Centrale Maths 2 PSI 2023

Mathématiques 2 om)
ON

Ps ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

Quelques applications de la formule de Stirling

Ce problème propose de démontrer un raffinement de la formule de Stirling et de 
l'appliquer à l'étude des
marches aléatoires sur Z.

I Intégrale de Gauss

+00
Le but de cette partie est de calculer l'intégrale dite de Gauss : | eY dt.
0
+00
Q 1. Montrer que l'intégrale | et" dt est absolument convergente.
0

On étudie les fonctions f et g définies par

e(t?+1)x? 5
f(x) fs à et  g(x) = fe dt.
0

2+1
0
Q 2. Montrer que f est définie sur R et qu'elle est paire. Calculer f(0).
Q 3. Montrer que f est de classe C! sur R et donner l'expression de f/(x).

Q 4. Montrer que g est définie et de classe C1 sur R.

Q 5. À l'aide d'un changement de variable affine, montrer que
VrER, f(x) = --2g'(x)g(x).
Q 6. Vérifier que

+00

$

Q 7. En déduire lim g(x), puis conclure que | et dt =
+00
0

IT Formule de Stirling

Dans cette partie, on propose de démontrer un raffinement de la formule de 
Stirling. On va prouver l'existence
d'une suite (q,),ew convergente vers 0 telle que

VneN*, nl=V2rn _ 14 Li .
e 122 On

+00
ITA - Pour n EUR N, on pose 1, = | te t dt.

0
Q 8. Montrer que la suite (1,),en est bien définie.
Q 9. Donner une relation entre 1,., et 1,, et en déduire que 1, = n! pour tout 
entier naturel n.
IT.B - Cette sous-partie est consacrée à la démonstration de la formule de 
Stirling classique

n nm
nl + 27rn (2) ; (IL.1)
n--+00 e

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Q 10. Si n est un entier naturel non nul, déduire de la question précédente que

nl = yñn op (: + +) en dy.

On note 1,_ ;; la fonction indicatrice de l'intervalle [--/n, +| dont on 
rappelle qu'elle vaut 1 sur [--/n, +
et 0 sur ]---co,--/n[. On pose pour n E Net yeR, f,(y) = 1 5,+01(Y) (1 + ) er 
yvn,

Q 11.  Démontrer que la suite de fonctions (f,) converge simplement sur R et, 
pour y EUR R, préciser im f, (y):
x --In(1 +)
g  --

Pour x EUR ]--1,+oo| \ {0} on pose g(x) =

Q 12.  Justifier que q est prolongeable en une fonction continue sur |--1,+c| 
que l'on convient de noter
également q.

u
du.
UT

1
Q 13. Démontrer que, pour tout x > --I, q(x) -- | 1+
O

Q 14. En déduire que q est une fonction décroissante sur |--1,+oo| et démontrer 
que pour tout n EUR N*,
VyeRt, fi(y) <(1+yje% et VyeR", fi(y) 0. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul n, tel que
Vn>no, (1--Ee)b,  a, converge et que les restes 
vérifient > Qy, nee > D.
k=n k=n

+00 1

II.C.2) Si n est un entier naturel non nul, on pose À,, -- > 12°
k=n

n+1
Q 19 Pour tout n EUR N*, établir que 1 < | L dt < L . ; q (n n 1)2 à 12 D n2 Tv Q 20. En déduire un équivalent simple de À,, lorsque n -- +oo. II.C.3) +00 Q 21.  Déduire des questions précédentes un équivalent de > w,, lorsque n -- 
+00.
k=n

Q 22. En déduire qu'il existe une suite (q,,),-nw convergente vers 0 telle que

Tr
Vn EN, n!=vV2m EL 14 4
ë 12n n

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III Étude de deux séries entières et application à une marche aléa-
toire

Un point se déplace sur un axe gradué. Au départ, il se trouve à l'origine et à 
chaque étape il se déplace suivant
le résultat du lancer d'une pièce de monnaie qui n'est pas supposée équilibrée.

Le déplacement du point est formalisé de la manière suivante. Dans l'espace 
probabilisé (Q,.4,P), on considère
une suite de variables aléatoires (X,,),en- à valeurs dans {--1,1}, 
indépendantes, et telles que, pour tout n EUR N*,

PIX, =1)=p et P(X,=-1)=ag oùpel0,l[etqg--=1-p.
Les variables aléatoires (X,),e1-+ représentent les résultats des lancers 
successifs de la pièce de monnaie.

L'abscisse $, du point à l'issue du n-ième lancer est alors définie par :

5, = 0,
S, =) X, VneN.
k=1

On admet que, si (Y,),enw est une suite de variables aléatoires indépendantes 
suivant toutes la même loi alors,
n--k n

pour tout n > 2, quel que soit l'entier k compris entre 1 et n--1, les 
variables aléatoires > A > Y, suivent
i=1 i=k+1

la même loi.

On se propose de calculer la probabilité que le point ne revienne jamais à 
l'origine.

On remarque que le point ne peut revenir à l'origine (i.e. $, -- 0) qu'après un 
nombre pair de lancers de la pièce
de monnaie (i.e. k = 2n).

On introduit alors les suites (a, ),en EURt (b, }nen définies par a, = 1, b5 = 
0 et
Vn EUR N", dn = P(S2n = 0) et D = P([S: FO0N NS F0N [IS = 0])

et les séries entières

+00 To
A(x) = > a,x°" et B(x) = > b,,x°".
n--Û0 n=0

TITI. A --

Q 23. Quelle est la loi de la variable aléatoire SX , +1) ? En utilisant une 
loi binomiale, calculer l'espérance

et la variance de la variable 5.

Q 24. Écrire une fonction Python qui prend en argument le nombre n de lancers 
et renvoie le nombre de
retours au point à l'origine.

On pourra utiliser la fonction Python random.random() qui renvoie un nombre 
flottant pseudo-aléatoire
dans l'intervalle [0, 1{.

2n
Q 25. Vérifier que pour tout n EUR N° a, -- | Jr
n

Q 26. En déduire le rayon de convergence À de la série entière Y° a,,x°".

Q 27. Pour quelles valeurs de p l'expression A(x) est-elle définie en x = 1 ?

Q 28. En utilisant le développement en série entière en 0 de déterminer une 
expression de A(x).

1
Vl---x
III.B -

Q 29. Pour n EUR N*, en décomposant l'événement {$., = 0} selon l'indice de ler 
retour du point à l'origine,

mn
établir la relation a, = D ba, y.
k=0
Q 30. En déduire une relation entre A(x) et B(x) et préciser pour quelles 
valeurs de x elle est valable.

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Q 31.  Conclure que B(x) = 1 -- 4/1 -- 4pqx* pour x dans un intervalle à 
préciser.

Q 32. Pour quelles valeurs de p l'expression obtenue à la question précédente 
pour B(x) est-elle définie en
x = 1? Qu'en est-il de l'expression qui définit B(x) comme somme d'une série 
entière ?

TIITI.C --

Q 33. En déduire que la probabilité de l'évènement « le point ne revient jamais 
en 0 » est égale à |[p -- q|.

IV Loi de l'arcsinus

Dans cette partie, on reprend les notations de la partie IIT et on se place 
dans le cas particulier p = q = 1/2.
Dans ce cas tous les « chemins » de la marche aléatoire sont équiprobables : 
pour n EUR N*.

I
V(t:,..,24,) EUR {--1,1}", P([S: = 2) N[S: = 2 +a Ne OS, = 23 + 20 ++ Th) -- On

Pour n EUR N, on s'intéresse désormais au moment de la dernière visite en O0 de 
la marche aléatoire au cours des
2n premiers pas, c'est-à-dire à la variable aléatoire 7}, définie par

T,, = max{0 < k < 2n | 5, = 0}. On admet dans la suite que 7, est une variable aléatoire discrète, définie sur le même espace probabilisé (Q, 4, P) que la suite de variables aléatoires (S,,),en. Si x est un réel, on note |x| sa partie entière. IV.A - Pour n EUR N*, on appelle chemin de longueur n toute ligne polygonale reliant les points (0,5), (1,8), ..., (n,5,). l'{ (7, 57) 0 (0, S) , >
(2,52) (6, 5)
_1 {
(1, S1)

Figure 1 Un chemin de longueur 7
Dans cette sous-partie IV.A, n, x et y sont des entiers naturels tels que n £ 
0, x Æ 0 et y £ 0.

IV.A.1) On note N,,, le nombre de chemins reliant le point (0,0) au point (n, 
x).

Q 34. Vérifier que si x EUR [--n,n] et n -- x est un entier pair alors

n | n+x
via (1) OÙ a --

et que N,,, = 0 dans le cas contraire.
Q 35. En déduire P(S,, = x).
Q 36. Retrouver ce résultat à l'aide d'une variable aléatoire bien choisie.

IV.A.2) Principe de réflexion

Q 37. Montrer que le nombre de chemins reliant (0,x) à (n,y), tout en passant 
au moins une fois par un
point d'ordonnée 0, est égal au nombre de chemins quelconques reliant (0,--x) à 
(n, y).

IV.A.3)

Q 38. En utilisant le principe de réflexion, montrer que le nombre de chemins 
reliant (1,1) à (n,x) sans
jamais rencontrer l'axe des abscisses est égal à

N _ix1 AN, --1,x+1:

mn mn

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Q 39. En déduire que pour tout k EUR N°

P(LS, > ON N[S2, 1 > ONTS2, = 2k]) = (PS: = 2k--1) --P(S2 1 = 2k + 1)).
+00
Q 40. En remarquant que [S,, > 0] -- B LS, = 2k], démontrer que
k=1

PS > ne ns, > NS, > 0]) = PS», = 0)

puis que
P(LS ÆON NS, à À 0JN [Se À 0]) = P(S2, = 0).
IV.B -- Soit ne N*.
Q 41. Montrer que pour tout k EUR [0,n|]
P(T, = 2k) = P(S2x = 0) x PIS: F0] N + 0 [Son 2x À 01).

Q 42. En déduire que pour k EUR [0,n|]

2k 2n--2k\ 1
ae (2) 2)2

IV.C -- Dans cette sous-partie IV.C a et 5 sont deux réels tels que 0 < a < 5 < I. f(a) si t E (0, al Q 43. On définit la fonction f par f(t) = = site [a, f] f(B) site ]B,1]. En utilisant des sommes de Riemann adaptées à f, montrer que B [nr 8 1 lim Ù -- -- [a n--+00 k-(na 1 VkV/n --k \/t(1 -- t) & Q 44. À l'aide de la partie II justifier qu'il existe une suite (Eh )nen convergente vers 1 telle que = C8) Q 45. En déduire que ae | S Fa Fe) S 1 )-0 note |, ee VE n--R JA TR Gr Vin --k) Q 46. Montrer alors que lim P (on EUR [a: s)] -- 2 (arcsin(/5) _ aresin( Va) ). n--+00 on / / , T' 1 1 Ce résultat a des conséquences assez surprenantes au premier abord. Par exemple lim P[-22 <=] = - n--+00 2n 2 2 ;. ee , , ; on ., s'interprète aïnsi: si deux personnes parient chacune un euro chaque jour de l'année à un jeu de hasard équilibré, alors avec la probabilité 1/2, un des deux joueurs sera en tête du premier juillet au 31 décembre. eceerINee.e M014/2023-03-27 13:15:35 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA