Mines Physique 2 PC 2001

A 2001 PHYS. PC Il

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001

SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE Il --Filière PC

Cet énoncé comporte 4 pages de texte

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé, même s'il n'a pas été 
démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.

Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en 
italique (" A " = A) ;

le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté "a-

ULTRACENTRIFUGAÏION

On appelle ultracentrifugation la centrifugation effectuée au moyen d'appareils 
tournant à
vitesse très élevée, par exemple supérieure à 20000 tours par minute. Inventée 
et mise au point princi--
palement par SVEDBERG (Prix Nobel de chimie 1926) au début des années 1920, 
cette technique
s'est progressivement répandue dans la plupart des laboratoires de biologie 
moléculaire. C'est une des
principales méthodes de séparation des macromolé cules biologiques (protéines, 
acides nucléiques) et
de mesure des masses moléculaires. Ce problème aborde les principes de cette 
technique.

Une ultracentrifugeuse est schématisée sur la fig. 1. Le rotor (partie mobile) 
est percé de cavités
cylindriques en nombre pair, régulièrement disposées autour de l'axe du rotor. 
Chaque cavité peut
recevoir une cellule constituée d'un cylindre de métal percé d'une cavité en 
forme de secteur.

Première partie : ultracentrifugation dynamique (sédimentation)

1. Définition du coefficient de sédimentation S

D 1 -- Pourquoi les cavités cylindriques sont-elles identiques, disposées 
régulièrement
et en nombre pair ?

On place dans les cellules du rotor une solution composée d'un solvant de masse 
volumique po et de
particules microscopiques identiques, constituant le soluté. La masse de ces 
particules est notée m et

Tournez la page S.V.P.

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leur volume massique B. On note r la distance entre l'axe du rotor et une 
particule du soluté. Le rotor
est animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire constante a). On 
admet que les particules
de soluté ont un mouvement radial par rapport à la cellule et que, lorsqu'une 
particule est animée

d'une vitesse v par rapport au solvant, elle subit de la part de ce dernier une 
force de frottement
F = -- f v, où fest un coefficient de friction caractéristique du solvant et de 
la forme de la particule.

Ü 2 --Calculer, pour w=50000 tours par
("> minute, l'accélération d'un élément de solvant
situé à r = 5 cm de l'axe du rotor. Justifier que
l'on néglige la pesanteur et, a priori, la force
"Axe de rotation (AB) d'inertie de Coriolis agissant sur une particule
microscopique de soluté de masse m.

Cl 3 ----On considère donc uniquement la

"""""""""""""" A partie radiale, selon u,, du mouvement relatif de
la particule par rapport au solvant. Donner alors,
sans la démontrer, l'expression du gradient de
pression dans le référentiel lié au solvant en un
point situé à la distance r de l'axe du rotor. En
' 2 cm ' déduire l'expression de la résultante des forces de
" pression («poussée d'Archimède ») s'exerçant
sur une particule de soluté, en fonction de
m, 0), po, B, ret u,.

Palier A
M

D 4 --- Faire le bilan des forces agissant sur
la particule de soluté précédente et montrer que

cette dernière acquiert pratiquement la vitesse

m(1-- p() 5)

. . ?
limite vlim : s arr, avec S = ----;f--------.

L'approximation faite dans (2) est--elle justifiée &

posteriori ? On peut ainsi affecter aux particules

Fig. ] : schéma de principe du rotor d e s 0 ] u t é | a « m a s s e apparente »
d 'une ultracentrifugeuse *
m = (l -- pofl) m.

Cl 5 --- Montrer que la dimension du coefficients est celle d'un temps. L'unité 
pour s est
le svedberg, noté S : 1 S = 10"13 seconde.

D 6 -- Estimer l'ordre de grandeur du temps au bout duquel la vitesse limite 
est prati-
quement atteinte.

2. Équation de sédimentation (LAMM, 1929)

On note D le coefficient de diffusion du soluté dans la solution. La 
concentration c(r,t)

de la solution ne dépend que de la distance r à l'axe de rotation et du temps !.

D 7 ---- Les particules de soluté se déplaçant à la vitesse limite, donner 
l'eXpression du
vecteur densité du courant convectif de particules.

D 8 -- Sachant qu'à la non--uniformité de la concentration c(r,t) est associée 
la densité

de courant diffusif de particules donnée par la loi de FICK jD =--D grad(c), 
établir
dc

! 'équation de sédimentation : _87 + div[s a)2rcur --- D grad(c)] : 0.

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Cl 9 ---- Donner l'équation différentielle scalaire vérifiée par c(r,t). En 
coordonnées

. 1
cylindriques, la divergence d'un champ radial de vecteurs A est le(A,u,) = 
--Ë--(r A,).

rôr

3. Solution de l'équation de sédimentation en l'absence de diffusion

On note r... la distance minimale du secteur de la cellule
à l'axe du rotor et ... la distance maximale (fig. 2). On
néglige l'accumulation de particules au voisinage de r : rM.

On néglige enfin la diffusion, ce qui revient à considérer que,
dans l'équation de sédimentation, D est nul. Une solution de
concentration uniforme co est placée dans une cellule du
Fig. 2 _. cellule rotor, tournant à la vitesse angulaire a).

[
Cl 10 --- Soit la fonction r, (t) : rm exp[î--], où Treste
' T

provisoirement à caractériser. Sans se préoccuper de r = r, , expliquer 
pourquoi l'expression

suivante constitue une solution de l'équation de sédimentation :

0 sir .<.r co. La concentration c(r) ne dépend plus que de 
r. On admet

que le courant total de particules (courant convectif + courant diffusifl est 
nul en r... et en rM.

D 13 -- Pourquoi la diffusion ne peut--elle plus maintenant être négligée ?

E] 14 -- Établir la relation c(r) = c(rm)exp{ ï; (ra .. rnî):l.

D 15 -- Établir une autre expression pour c(r), en convenant que l'énergie 
potentielle
centrifuge est nulle pour r = r..., et en appliquant la formule de la 
statistique de BOLTZMANN

aux particules de soluté. Le résultat fait intervenir la constante de BOLTZMANN 
k et la
température T. Expliquer au passage pourquoi l'énergie cinétique n'intervient 
pas ici.

D 16-- Quelle relation simple obtient--on alors entre D etf ? (C'est la relation
d 'EINSTEIN, qui établit un lien remarquable entre friction et diffusion.)

Tournez la page S.V.P.

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Seconde partie : ultracentrifugation d'équilibre

On ultracentrifuge à 50000 tours par minute une solution aqueuse concentrée de 
chlo-
rure de césium (CsCl). On admet que la solution reste électriquement neutre 
localement en
tout point de la cellule d'ultracentrifugation. On adopte l'hypothèse 
simplificatrice que les

ions Cl" et Cs+ restent toujours par paires, notées [CsCl], de masse molaire M 
: 168,5 g.

1. On su ose d'abord u'il n' a as d'autre soluté dissous ue le chlorure de 
césium.
PP q y P q

D 17 -- Calculer le volume massique :Bcsc1 des paires [CsCl] sachant que la 
solution

titre c() = 6,5 mol.l"'et que sa densité (par rapport à l'eau) vaut d = 1,70.

E] 18 ---- Lorsque la solution de CsCl atteint l'équilibre de sédimentation, la 
répartition

2 2
radiale de la concentration cCsC, des paires [CsCl] est de la forme cCsCl : E 
exp( a)2g ].

Déterminer l'expression de E(r,co,rM,nn,w,s,D) en considérant que s est 
constant.

Déduire le volume massique B(r) de la solution de chlorure de césium en 
fonction de r.

2. On ajoute à la solution de chlorure de césium ainsi préparée une petite 
quantité de
soluté (macromolécules) à analyser.

On note m la masse de ces macromolécules et [3 leur volume massique.

m ac l'O m 8OE'O

D 19 ---- Montrer que, si fl...,...

se concentrer dans une région de la cellule d'ultracentrifugation autour d'une 
valeur ro que
l'on caractérisera, sans chercher à l'expliciter.

est compris entre B(r...) et B(rM), les macromolécules vont

[] 20-- En effectuant un développement limité à l'ordre 1 du volume massique 
B(r)

autour de ro (poser r : r0(1+8), |£l << ]) et en utilisant l'équation différentielle exprimant l'équilibre de sédimentation des macromolécules en régime stationnaire, montrer que la concentration de ces macromolécules, c......(r), suit une loi de distribution gaussienne autour z 20'2 k, T, (0, ro et de la valeur absolue de la de ro, c'est-à--dire une expression de la forme c...acm(r)= cmacm(ro)exp-- . Donner l'expression de C' en fonction de mm..., Bmw... ' 0 r 0 ' I I d dernvee du volume massxque de la solution, evaluee en ro, [ÎË . r r=r () Cl 21 -- Donner la condition permettant de séparer par ultracentrifugation des substi- tuants isotopiques de même volume massique mais de masses molaires différentes. Donner aussi la condition permettant de séparer par ultracentrifugation deux macromolécules isomè- res, de masses molaires égales mais de volumes massiques différents (puisque leur structure développée est différente). FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE Page 4 sur 4