e3a Mathématiques PSI 2023

SESSION 2023 (> PSI8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/6
EXERCICE 1

Soit 7 un entier naturel non nul.

On donne, dans un espace probabilisé (Q, 7, P) deux variables aléatoires X et 
YY prenant leurs valeurs
dans [[1,n + 1]|.

On suppose qu'il existe « EUR KR tel que :

VGi,)elln+1f, pi =P(IX = in = j) = a")! |

Déterminer la valeur du réel &.
Déterminer les lois des variables aléatoires X et Y.

Les deux variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

SRE

Reconnaître la loi de la variable aléatoire Z = X -- 1. En déduire l'espérance 
et la variance de la
variable aléatoire X.

5. On note B EUR .#:1(R) la matrice dont le coefficient de la #""* ligne et de 
la j""® colonne est :
bij = Pix=j(Y = i]).

Calculer les b;;.
6. Déterminer rg(B) et les sous-espaces vectoriels Im(B) et Ker(B).

7. Déterminer une matrice colonne EUR EUR .#,:11(R) et une matrice ligne L EUR 
.# ,:1(R) telles que
B = CL.

8. Démontrer que B° = tr (B)B.

9. Déterminer les valeurs propres de B. La matrice B est-elle diagonalisable ?

EXERCICE 2

Questions de cours

1. Soit n un entier naturel. Déterminer le quotient et le reste de la division 
euclidienne dans R[X]
du polynôme X"*! -- 1 par X -- 1.

2. Donner, sans justification, la somme de la série entière > x" ainsi que son 
ensemble de défini-

n>0
ton.

2 2

3. Étude d'une suite

1 -- pur

1
3.1. Montrer que l'intégrale [ df converge pour tout entier naturel n EUR N°.
0

Ï

l+ft+...+r
Démontrer que la suite (,),«w- converge vers un réel EUR que l'on déterminera.

1
3.2. On pose, pour n > |, u, = [
(0

On vérifiera soigneusement les hypothèses du théorème utilisé.

2/6
4. Étude de la série de terme général 4, -- EUR
4,1. Soit n EUR N'.
Pour tout entier naturel non nul p, et tout réel f EUR [0, 1], on pose g,(#) = 
(1 --f) porn

Démontrer que la série de fonctions > g, converge simplement sur [0, 1] et 
déterminer
p?1
sa somme.
1
4.2. Calculer l'intégrale [ g(?) df et en donner un équivalent lorsque p tend 
vers +co.
0
4.3. En utilisant la série de fonctions définie au 4.1, démontrer que :

-- 1
EE Ge Dp+ D Dp+ D

VneN", u

[2
(+ 1)p +2) (+ 1)p +1)

Démontrer que la série de fonctions > h, converge normalement sur R;.
p?1
4.5. En déduire que, pour n au voisinage de +, on a :

4.4, Pour tout p entier naturel non nul, on pose h,(f) =

T° 1
Un -- EUR + Gr + O mn
+00
1 2
On admettra que : > = = --
n=] n
EXERCICE 3

Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Pour toute matrice M EUR .#,(R), on note M sa transposée et on rappelle que :

VIMN)E AR), (MN) = N'TMT.
L'espace E = R? est muni de son produit scalaire canonique :
VXYEE, (XY)=Xx'"}Y
et pour tout vecteur X de E , sa norme est notée

JAI = VATX.

Soit 7 un entier relatif supérieur ou égal à --1.
On dit qu'une matrice À EUR .#,(R) est de type n lorsque A' = A".

1. Quelques exemples
1.1. Déterminer l'ensemble des matrices de .#,(R) de type 0.

1.2. Déterminer l'ensemble des matrices de .#,(R) de type 1.

1.3. Déterminer l'ensemble des matrices de .#,(R) de type --1.
En donner un exemple différent de la matrice identité lorsque p = 4.

3/6

On suppose désormais que n est supérieur ou égal à 2.

2. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend p = 3 et 
pour tout réel 6,

on note :
1 0 Û

A(0) =|0 cos(@) --sin(6)|.
O sin(0)  cos(6)

2.1. Démontrer que l'on a : Vm EUR N, (A(0))" = A(m6).

2.2. Déterminer alors l'ensemble des réels 4 tels que A(0) soit une matrice de 
type n.

On revient au cas général avec p > 3.

3. Soit À une matrice de .#,(R) de type n.
3.1. Établir l'égalité : A" = A.
3.2. On note B = A".
3.2.1. Montrer que B" = B.

3.2.2. Démontrer que B est une matrice symétrique.

3.2.3. Prouver que les valeurs propres de B sont positives ou nulles.

On pourra examiner X' BX où X est un vecteur bien choisi de E.

3.2.4. Déterminer les valeurs propres de la matrice B, lorsque B n'est mi la 
matrice nulle ni
la matrice identité.

3.2.5. Prouver que B est une matrice de projection orthogonale.
On précisera ses éléments caractéristiques.
3.3. Prouver que Ker(B) = Ker(A).
3.4. Démontrer que Im(A) = Im(B).
3.5. Prouver que Im(A) et Ker(A) sont supplémentaires orthogonaux.
3.6. Démontrer que l'on a : Y X EUR Im(A), [AX|| = |[X||.
3.7. Prouver que s1 À est de plus inversible, alors À est aussi de type --1.

4, Prouver enfin que si À est à la fois de type n et de type n+1, alors À est 
une matrice de projecteur
orthogonal.

4/6
EXERCICE 4

Dans tout cet exercice, i désigne le nombre complexe usuel vérifiant à? = --1.
Questions de cours

1. Pour tout réel 9, donner le module et un argument du nombre complexe e'?.
2. Pour tout entier naturel n et tout réel #, démontrer que sin(nx + f) = 
(--1)" sin(r).

3. Soit (a, ex une suite de réels, décroissante et de limite nulle.

3.1. Justifier que la série > (D dy COnNVerge.

n>0

3.2. Pour tout entier naturel p, justifier que la série > (1 dn COnVerge.
n2p
Sa somme sera notée 7.

3.3. Justifier que la suite (T,),«x converge et donner sa limite.

3.4. Rappeler le signe de T,, suivant les valeurs de p.

vx
4, Soit f une fonction continue sur R à valeurs dans KR. Justifier que la 
fonction x + [ f(®) dt
(0

f(x)
2x.

On admet que le résultat reste valable pour une fonction f continue sur R à 
valeurs dans C.

est de classe C' sur R et que sa dérivée est la fonction x +

2 2

L ix(1+f2)

1+/#2 dr.

5. Soit F la fonction définie sur R et à valeurs dans EUR par F(x) = [
0

On rappelle que si & est une fonction dérivable sur R à valeurs réelles, alors 
la dérivée de la
fonction complexe x + e'*® est la fonction x + igw'(x)e'#°.

5.1. Démontrer que F est de classe C! sur R.

On vérifiera les hypothèses du théorème utilisé.

5.2. Démontrer que pour tout réel x strictement positif :

" 1X Vx
1e
F'(x) = -- el" du.

Vx Jo

6. Convergence d'intégrales

6.1. Montrer que les intégrales [ Sin(u) du et [ cos(u) du convergent.
0 U 0 Vu

+00 in
6.2. En effectuant une intégration par parties, montrer que [ -- du converge.
r Vu
1u

+00
6.3. En déduire que l'intégrale [ ---- du converge.
o Vu

5/6
+00

6.4. Prouver enfin que l'intégrale e" dy converge.

(0
On pourra effectuer un changement de variable.

| COX sin(u)
. Pour tout entier naturel n, on pose w, = du.
n

r vu
7.1. Montrer que, pour tout entier naturel n, w, existe.
7.2. On pose, pour tout entier naturel n : &, = (---1)"w,.
Prouver que @&, est un réel strictement positif.

On pourra effectuer sur w, le changement de variable affine t = u -- nx.

7.3. Prouver que la suite (&,),en est décroissante.

7.4. Prouver que la série > w, converge et préciser le signe de sa somme.
n>0
On pourra utiliser les questions de cours.
T* sin(u)

+00
7.5. Démontrer que : Wn = du.
2h vi

. Montrer que pour tout x réel positif :

vx
FO = 7 +i L c* du |
4 0
X-- +00

En déduire que [ | cos (x) dx = [ sin (x) dx = Nr,
0 0

On pourra utiliser la question 6.

2
. On admet que lim F(x) = 0.

FIN

6/6