X Maths 1 PSI 2020

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES - ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020 - 8h00 -- 12h00
FILIERE PSI
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(XUCR)

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé
Aucune calculatrice n'est autorisée

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Notations

Dans tout l'énoncé, on adopte les notations suivantes :

-- Si E et F sont deux ensembles non vides, alors E x F désigne l'ensemble de 
tous les
couples de la forme (x,y) avec x EUR E et y EUR F. Si k > 1 est un entier, on 
note EF
l'ensemble des k-uplets (x1,:-- ,æ4) avec x; EUR E pour 1  1, (.|.) désigne le produit scalaire canonique sur R4 
défini par

d
Vz = (ti, FT TT E R', Vy = (ui, FT Ya) E R', (x|y) + dx.
i=1

On note ||: || la norme associée définie sur R° par :

d
Vx -- (1, ne ; Da) EUR R', x | D a,

i=1
On note (e1,--- ,ey) la base canonique de R.
-- Si E est un ensemble non vide et g une application de Æ dans KR, on note inf 
g(x) la
ze

borne inférieure de l'ensemble non vide g(Æ) défini par
g(E) := {yeR|2re E tel que y = g(x)}.

On rappelle que cette borne inférieure est bien définie si g est minorée sur Æ, 
c'est-
à-dire s'il existe un nombre réel m tel que

VreE, g(x) > m.

De même, on note sup g(x) la borne supérieure de g(E). Cette borne supérieure 
est
xeE
bien définie s'il existe un nombre réel M tel que

Vze E, g(x) < M. Si f1 et f> sont deux fonctions de Æ dans R, on note min( fi, f2) la fonction 
de E
dans R définie par

Vx EUR E, min(fi, f2)(x) = min(fi(x), f(x).

-- Si d > 1 est un entier, f : R° -- R une fonction et X > 0 une constante 
réelle, on dit
que f est X-Lipschitzienne si

V(x,y) ER°XR*, [f(x) -- f(y)| < K|x -- yI|. On dit que f est Lipschitzienne s'il existe une constante réelle X > 0 telle 
que f est
K-Lipschitzienne.

On note B(R*, R) l'ensemble des fonctions bornées de R1 dans R. Pour toute 
fonction
f EUR B(RY,R) on pose
[fl = sup |f(æ)|.

zERd

Dans toute la suite, d désignera un entier naturel non nul.
Partie I : approximation par des fonctions Lipschit-
ziennes

Dans toute cette partie, EUR et a désignent deux nombres réels avec EUR > 0 et 
a > 1.

Sih : R?--R est une fonction minorée, on définit, sous réserve d'existence, la 
fonction
Th : R/--R par

ve eRt (T)(a) = inf (hu) + Sy 2°).

yE

1. Soit h : RY-- R une fonction minorée. Montrer que la fonction 7:h est bien 
définie

sur Rd et que
Vr ER, (Tih)(x) < h(x). 2. Soient h1 et ho deux fonctions de R° dans R minorées. On pose H = min(h:, ho). Montrer que T:H est bien définie sur R4 et que TLH = min(T:h1, Tiha). Indication : pour prouver cette dernière identité, on peut d'abord montrer que TH < min(Tih1,Tiho). 3. On suppose dans cette question uniquement que a = 2. Soit g : R? -- R la fonction définie par VreR, g(x)=/||x|?. Calculer (T:g)(x) pour tout x EUR IR. Indication : pour x EUR R' fixé, on peut décomposer tout vecteur y EUR IR sous la forme y = Àr + y, avec À un nombre réel et y, un vecteur orthogonal à x. 4. On suppose ici uniquement que a = 1. Soit h : R4-- R une fonction minorée. (a) Montrer que Th est 1-Lipschitzienne. (b) Montrer que T-h = h si et seulement si À est 1-Lipschitzienne (c) On se place dans le cas où h(x) = |[x|| pour tout x EUR R1. Montrer que À Vz EUR R°,(Th)(x) = min(1, Ike. (d) Soit £ : RY-- R la fonction définie par : {(x) = min(1,|x||) pour x EUR R£. Exprimer (T:L)(x) en fonction de EUR et x pour tout x EUR R'. On revient désormais au cas général où a > 1. Dans toute la suite de cette
partie, f EUR B(R1,R) est une fonction fixée.

5. Montrer que 1:f EUR B(RY,R) et que [T.fle & |floo.
6. Soit x EUR R1. On pose
1
A(x) = {y EUR R°| f(y) + Sly < fa). Montrer que A(x) # (, que Vy EUR A(x), |ly -- | < (21floo)"/°. et que he) = inf (Qu) + Elu el) 7. On suppose dans cette question que f est continue. Montrer que pour tout x EUR R, il existe y, EUR RY tel que 1 (Te f(x) = f(Yx) + AL |" 8. Montrer que pour tous x EUR R< et y EUR Rd, on a | 1 LA) -- FOI < IT -- flee + lg = 2 9. On pose ici et dans toute la suite, sous réserve d'existence, VrEe[0,+oo[, wy(r)= sup |f(x) -- f(y)|, (æy)EBo(r) où Bo(r) = {(x,y) ER°XR°| [x --yl  0, w/(r) est bien défini et
1
apr) EUR ITef -- floo + Dr.

(b) La fonction r EUR [0,+oo[- w/(r) est croissante.
10. Montrer que
ITef -- flo 1 converge uniformément vers f.
(ii) lim wy(t) = 0.

t--0+

Partie II : fonctions concaves

On dit que f : R{-- R est concave si pour tous x,y EUR REURet À EUR [0,1],

f(x + (1 y) > ÀAf(x) + (1 -- 1) f(y).

On dit que f est convexe si -- f est concave.

Dans la suite, f sera une fonction concave de R% dans R.

12. Soit fo une autre fonction concave de R° dans R. Montrer que f + fo et 
min(f, fo)
sont concaves.

13. Montrer que pour tout entier n > 2, six, ,x, EUR Rdet À,--:, A EUR [0,1] 
vérifient
n
SA = 1, alors

=1

(E Mt) > Sfr)
2=1 i=1
14. Soient x Z z deux points distincts de R4 et À EUR]0,1[. On pose y = Ar + (1 
-- À)z.

Montrer que
TE) 0) EUR ste) -- to) EUR SW FEI,

15. Soit M > O0 un réel fixé. On note X1,::-,Xo4 les 24 éléments de {--M, M}

(énumérés dans un ordre arbitraire).

(a) Montrer que pour tout x EUR [-M, M], il existe À,--- , pa EUR [0, 1] tels 
que

SJ X=1et SJ XX;= x.

Indication : on peut procéder par récurrence.
(b) Montrer qu'il existe une constante réelle D < 0 telle que : Vze[-M,M}", f(x) -- f(0) > D.
(c) En déduire que
Indication : on peut observer que 0 = 2x + (--x) pour tout x EUR [-M,M]*
M Mjd

(d) En déduire que pour tous &,y EUR [-#, +

Jul On&

Le) -- F1 < Me -- vi Indication : on peut considérer un point z = y+t(y-- x) avec t > 0 un nombre
réel convenablement choisi.

(e) Montrer que f est continue sur RA.
16. Soit CC R*! un ensemble convexe fermé non vide et Y EUR R{+{.
(a) Montrer qu'il existe Y, EUR C tel que
VXEC, |[Y-YI <|Y -X||: (b) Montrer que rec PRIX) <é 0 (c) En déduire que Y, est unique. 17. On note E}; = {(x,y) E R?XR |y< f(x)} C R*!. On fixe dans la suite de cette question x, EUR R° et un nombre réel EUR > 0.

(a) Montrer qu'il existe un unique X, = (x.,y.) EUR E; tel que
VXEE;, [(r, f(x) +e) -- Xl < [ax fm) + EUR) -- X]|. (b) Montrer que y: = f(x). (c) On pose désormais a(e) = f(x,) -- f(x.) + EUR. Montrer que Vx EUR R', (Tr -- Tata -- Te) + [tx -- ze ||? + a(e)(f(x) + f(xe)) < 0. (d) En déduire les deux inégalités 0O0 une suite réelle vérifiant : Vn > 0, [us] < Ko. On définit les suites (a; )h1>0 et (br)hn>0 de la manière suivante :

-- ao = --Ko et bo = Ko
-- pour tout entier n > 0:
- si l'ensemble {k EUR N | ug EUR [a, antèa]} est infini alors
Qn + On

An+1 -- An et bn+1 -- ;

:

- sinon
An + by

An+1 -- et br -- bn.

(a) Montrer que ces deux suites (an )n>0 EURt (bn)h>0 Sont adjacentes.

(b) Montrer que pour tout entier n > 0, l'ensemble {k EUR N | ux EUR [as,b,]} 
est
infini.

(c) En déduire qu'il existe une suite extraite (u,(n))n>0 qui converge.

19. Montrer l'existence d'un vecteur p, EUR R' tel que
VreR', f(x) -- f(x) <(p.lz-2,). Indication : on peut considérer les éléments de R4 1 Pa = es 4), pour #2 L a(>) É

20. Déterminer toutes les fonctions g : R? -- R qui sont à la fois convexes et 
concaves.

Partie III : fonctions semi-concaves

Soit f une fonction de R dans R et X > 0 un nombre réel. On dit que f est 
K-semi-
concave si la fonction x ++ f(x) -- K||x||? est concave. On dit que f est 
X-semi-convexe
si -- f est K-semi-concave.

La fonction f est semi-concave s'il existe une constante X > 0 telle que f est 
X-
semi-concave. Enfin, on dit que f est semi-convexe si -- f est semi-concave.
ls

22,

23.

24.

Soit £ > 0 un nombre réel et f EUR B(R{,R). On rappelle que quand a = 2, T.f est
définie par

Vert (Tf)(a) = info) + Sly el).

yERd

1
EUR

Montrer que, dans ce cas, T:f est =-semi-concave.

On suppose dans cette question et dans toute la suite que f EUR B(RY,R) est une
fonction X-semi-concave. Montrer que pour tout x EUR R, il existe p, EUR R° tel 
que

VyeER, f(y) -- f(x) < (pely -- +) + Klly - x. (a) Montrer que pour tout x EUR R', la fonction y ++ f(y) -- K||y -- x? est concave. (b) Montrer qu'il existe une constante X' > 0 telle que pour tous x, y EUR R" 
vérifiant
leu <2, | Lf(x) -- fu) < K°Iz -- vi. (c) Montrer que f est X'-Lipschitzienne. On suppose dans cette question que f est à la fois X-semi-concave et K-semi- convexe. (a) Montrer que pour tout x EUR R, il existe p,,q EUR R° tels que VyeR, (aly-2) --Kly- al" < f(y) -- f(x) < (ply -- x) + Klly -- xl. b) Montrer que pour tout x EUR RY on a py = qy. P (c) Conclure que f admet des dérivées partielles en tout x EUR R' et que V f(x) = p+ (où l'on a noté Vf(x) le vecteur de RY dont les coordonnées dans la base canonique sont les dérivées partielles en x de f). (d) Montrer que pour tous x, y, h EUR R4 on a l'inégalité KV) -- VF) 1h) < K(IAÏ + Ile + hk-- y + 1x -- gl): Indication : on peut utiliser l'inégalité suivante après l'avoir justifiée : --Kly+h-alf< f(y+h)-- f(x) --(Vf(x)lyu+h-x) < Kfy+h- xl. valables pour tous x, y, h EUR R'. (e) En déduire que pour tous x,y EUR R4 on a | Vf(x) -- Vf(y)|| < 6K|1x -- y|| et que f est de classe C1.