CCINP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2023

SESSION 2023 PSI3MO

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

.< Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. . _ Ne pas utiliser de correcteur. « Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de trois parties indépendantes. 1/28 Modélisation d'une pompe d'assistance cardiaque Présentation générale Le coeur est un organe dont le fonctionnement est central dans le corps humain. Le schéma d'un coeur humain est représenté figure 1. Les flèches blanches représentent le sens de circulation du sang. La défaillance cardiaque est lourde de conséquences et nuit au fonctionnement des différents organes du corps. Lorsque la chirurgie et la médication ne sont pas suffisantes pour traiter ces défaillances, plusieurs alternatives ont été développées et peuvent être proposées au patient : - Un ICD (implantable cardioverter defibrillator) qui surveille le fonctionnement du coeur et prévient le patient d'une anomalie ; - Un VAD (ventricular assist device) qui nécessite une batterie externe et qui fournit un travail supplémentaire pour assister le coeur; - une transplantation cardiaque qui consiste à remplacer le coeur du patient par un coeur artificiel ou par le coeur d'un donneur sain. La transplantation cardiaque est souvent la solution la plus durable, mais aussi celle qui est la plus difficile d'accès, car elle nécessite un donneur en bonne santé (les coeurs artificiels étant encore à ce jour à l'état de prototypes). La solution technologique retenue dans ce sujet est le VAD, qui a énormément évolué ces dernières années. Cette solution n'est cependant pas durable au stade actuel de développement. Elle n'est utilisée que dans le cas de grosses défaillances cardiaques et dans l'attente d'un donneur potentiel. Dans ce sujet, une nouvelle génération de pompe VAD intra-péricardiale (qui est directement intégrée au coeur du patient) est étudiée. Développée par la société française Corwave, cette pompe est implantée sur le ventricule gauche (dispositif représenté figure 2), et permet d'ap- porter la puissance hydraulique supplémentaire qui manque au coeur défaillant. Le produit est décrit sur le site suivant : https ://www.corwave.com/fr/product/corwave-lvad/ 2128 Figure 1 - Schéma du coeur humain Figure 2 - Implantation du VAD de Légende : la société Corwave sur le ventricule gauche (1) : Valve mitrale (5) : Oreillette gauche (2) : Valve aortique (6) : Oreillette droite (3) : Ventricule gauche (7) : Aorte (4) : Ventricule droit Le sujet s'organise autour de trois parties indépendantes. * La partie | propose d'établir un modèle thermodynamique simple de fonctionnement du coeur pour en étudier les performances et les conséquences d'une déficience car- diaque. * La partie Il propose une modélisation de l'actionneur du VAD pour déterminer les ef- forts sur la membrane oscillante et pour dimensionner le courant électrique nécessaire à la transmission de ces efforts. * La partie III s'organise autour d'un modèle électromécanique de la pompe permettant d'étudier la réponse temporelle du système lors d'un changement de point de fonction- nement et d'en déduire l'intérêt d'un asservissement de la pompe. Hypothèses générales L'étude traitera uniquement du cas d'un individu au repos. La fréquence cardiaque au repos d'un individu sain est de f = 60 batt-min ! pour un débit moyen en sang de q = 5 L:min ! (1 battmin ! = 1 battement par minute). Pour les applications numériques, les approximations suivantes seront faites : - T=3); - g=10ms 7. 3/28 Partie | - Modélisation du coeur, un organe indispensable et parfois défaillant Objectif L'objectif de cette partie est de comparer les performances d'un coeur sain à celles du coeur d'un patient atteint d'hypertrophie myocardique ; l'intérêt de la pompe d'assistance cardiaque sera ainsi mis en avant pour compenser les effets de ce type de pathologie. 1.1 - Modélisation d'un coeur sain En ne considérant que la moitié gauche du coeur, le cycle thermodynamique (noté I) subi par le sang contenu dans le ventricule et l'oreillette peut être tracé dans un diagramme pres- sion - volume (figure 3). Les étapes du cycle T4 sont détaillées ci-après : ° A -- B remplissage ventriculaire : la valve oriculo-ventriculaire gauche (valve mitrale numérotée (1) sur la figure 1) s'ouvre, le volume du ventricule gauche (3) passe ra- pidement d'environ V, = 70 mL à V, = 140 mL suivant une courbe appelée "courbe de compliance"; + B-- C phase de diastole : remplissage lent du ventricule, déjà quasiment plein. L'afflux de peu de sang est alors responsable d'une forte augmentation de la pression dans le ventricule. La pression monte jusqu'à la tension systolique p1 = 1,70:10* Pa; °C -- D éjection systolique : l'oreillette gauche (5) se contracte, éjectant le sang dans l'artère aorte par la valve aortique (2) ouverte. Le volume du ventricule redescend à Vo = 70 mL; ° D -- À relaxation isovolumétrique : toutes les valves se ferment, les cellules muscu- laires ventriculaires se relâchent et la pression retombe à la tension diastolique po = 1,00:10* Pa. x D P1 + c ) | l I l l l l / W, l l Î l , ! / Î 07 ! ) l | A LT BD l Por !___-< V Vo V. Figure 3 - Cycle thermodynamique T';, subi par le sang 4/28 Q1. Justifier le sens de parcours de ce cycle dans le diagramme (p, V) au vu du rôle du coeur dans le corps humain. Identifier alors la signification de W,, l'aire algébrique grisée définie positive : W, =-Érav (1) L'th Considérons l'équation différentielle suivante : Va TN = p(V) soit W(V,_1)-W(V,) = [ pdV. (2) Va-1 Il est possible de discrétiser l'équation (2) en approximant l'intégrale par les trois surfaces représentées figure d4 : p(V) p(V Pat Te ) PnT- Pn-1 +-- Pn-1 V7 y y y V,- 1 Vh V,- 1 Vh V,- 1 Vh Euler explicite Euler implicite Euler semi-implicite (Méthode des rectangles à (Méthode des rectangles à (Méthode des trapèzes) gauche) droite) Figure 4 - Différents schémas de discrétisation d'une intégrale V,_, et V, seront les volumes du ventricule à deux instants consécutifs, indicés n --- 1 etn en référence au pas de temps du modèle numérique. De même, les notations suivantes seront utilisées : W, = W(V,), W,_1 = W(V,-:1), Pa = p(V,) et pri = p(V,1), ave 0 SUr une 
période
correspondant à un battement de coeur, en fonction de f,., X, et de h. Réaliser 
l'ap-
plication numérique, avec X, = 1 mm et h = 65 USI.

Q13. Quel phénomène dissipatif peut justifier la différence entre la puissance 
mécanique
Pmoy transmise par la membrane au sang et la puissance hydraulique Pryaro = 0,3 
W
mesurée en sortie de pompe ? En déduire le rendement hydraulique r:,4 de la 
pompe.

11.3 - Détermination de l'effort d'induction nécessaire

L'objectif de cette sous-partie est de déterminer, par une étude mécanique, la 
force d'induc-
tion Fmac = Fmag() U, nécessaire pour faire osciller la couronne magnétique et 
la membrane.
Seules les composantes verticales de ces forces seront prises en compte, dans 
la mesure
où le guidage en translation assure une trajectoire unidimensionnelle pour 
l'ensemble du
système en mouvement.

Il est nécessaire de déterminer dans un premier temps la force que doit exercer 
la membrane
sur le fluide.

Le système constitué de la couronne magnétique (notée (3) sur la figure 7) 
attachée à la
membrane en silicone, notée (1), est modélisé par un système masse-ressort de 
masse en

mouvement m = 6,0 g (figure 13). Le ressort exerce une force F, = F,(x) u, sur 
le système
(x = { {4 étant l'allongement du ressort par rapport à sa longueur d'équilibre 
£4) et le fluide

=? . >
exerce une force Fnemb = --hi u; SUr la membrane, avec h = 65 USI.

60 -
50 -
40 -
30 -
20 -

Z 10-
ü O0.
ue --10 +
--)20 --
--30 --
--A0( --
--50 --
--60 --
20 -15 -10 -05 0.0 05 10 15 2.0
position x (en mm)
Figure 13 - Système oscillant Figure 14 - Force de rappel du ressort

12/28
Q14. En notant {, la longueur à vide du ressort, exprimer sa longueur {4 à 
l'équilibre, en
l'absence d'excitation magnétique, en fonction de #, m, k et de l'accélération 
de la
pesanteur £.

Le système est désormais étudié par rapport à sa position d'équilibre (en ©) 
repérée par

l'abscisse x.

Q15. La force exercée par le ressort sur le système est représentée figure 14. 
Proposer un
modèle linéaire de cette force sur la plage x EUR [--1,0 mm ;+1,0 mm] pour 
l'exprimer

sous la forme F,(x) = -kx en précisant la valeur numérique de k en N:mm |.

L'excitation sera considérée harmonique, de la forme Frag(f) = Fo cos(wf) (avec 
w la pulsation
de l'excitation) et la forme des oscillations de la couronne magnétique, 
modélisées par la
fonction harmonique x(f) = X, cos(wt + 4), Sera étudiée.

Q16. Montrer que la fonction de transfert du système oscillant peut s'écrire 
sous la forme
de la formule (3)

X(jo) Ho
Fmag(@) 1 + £jo + L(jw)
0

0

(3)

H(w) =

avec j" = --1 et où les expressions de H,, é et w, sont à détailler en fonction 
de h, k et
de m.

Q17. Exprimer le gain en décibels Gx(w) et la phase ®(w) de la fonction de 
transfert H(jw)
en fonction de H,, é, w et de wo.

Les données suivantes seront utilisées pour la suite du sujet :
- un gain statique Ho = 4,0-107° m-N°"';
- une fréquence propre de f, = -- -- 340 Hz;
- Un facteur d'amortissement # 27, 5.

Le diagramme de Bode du système est tracé figure 15.

Q18. Préciser la valeur des pentes non nulles observées dans le diagramme de 
Bode en
gain (figure 15) en spécifiant la plage de fréquences associée.

Q19. La plage de fréquences d'oscillations de la membrane (de 40 Hz à 70 Hz) 
est-elle en
accord avec la bande passante à -3 dB du système masse-ressort ainsi modélisé ?

Q20. En cherchant l'effort d'induction Fra, SOUS la forme Fay = Fo cos(wr), 
préciser la va-
leur numérique de l'amplitude F, de la force d'induction nécessaire pour 
obtenir des
oscillations du système vibrant d'amplitude X, = 1,0 mm.

Pour la suite, afin de garantir une marge de sécurité suffisante, l'actionneur 
devra être ca-
pable de produire une force magnétique Fr, d'amplitude minimale F4. = 50 N.

13/28

--$( TITI TITI] TITI LT TI TI] TI IIT

Ga (en dB)
=
S

|
bd
ON
©

10° 10! 10° 10° 10* 10°
0 L RER Î TT TITI Ï | III Î | TITI Ï | [I I H
= -50 | :
C L .
D |
--100 | |
© _ |
C U u
--150 | :
| | | | ES | | | | | RE men

10° 10! 10° 10° 10*

à
©
Un

Fréquence f (en Hz)

Figure 15 - Diagramme de Bode de la fonction de transfert du système oscillant

11.4 - Dimensionnement du courant nécessaire en pic de puissance

L'objectif de cette sous-partie est de dimensionner l'actionneur 
électromagnétique et de dé-
terminer l'intensité d'alimentation nécessaire pour qu'il soit capable de 
générer la force ma-
gnétique déterminée précédemment.

Dans cette sous-partie, les calculs sont réalisés dans le cadre de 
l'approximation des ré-
gimes quasi-stationnaires. L'expression du champ magnétique créé par les 
distributions de
courants et de moments magnétiques sera supposée identique à l'expression du 
champ
magnétostatique.

Modélisation du champ magnétique créé par la couronne magnétique

Dans cette section, la couronne magnétique (notée (3) sur la figure 7) soumise 
à des efforts
d'induction permettant la vibration de la membrane, notée (1), sera l'objet de 
l'étude.

La couronne magnétique (figure 16) a une forme torique, de section carrée 
d'épaisseur
£ = 2,0 mm. Le rayon intérieur de la couronne est noté R. = 20,0 mm. Le 
matériau composant
cet anneau est un alliage à base de fer conservant une aimantation rémanente 
lui conférant
les propriétés magnétiques d'un aimant permanent.

14/28
Un alliage, le Nd;,Fe,,B, à base de néodyme (Nd), de fer (Fe) et de bore (B), 
est utilisé depuis
les années 90 et permet de réaliser un matériau avec une aimantation rémanente 
3 à 10 fois
supérieure à celle d'un aimant de ferrite de même masse.

Figure 16 - Couronne magnétique Figure 17 - Moment magnétique d4#

L'aimantation J du matériau est définie comme étant la densité de moment 
magnétique d#
(figure 17) par élément de volume dV du matériau :

d#

-->

J = ----.
dV

Pour l'alliage Nd;Fe,,B, l'aimantation du milieu est J -- 7 = 1,0-107 Am !.

(4)

Q21. En supposant une répartition homogène de l'aimantation dans le matériau, 
en déduire
à l'aide de la formule (4) la valeur du moment dipolaire magnétique .Æ de la 
couronne
magnétique. L'hypothèse £ EUR R. sera faite (dans les calculs et les 
expressions) pour
faciliter les calculs dans cette question et pour la suite.

La modélisation de la couronne magnétique avec une répartition homogène de 
l'aimantation
du matériau permet de déterminer l'expression du champ magnétique en un point 
de l'axe
de révolution de l'anneau.

Le champ magnétique dé(M) créé par un moment magnétique d# a pour expression :

dÊ(M) =
_ Arr r? !

Lou dw#-r_, --
e
Pr F ' 7

avec PH = R., À = PM,r = [P|, HM = x w. et y, la splitéabilité magnétique 
relative du
milieu où se situe le point M. Si on considère le champ magnétique dans le 
noyau ferroma-
gnétique du stator (5) de la figure 7 alors y, = 50, sinon u, = 1.

Dans la mesure où &  R,, la couronne magnétique est modélisée par une 
distribution
linéique de moment magnétique dont chaque élément de longueur d£ = R.d6 a un 
moment

ue --> _,
magnétique d.# = .#rdé ur.
Q22. Identifier l'expression de .#, en fonction de .# et de R...

15/28
Q23. Montrer que la composante axiale du champ magnétique peut être exprimée 
sous la
forme :
_, 2-1 x Y
dB, = dB(M)u, -- - dB, avec 7 = os
(+ D? R

C

----
où l'expression de dB, est à préciser en fonction de wo, u,, R. et de d # = 
[Id.#||.

Seul ce champ magnétique axial sera considéré pour la suite, le champ 
magnétique radial
étant négligé devant le champ magnétique axial.

Q24. Montrer que le champ magnétique axial B,(7) créé par la couronne en un 
point M situé
sur l'axe de la couronne magnétique peut s'écrire :

27 -- 1
5 Ux
(+7)?

où l'expression de B, est à préciser en fonction de wo, u,,.# etdeR..

-->
Bon) = Bo

Effort d'induction créé par un ensemble de N. spires de courant

Un ensemble de N, = 200 spires jointives de rayon moyen R, = 10,0 mm, 
parcourues par un
courant i(r), est placé à une altitude "au dessus du point M. L'ensemble de ces 
bobines

est soumis à un champ magnétique dont l'expression est identique à celle 
établie sur l'axe
(H»x). L'ensemble est représenté figure 18.

moi. IE:

L

y

Figure 18 - Spire de courant dans un champ magnétique

Un changement de coordonnées par rapport à la section précédente est réalisé. 
La coor-
donnée x sera désormais la distance MH en choisissant M comme origine du repère.

Q25. Préciser l'expression du moment magnétique .#,(r) créé par l'ensemble des 
N, spires
de rayon R, parcourues par une intensité électrique i(r).

Lu >, eu > ,
Pour rappel, la force magnétique F s'exerçant sur un moment magnétique .#, 
plongé dans
un champ magnétique B a pour expression :

-- --> D D
F = -grad (- rB).

16/28
6 = _ AB est l'énergie potentielle d'interaction du moment magnétique .#, avec 
le champ
magnétique extérieur B.

Q26. Exprimer l'énergie potentielle d'interaction &,(x, i) de l'ensemble de N, 
spires de cou-
rant avec la couronne magnétique en fonction de B, défini précédemment, .#,, 
i(r) et

Xb

2

de y =
Y R.

Effort d'induction créé par les deux ensembles de NW. spires sur la couronne

Un deuxième ensemble de N, spires (figure 19) est disposé en dessous de M, a 
une altitude
_ "D (telle que x, = 10,0 mm). Ces N, spires sont parcourues par un courant 
d'intensité i(r)
identique au premier ensemble mais de sens contraire.

ee ---- -- -- --

2 ---- -- --

Figure 19 - Modèle de l'actionneur à deux ensembles de spires

Dans cette section, il est demandé de traiter le problème numériquement pour 
déterminer
l'allure de la force magnétique créée par les deux spires de courant sur la 
couronne magné-
tique en fonction de sa position x. Pour cela, le programme Python ci-après est 
utilisé.

17/28
NN OO O1 R © ND =

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

30

Re = 20e-3 # rayon de la couronne magnétique (en m)
epsilon = 2e-3 # épaisseur de l''aimant (en m)
Rs = 10e-3 # rayon de la spire (en m)

Ns = 200 # nombre de spires

xb = 10e-3 # distance entre les deux ensembles de spires (en m)

Aim = 1.0e7 # aimantation (en A/m)

Vol = np.pi+x((Rctepsilon)xx2-Rcxx2)+*epsilon # volume de l''aimant (
en Mxx3)

# expression à déterminer

M = ------- # moment magnétique (en A.mxx2)

muo 4xnp.pi +*1e-7 # splitéabilité magnétique du vide en H/m
mur 50 # splitéabilité magnétique relative du milieu

# expression à déterminer
MI = ------ # moment magnétique linéique (en À.m)
Ii = 3.0 # intensité du courant (en À)

# expression à déterminer
Ms = --- # moment magnétique de la spire (en A.mxx2)

# expression à déterminer
BO = --- # constante
x = np.linspace(-5e-2,5e-2,1000) # positions sur l'axe de la spire

def B(eta) :
return BOx(2xeta-1)/(1+eta)xx(5/2)

# expression à déterminer

E = --- # énergie potentielle d'interaction de l'ensemble des deux
bobines avec la couronne magnétique

Fmag = np.zeros(len(x))

Q27. L'expression de la fonction B,(7) a été établie à la Q24. Compléter la 
ligne de com-
mande de la ligne 29 pour déterminer la valeur en tout point x de l'énergie 
potentielle
d'interaction &(x) de l'ensemble des deux spires avec la couronne magnétique.

Q28. Proposer un algorithme de calcul de Fra4(x) à partir de &(x) utilisant une 
boucle for.

18/28
L'affichage de la fonction F4 est réalisé à l'aide de la bibliothèque 
matplotlib.pyplot. Le
résultat correspondant à un courant de ji] = 3,0 A circulant dans les deux 
bobines est donné
sur la figure 20.

Fmag(x) en N

60 -

Figure 20 - Force magnétique s'exerçant sur la couronne magnétique

Q29. La force magnétique Fr, résultant de l'interaction des bobines avec la 
couronne ma-

gnétique est-elle suffisante pour respecter la valeur calculée à la Q20 ? 
Est-il alors
possible de valider la valeur maximale de l'intensité du courant retenue 
(Exigence 17,
figure 9) ? Justifier votre réponse.

Q30. Justifier que l'on puisse écrire Frag(x, i) = K}-i Sur la plage 
d'oscillations de la mem-

brane. Préciser la valeur numérique et l'unité du coefficient K';.

19/28
Partie Ill - Fonction pulsatile : régime transitoire entre
deux points de fonctionnement

Dans cette partie, l'Exigence 1.1.1.1 "Favoriser un mode de fonctionnement 
pulsatile", fi-
gure 9 sera détaillée. Ce mode de fonctionnement permet de faire varier la 
fréquence d'exci-
tation de la membrane afin de suivre les battements du coeur. Quatre critères 
de performance
associés à cette exigence peuvent être distingués :

° amplitude maximale : si l'amplitude des oscillations de la membrane et de son 
support
dépasse 1,0 mm, la membrane entre en butée avec les flasques qui l'entourent, 
ce qui
réduit le rendement de la pompe. (Exigences 7 et 21.2, figure 9);

* amplitude minimale : si cette amplitude chute sous 0,9 mm en régime établi, 
des
ondes stationnaires apparaissent au niveau de la membrane, réduisant également 
le
rendement de la pompe. (Exigences 7 et 21.1, figure 9);

+ stabilité : pour répondre aux deux critères d'amplitude précédents, le 
système doit
être stable ;

+ réactivité : le système doit être capable de changer de régime en passant de 
40 Hz à
70 Hz en moins d'un aller-retour de la membrane (Exigence 22, figure 9).

Des études expérimentales de la pompe ont montré qu'il est nécessaire de mettre 
en place
un asservissement de l'actionneur afin de respecter les critères de performance 
cités pré-
cédemment. La modélisation de cet asservissement ne sera pas traitée dans ce 
sujet;
il est cependant nécessaire d'étudier le comportement de la membrane en boucle 
ouverte
afin de justifier l'intérêt d'une boucle de retour.

Objectifs :

- justifier la mise en place d'un asservissement en vérifiant que le système en 
boucle
ouverte ne permet pas de respecter certains des quatre critères d'exigence 
décrits
précédemment. Pour cela, il est nécessaire d'étudier les pôles de la fonction 
de trans-
fert en boucle ouverte et la réponse du système soumis à une excitation 
périodique
lorsque la fréquence du point de fonctionnement change ;

- vérifier que la pompe asservie permet bien de fournir la puissance 
hydraulique néces-
saire pour pallier les insuffisances cardiaques du patient.

11.1 - Modèle électrique

Les deux ensembles de spires traversés par un courant d'intensité i(r) sont 
modélisés par un

ee pes , R L , ,
circuit (figure 21) comprenant deux résistances 5 et deux inductances 5 placées 
en série.

La variation du champ magnétique de la couronne aimantée au travers des deux 
ensembles
de spires est responsable de la création d'une force électromotrice induite 
e(r) conforme
à la loi de Lenz-Faraday, dont l'expression peut être reliée à la vitesse x de 
la couronne
magnétique par rapport aux spires de courant :

e(t) = --K,{(x, i)-X (5)

où le coefficient K. est supposé constant.

20/28
TO

R/2 L/2

ICE) À

oC

RS

DIT DIX

+ -- -- 7

Figure 21 - Circuit électrique constitué par les deux bobines

Q31. Établir l'équation différentielle liant les tensions z(r) et e(r) à 
l'intensité i(n) du courant
en fonction de R et de Z.

11.2 - Modèle mécanique

L'équation résultant du principe fondamental de la dynamique appliqué à la 
couronne ma-
gnétique (figure 13) est rappelée ci-dessous :

mX(t) = --kx() -- hx(0) + KP). (6)

Q32. Dans les conditions d'Heaviside, écrire les deux équations différentielles 
précédentes,
ainsi que la loi de Lenz-Faraday, dans le domaine de Laplace. Dans ce domaine, 
la
convention sera prise que chaque fonction r + f(r) s'écrit p + F(p).

IIL.3 - Bouclage électromécanique du système
Il est rappelé que l'étude de l'actionneur a permis de trouver la formule 
Fmag(t) = Kñi(r).

Q33. Montrer que les équations précédentes peuvent être représentées à l'aide 
du schéma-
blocs de la figure 22. Exprimer sous forme canonique :
- A(p) en fonction de p, R, Letde K;
- H(p) en fonction de p, m, h et de k;
- B(p) en fonction de K. et de p.

U(p) X(p)

A(p) Fra) H(p)

B(p)

Figure 22 - Schéma-blocs du bouclage électromécanique

21/28
X
Q34. Préciser l'expression de la fonction de transfert du système F(p) = AUD) 
en fonction de

U(p)
A(p), H(p) et de B(p), puis sous forme canonique en fonction des paramètres 
utilisés

dans la question précédente.

IIl.4 - Modèles résultants de simulations numériques

Des simulations numériques de magnétostatique permettent d'identifier 
l'évolution des gran-
deurs L, Fma et K. en fonction de la position x de la couronne magnétique et de 
l'intensité
i du courant traversant les spires. Les résultats obtenus à l'aide de ces 
simulations sont
représentés figure 23.

>

\
NS

AL
\

NT
NN
NL

NT
NA

©
Sn
NT

\\
KL
KL
KA

\\
\\
\\

\

\
\
NS

\\
AAA
NA
KL

NN
KL

en. 10

\\

\\\
KR
\\

\\
\\

L [MH

TT F > Se 0 0, D À 550
L[A] x [mm] I[A] © + x [mm] IA] Y + x [mm]

Figure 23 - Résultats des simulations numériques

Q35. Estimer graphiquement les valeurs numériques de Z, K,; et K. dans une 
plage de
variations linéaire.

1.5 - Étude de la fonction de transfert du bouclage électromécanique

Stabilité du système bouclé

La fonction de transfert du système bouclé peut être écrite sous la forme :

oe
1 + Bp + yp° + Ôp°

F(p) =
avec B = 8,410 * USI, y = 8,6:10 ° USI et 6 = 7,8-107!° USI.

Afin de déterminer les pôles de la fonction de transfert F(p), une méthode de 
résolution
numérique des racines du polynôme P : pr 1 + Bp + yp° + 6p° est utilisée.

Q36. Le tracé numérique du polynôme P(p) est représenté sur la figure 24. Lire 
graphique-
ment les valeurs des trois pôles p, > p> > p; du système. Le système est-il 
stable ?
Justifier votre réponse.

22/28

1.0 - 60 -
40 -

0.5 -
20 -

0.0 -

P(p)
P(p)

--20 _
--0.5 - --40 -
--(60 _

--1.0 _
--80 -

--1000 --800 --600 --400 --200 0 --11000-10750-10500-10250-10000 -9750 ---9500 
---9250 --9000
P P

Figure 24 - Tracé numérique du polynôme P(p)

Précision du système bouclé

Les tracés précédents mettant en évidence les racines du polynôme P, on cherche 
à identifier
les valeurs des trois fréquences de cassure à une erreur relative près de e, = 
10"*.

Pour cela, la méthode de Newton est utilisée. Elle
consiste à construire une suite convergente (u, rex
à partir des tangentes au polynôme P(p). Pour
cela :
e la courbe P(p) est tracée et la position du
point (40, P(wo)) est reportée sur le graphe;
e la tangente à la courbe P(p) issue du point
(u0, P(to)) qui coupe l'axe des abscisses en
u, est tracée ;
e l'opération est renouvelée n fois pour déter-
miner la valeur de «, ;

e lorsque TL e,, la boucle d'itération est Figure 25 - Méthode de Newton
Un-1

LT

Re
-

=

 S
L

SE
|
-
|

I |
I |
I |
= LL

stoppée.

_ P(w)

où P" est la dérivée de
P'(un)

Q37. Montrer par un raisonnement graphique que u,,, = u,

P par rapport à p.

Q38. Compléter sur votre copie les lignes 9, 19, 20 et 25 de l'algorithme 
suivant qui effectue
la recherche des fréquences de cassure de la fonction de transfert.

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24
25

import numpy as np
# définition du polynôme au dénominateur de la fonction de
transfert F(p) beta gamma, delta =8.4e-3,8.6e-6,7.8e-10

def P(p) :
return(1+betaxp+gammaxp+x+2+deltaxpxx3)

# dérivée du polynôme pour son utilisation avec la méthode de
Newton
def derP(p):
return (.............................. )

# méthode de Newton pour déterminer les fréquences de coupure d'un
polynôme P(p) avec une précision er
def frequenceCassureNewton(poles approximatifs , Pol ,dPol,er)
frequences cassure=np.zeros(len(poles approximatifs ))
# variable contenant les futures valeurs calculées des pôles
for i in rangel(len(poles approximatifs)): # O0 <= j <= 2 ; il correspond au calcul de chacun des 3 pôles u=[poles approximatifs[i]] # uO obtenu d'après la figure 25 u.append(u[0]-Pol(u[0])/dPol(u[0])) #ut n=1 # compteur pour incrémenter la suite u(n) while (.................... ) : # condition sur l'erreur SE # expression de u(n+1) n+=1 # incrémentation du compteur frequences cassure[i]=-u[n]/2/np.pi # la fréquence de cassure est identifiée, sa valeur est sauvegardée dans une liste return frequences cassure print (frequenceCassureNewton([.... ,..... serre |] ,P,derP,0.001)) La résolution numérique permet de calculer les trois fréquences de cassure : LÂ, B, f31 = [22 Hz, 148 Hz, 1 600 Hz]. Q39. Réécrire la fonction de transfert F(p) en factorisant le dénominateur en trois polynômes du premier ordre, écrits sous forme canonique, et en faisant apparaître les fréquences de cassure jf, f, et fi. 24/28 On donne le diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert F(p) en fonction de la fréquence d'utilisation sur la figure 26, le diagramme asymptotique est donné en pointillés. Fréquence (Hz) 10° 10! À 1072 10% fs 104 a nou x "100: Re 5 | nn g 200 ST < ; lé -300 Figure 26 - Diagramme de Bode en gain de F(p) Q40. Préciser l'effet du bouclage électromécanique sur la bande passante à -3 dB du sys- tème oscillant en comparant la première fréquence de cassure jf, avec celle du sys- tème mécanique sans bouclage j; = 70 Hz. Justifier quelle performance du système (figure 9) risque d'être impactée négativement par ce bouclage lors de la variation de fréquence d'utilisation de la pompe sur sa plage de fonctionnement. À , Q41. K(f) = D. est défini comme le gain de la fonction de transfert F(p). À partir du dia- 0 gramme de Bode en gain (figure 26) et en travaillant dans la plage de fonctionnement @ f\ du système, montrer que X(f) peut s'écrire sous la forme X(f) = F Le diagramme de Bode asymptotique est supposé confondu avec le diagramme de Bode réel sur la plage de fréquences étudiée. Q42. En déduire que pour obtenir une amplitude X, = 1,0 mm indépendante de la fréquence f d'oscillation de la membrane, l'amplitude U, de la tension électrique doit être adaptée de la façon suivante : Uo = K,-f. (8) Préciser l'expression de K, en fonction de «, jf, et de X. La tension d'alimentation du LVAD dépendant de son point de fonctionnement, il est né- cessaire de vérifier que la batterie externe utilisée permet bien d'adapter la tension pour maintenir l'amplitude X, du mouvement à 1 mm. Pour cela, il faut calculer K, et donc estimer a à partir d'un tracé de courbe. Q43. À l'aide du théorème de la valeur finale et en supposant une tension d'entrée sous 1[-- +00 0 , U | 1 forme d'échelon U(p) = --, montrer que lim A P 25/28 Q44. Par lecture graphique de la réponse temporelle à un échelon d'amplitude U, = 14 V la valeur numérique de & en mm-V". , préciser (figure 27) RP =nmnnkesessabenessksssssbasessksssssbrsesefessss 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 tls) 0.01 O.Q0E +----L----L-----L----- 15+-----r----- 05+---f- 0 O.0S O Figure 27 - Réponse temporelle du système Q45. Calculer les valeurs maximales VU; et U,.. que doit prendre la tension d'alimentation respectivement pour les fréquences des deux points de fonctionnement à f,, = 70 Hzet f,, = 40 Hz. Est-il alors possible de valider la Valeur maximale de la tension électrique retenue (Exigence 17, figure 9) ? Justifier votre réponse. La courbe de réponse du système à l'excitation harmonique est donnée figure 28; la fré- quence d'excitation passe de f,, = 40 Hz à f,, = 70 Hz à f = 50,0 ms. Entrée : L Le DE LL LL = LE = = G.1 1 0.04 O.01 20+----- t (3) Sortie : x (mm) | + LL = = -- ns me bout OS H-É---r-----E----Èr-----r--t--rt----r4--£-r---r-rk---- 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08 0.07 0.08 0.09 t (5) 0.01 Figure 28 - Changement de point de fonctionnement 26/28 Q46. Le critère du cahier des charges portant sur l'amplitude minimale est-il respecté ? Jus- tifier votre réponse. Réactivité du système Q47. Le cahier des charges spécifie un changement de point de fonctionnement en "moins d'une oscillation". Identifier le temps T4, de réponse à 5 % du système sur la figure 27 et comparer cette durée à une période d'oscillation de la membrane pour la fréquence maximale atteignable par le système. Q48. Le critère de réactivité du cahier des charges est-il respecté ? Justifier votre réponse. Amplitude maximale de déplacement Q49. En étudiant graphiquement la réponse temporelle du système (figure 28), préciser si le critère du cahier des charges portant sur l'amplitude maximale est respecté. Justifier votre réponse. 111.6 - Mise en place d'une boucle d'asservissement pour améliorer les performances L'ensemble des critères de performance du cahier de charges n'étant pas rempli, l'objectif des travaux de recherche actuels, developpés par l'entreprise Corwave, vise à construire un modèle de connaissance du comportement du LVAD à partir de simulations numériques pour réaliser un asservissement à partir de la seule mesure des variables électriques u(r) et i(r). Cette mesure permet de remonter à la position x(r) de la couronne métallique, à condition d'avoir une modélisation satisfaisante de l'ensemble des phénomènes inductifs. Les résultats expérimentaux des essais réalisés sur banc d'essai permettent d'obtenir les courbes du relevé expérimental (figure 29) du système asservi (changement de fréquence de 40 à 70 Hz à r = 50 ms). Le temps de réponse à 5 % de la réponse à un échelon d'amplitude U, = 5 V du système asservi est évalué expérimentalement à Ts, = 12 ms. Q50. À l'aide des courbes de la figure 29, vérifier les quatre critères de performance précé- demment cités (amplitudes minimale et maximale, réactivité et stabilité) et expliquer l'intérêt de mettre en place cet asservissement. 27/28 Q51. Q52. (A) U(V) f(ms) Figure 29 - Réponse temporelle expérimentale du système asservi En relevant U,..x et 1nax Pour chaque fréquence d'utilisation (figure 29) et en utilisant la figure 11, calculer la puissance moyenne électrique en entrée de pompe pour un individu au repos. On rappelle qu'on peut écrire : t-P1 + 12 P>
Paec -- elec

T

elec (9)

avec P,... la puissance électrique lors de la phase 1 (systole) du coeur et 
P,.. la

puissance électrique lors de la phase 2 (diastole) du coeur.

elec

En déduire la puissance hydraulique d'appoint fournie par la pompe au coeur, en
considérant un rendement hydraulique de la pompe de 0,05 (les pertes électroma-
gnétiques et mécaniques sont négligées par rapport aux pertes hydrauliques). 
Est-ce
que la pompe à membrane avec asservissement permet de pallier les insuffisances
cardiaques du patient ?

FIN

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NATIONALE - 231141 - D'après documents fournis

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