes des 
ondes réfléchie
et transmise.
a. Donner l'équation donnée par la continuité de la vitesse en x = 0.
b. Donner l'équation donnée par l'application du principe fondamental de la 
dynamique
sur un élément de surface dS de la plaque.
c. En déduire que les coefficients de réflexion r et de transmission t en 
amplitude pour
la pression sont données par l'équation (7), i étant l'argument complexe :

LOU
T= --------

2Z + iwy
1 27 (7)
LEE 27 ou

Q28. Déterminer le coefficient de transmission en énergie Ténergie, apport des 
flux moyen d'énergie
transmise et incidente en fonction de w. En déduire l'expression de Ténergie en 
dB. On rappelle

que les densités de courants énergétiques sont données par la relation (pv).
111.3 - Analyse des résultats expérimentaux
Nous allons dans cette sous-partie utiliser les résultats d'essais réalisés 
dans le but de quantifier les
performances acoustiques du Kairlin® (figure 6). Ils consistent à enregistrer 
la réponse perçue par

un récepteur suite à l'émission d'un son à fréquence variable par un émetteur 
placé de l'autre côté
d'une plaque de Kairlin®.

8/16
Création de l'onde sonore

Onde transmise

Onde incidente

|

Ê Ê

Mesure de l'onde incidente Mesure de l'onde transmise

Figure 6 - Essais permettant de déterminer l'indice d'amortissement acoustique

Q29. Le fichier résultat comprend trois lignes précisant la fréquence du signal 
et les intensités
perçues par le récepteur et l'émetteur. Compléter Instructions 1.1,Instruction 
1.2
et Instructions 1.3 de l'algorithme 2 permettant d'extraire sous trois listes 
distinctes
frequence, I emetteur et I recepteur les fréquences de prise d'échantillonnage 
et les
intensités perçues par l'émetteur et le récepteur. Ces listes seront 
initialisées par les
Instructions 1.1 et converties en tableaux à l'aide des Instructions 1.3.

On appelle indice d'amortissement acoustique le réel, exprimé en dB, R,, défini 
par l'équation (8).

Î
R,, = 10log( emetteur (8)

recepteur

Q30. Compléter l'Instruction 2 de l'algorithme 2 permettant de calculer Gain 
dB, le gain en
dB lié à l'amortissement acoustique de la plaque.

Q31. Compléter les Instructions 3 de l'algorithme 2 afin d'obtenir les 
résultats de la figure 7 :
a. L'Instruction 3.1 définit les grandeurs à tracer ;

b. L''Instruction 3.2 permet d'afficher la légende ;
c. L'Instruction 3.3 génère le titre de l'axe des abscisses ;
d. L'Instruction 3.4 génère le titre de l'axe des ordonnées ;
e. L'Instruction 3.5 nomme le graphique.

import matplotlib.pyplot as pit

import AUMpY as np

Fichier = open("Resultats.txt",'r')

[Instructions 1.11]
Lor lu in Fichier:
ligne = lu.split{"\t")
Instructions 1.2
[Instructions 1,5

Instruction 2!

pit.plot ([Instruction 35.1];
[Instruction 5.2!
lInstructiôn 3.3]
lInstructlilon 35,4!
[Instruction 3.5

Algorithme 2 - Algorithme permettant d'extraire et de tracer les résultats 
expérimentaux

9/16
Évolution du gain en fonction de la fréquence

Ex à + pGints exp.
Le.
u 30 "Æs
æ +
: +,
m 25- à
É
ü +
ï +
# 10: +

+

+

815. +
= +
_ +

T ï T ï ï T ï T
GO] 1000 1500 2090 4596 3000 3500 4000
fréquence [Hz]

Figure 7 - Résultats expérimentaux

Partie IV - Étude de la fabrication du Kairlin®

Sources :
- D. Valerini, Nanostructured Al-doped ZnO coatings on PLA films for food 
packaging applications,
NANOFIM (2015)
- M. Jalabert, Synthèse et caractérisation de poly(lactide)s optiquement purs - 
Étude cinétique et
transestérification intermoléculaire (2007)
- Y. Dong Keun, Reaction Kinetics for the Synthesis of Oligomeric Poly(lactic 
acid),
Macromolecular Research, 2005, 13(1),68

Le Kairlin® est un matériau composite biosourcé réalisé à partir de fibres de 
lin et d'une matrice
d'acide polylactique ou PLA. Il a été inventé dans le but de limiter son impact 
sur l'environnement.
Dans cette partie, nous quantifierons cet impact en déterminant son énergie 
grise volumique.

Rappelons que l'énergie grise volumique représente la quantité d'énergie 
consommée lors du cycle
de vie d'un matériau, exception faite de sa phase d'exploitation.

Cette étude sera divisée en deux sous-parties :
- calcul du ratio fibre -- matrice ;
- étude de la réaction de la fabrication de l'acide polylactique et 
détermination de l'empreinte
carbone d'un panneau de composite.

IV.1 - Étude macroscopique du matériau

Dans le but de déterminer la proportion de fibres dans le Kairlin®, une fine 
couche de composite est
photographiée lorsque cette dernière est soumise à une intensité lumineuse. Les 
transmittances -
rapport entre les intensités des ondes transmises et incidentes - des fibres de 
lin et de l'acide
polylactique étant différentes, les deux éléments du composite se distinguent 
comme l'illustre la
figure 8. La longueur d'onde de la source lumineuse a été judicieusement 
choisie dans le but de
maximiser le contraste entre les fibres de lin et le PLA. Les courbes de 
transmittance proposées,
figure 9, sont données pour une épaisseur de matériau fixée.

10/16

Q32.

Transmittance (%%)

(a) Photo en nuances de gris (b) Photo en noir et blanc

Figure 8 - Le Kairlin®, un composite biosourcé

À partir des courbes de transmittance de la figure 9, déterminer une longueur 
d'onde typique
permettant d'obtenir la photographie de la figure 8. De la fibre ou du PLA, 
quel élément sera
le plus sombre ?

{b) 14
F
12H
ap - -- solution from uncoated PLA ° : 10
ü -- solution from 40W AZO-coated PLA ë |
B
| L
o0 6
L
" 4
30 | #
20 Ë | Ed
É F a
1ü UE--
CO L |
" 250 360 450 550 650 #0 850
Wavelength (nm) | (nm)
(a) Transmittance du PLA (b) Transmittance de la fibre de lin

Figure 9 - Les courbes de transmittance des matériaux

Un traitement numérique est ensuite réalisé dans le but de déterminer la 
proportion de fibres dans
le composite :

Q33.

Q34.

Q35.

dans un premier temps, le traitement consiste en l'application d'un filtre sur 
chaque pixel de
l'image. Si la nuance de gris est inférieure à un certain seuil, alors le 
filtre transformera ce
pixel en pixel noir et en pixel blanc sinon. Cette opération permet de 
transformer la photo en
nuances de gris en une photo en noir et blanc (figure 8) ;

dans un second temps, une moyenne de l'intensité lumineuse des pixels est faite 
sur
l'ensemble de la photo, permettant ainsi d'obtenir le pourcentage de fibres 
dans le composite.

Renseigner les Instruction 3.1, Instruction 3.2 et Instruction 3.3 de
l'algorithme 3 définissant la fonction Seui 1 (X), prenant en entrée une valeur 
de nuance de
gris de pixel et renvoyant en sortie 255, si la valeur est supérieure au seuil 
Vseuil (le pixel
sera alors blanc) et 0 sinon (le pixel sera alors noir).

Appliquer la fonction Seuil(xX) à limage en complétant les Instruction 3.4,
Instruction 3.5et Instruction 3.6 de l'algorithme 3.

Donner les Instruction 3.7, Instruction 3.8 et Instruction 3.9 de l'algorithme

3 permettant de déterminer la moyenne de l'intensité lumineuse V Moyenne des N 
pixel
pixels du tableau, puis de lexprimer sous forme de pourcentage.

11/16
PIL Image
Et) ES

tableau

# On charge l'image et on
ER CC Ce Ce Ce
ECC UE on dE CCE:
REC CE RO CET CCC

forme de tableau

A ECC
image_sortie = np.copy (image)

Re EE
range (nb_lignes)
h range (nb_colonnes) :

image _sortie[i,j]-0.2126*imageli,j, 0]+0.7152*imageli,j, 1]

+0.0722*imageli,i, 2]

En ES ction Seuil(x)
ÉPGERNe)
LÉ)
[instruction 3.1]:
Carter
PCT Er Reel
FE RS la moyenne
H
LAON
D EC CERN
s UC CEE
h PC CCE RE
CCR CIE Cr
AD EC CRIE
CCE a DE RIl

A

regarde les im
LR ECC Ce AE CCE ,
DRE C CES ue AE CEE

O LIL (agent ( D301 O
OH =. OH
ao 07
f \ /
N | NN Le Jn
\__# \

DMAP (catalyseur)

Figure 10 - Synthèse du PLA par polymérisation

Le mécanisme simplifié de la réaction de polymérisation, figure 10, est proposé 
sur le Document
Réponse à rendre avec la copie.

Q38. En analysant le mécanisme de réaction, justifier que le 
4-diméthylaminopyridine ou DMAP
est un catalyseur.

Q39. Représenter sur le Document Réponse les flèches courbes rendant compte du 
mécanisme
réactionnel.

On réalise en laboratoire le protocole expérimental simplifié suivant 
permettant d'étudier le principe
de la polymérisation utilisant le mécanisme d'estérification de Steglich :
- 100 mL de toluène et 150 mL d'acide lactique pur sont introduits dans un 
ballon de 500 mL ;
- la DMAP est ensuite ajoutée. Le DCC est introduit dans le ballon qui est 
ensuite agité à
température ambiante pendant 42 h, sous argon (figure 11) ;
- après diverses opérations dans le but de purifier le filtrat, une masse de 
PLA de 1,22 g est
obtenue.

Ballon d'argon

:

Milieu réactionnel:
acide lactique
-/ + toluène
+ DMAP
+ DCC

Figure 11 - Montage permettant de synthétiser le PLA

13/16
Q40.

Q41.

Q42.

Q43.

Écrire l'équation de polycondensation générale et proposer un tableau 
d'avancement de la
synthèse de PLA ayant N motifs élémentaires. À la suite de la lecture du 
protocole
expérimental, peut-on dire si la réaction est lente ou rapide ? Déterminer le 
rendement de la
réaction. On donne : Pucige = 1,25 g-cm *, Mpya = 700 g:mol ?, Mie = 90 g: mol
et N = 10.

On supposera que la réaction est d'ordre 2 par rapport à l'acide lactique et on 
notera k,,ction
la constante de vitesse de réaction.

a. Exprimer la vitesse volumique de disparition de l'acide lactique en fonction 
de N et

de la concentration en acide lactique que l'on nommera [Lac|.
b. Endéduire la relation entre la dérivée temporelle de la concentration en 
acide lactique
d[Lac|]

dt

[Lac], Rreaction et N.

Déduire de la question Q41 l'expression de [Lac] en fonction du temps.

En déduire l'expression de la durée au bout de laquelle 95 % de l'acide 
lactique a été
transformé puis en donner sa valeur numérique. Ce résultat est-il en accord 
avec le protocole
expérimental proposé ? On prendra k;euction = 1,25 * 107* mol=!:s71:cm*.

Le mélange est agité durant la réaction à l'aide d'un agjitateur ayant une 
puissance électrique de 40 W.

Q44. Déterminer l'énergie volumique grise du PLA (en Wh-m*), qui est définie 
comme la quantité

d'énergie consommée lors de la phase de production du PLA ramenée au volume de 
PLA
produit.

Q45. Déduire des questions Q37 et Q44 l'énergie grise volumique du Kairlin®. On 
donne l'énergie

volumique grise du lin, Esjin = 40 KWh : m *.

14/16
ANNEXE

Quelques commandes utiles en langage Python
I. - Bibliothèque NUMPY

Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque numpy a préalablement été 
importée à l'aide de la
commande : import numpy as np.

On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques 
exemples :

-_ np.linspace (start, stop, N point):
o description : renvoie un nombre d'échantillons espacés uniformément, calculés 
sur
l'intervalle [start, stop]
o argument d'entrée : début, fin et nombre d'échantillons dans l'intervalle
o argument de sortie : un tableau

Commande Résultat

np.linspace(l, 4, 5) [1., 1.75, 2.5, 3.25, 4.]

- _ np.zeros (1)
o description : renvoie un tableau de taille 1 rempli de zéros.
o argument d'entrée : un scalaire
o argument de sortie : un tableau

Commande Résultat

np.zeros(5) [0O, 0, 0, 0, 0]

-_ np.array (liste)
o description : crée une matrice (de type tableau) à partir d'une liste.
o argument d'entrée : une liste définissant un tableau à 1 dimension (vecteur) 
ou
2 dimensions (matrice)
o argument de sortie : un tableau (matrice)

Commande Résultat

np.array(l[4, 3, 5]) [4, 3, 5]

- Af[1i,3] :
o description: retourne l'élément (i + 1,j+ 1) de la matrice A. Pour accéder à 
l'intégralité
de la ligne i + 1 de la matrice À, on écrit Ali, :]. De même, pour obtenir 
toute la colonne
j + 1 de la matrice À, on utilise la syntaxe Af: , il]
o argument d'entrée : une liste contenant les coordonnées de l'élément dans le
tableau A
o argument de sortie : l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A

Commande Résultat

À = np.array([il, 2, 1],14, 6, 3], [Z, 3, 811)
AÏ1, 2]

3

15/16
- chaine.split (motif)

o description : divise une chaîne de caractères en une liste ordonnée de 
sous-chaînes,

place ces sous-chaînes dans un tableau et retourne le tableau. La division est
effectuée en recherchant un motif

o argument d'entrée : motif

o argument de sortie : un tableau

Commande Résultat
À = 'azert yuiop' ['azert',
A.split(" ') ''yuiop']

Il. - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT

Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples 
ci-dessous, la
bibliothèque matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la 
commande :
import matplotlib.pyplot as plt.

o description : fonction permettant de tracer un graphique de n points dont les

abscisses sont contenues dans le vecteur x et les ordonnées dans le vecteur y. 
Cette
fonction doit être suivie de la fonction plt.show () pour que le graphique soit 
affiché
o argument d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de n éléments) et un 
vecteur

d'ordonnées y (tableau de n éléments). La chaîne de caractères 'SC' précise le 
style
et la couleur de la courbe tracée. Des valeurs possibles pour ces deux critères 
sont :

Valeurs possibles pour S (style) :

Description Ligne continue Ligne traitillée Marqueur rond Marqueur plus
Symbole S - -- O +

Valeurs possibles pour C (couleur) :
Description bleu rouge vert noir
Symbole C b r ru K

o argument de sortie : un graphique

x= np.linspace(3,25,5)

y=s1n(x)

plt.plot(x,y,'-b') # tracé d'une ligne bleue continue
plt.title('titre graphique') # titre du graphe
plt.xlabel("x") # titre de l'axe des abscisses
pit.ylabel("y') # titre de l'axe des ordonnées
plt.show()

FIN

16/16

NATIONALE - 231136 - D'après documents fournis

IMPRIMERIE

| N
Numéro

d'inscription N
C COMMON Nom :

Numéro

de table

Prénom :

Née) le

Filière: PC

Session: 2023

Épreuve de: MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OÙ CHIMIQUES

Emplacement
GR Code

+ Remplir soigneusement l'en-tête de chaque feuille avant de commencer à 
composer
+ Rédiger avec un stylo non effaçable bleu ou noir

° Ne rien écrire dans les marges (gauche et droite)
+. Numéroter chaque page (cadre en bas à droite)
* Placer les feuilles A3 ouvertes, dans le même sens et dans l'ordre

Consignes

PC7MO

DOCUMENT RÉPONSE

Ce Document Réponse doit être rendu avec la copie.

113

Q39 -- Mécanisme réactionnel

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