CONCOURS COMMUN 2006
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Epreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4,
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à
code à barres corres-
pondante.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
PREMIER PROBLÈME
[R désigne l'ensemble des nombres réels. On notera M2(R) l'ensemble des
matrices carrées d'ordre
2 à coefficients réels. On rappelle que (M2(R),+,.) est un espace vectoriel sur
[R et >< désigne la mul-- tiplication des matrices. C désigne l'ensemble des complexes. On notera |z| le module d'un complexe z. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d'une fonction. 22 2--21" Soit f la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, f (2) = 1. Déterminer le domaine de définition D de f 2. a. Déterminer les racines carrées complexes de 8 -- 6i . b. En déduire tous les antécédents de 1 + i par f . 3. Soit h un complexe. Discuter suivant les valeurs de h le nombre d'antécédents de h par f . 4. Déterminer l'image f (D) de D par f . La fonction f est--elle une application surjective de D dans (C '? S. f est elle une application injective de D dans C ? Soit g l'application définie sur D à valeur dans E et telle que : Z2 +z3 v z GD, g(2) = ]Z -- 2i|2 _ z -- 21 6. Soit 2 un complexe appartenant à D de partie réelle x et de partie imaginaire y. Trouver la partie réelle et la partie imaginaire de g(z). Montrer en particulier que la partie réelle de g(z) est : 2x3 ---- 2xy2 -- 4xy . Soit le plan P rapporté à un repère orthonormé direct R( O,è],ë2 ). Soit F l'ensemble des points M du plan d'affixe 2 tels que g(z) est un imaginaire pur. 7. Montrer que F est inclus dans la réunion d'une droite A et d'une conique C. Préciser F. 8. Déterminer la nature de C. Préciser le centre et les axes de C. Déterminer l'excentricité de C ainsi que les coordonnées de ses foyers dans le repère R. ' Etude d'un polynôme. Soit a un entier naturel. Soit Pa la fonction polynôme définie sur IR par : Vt ER, Pa(t) =t3 --t(a2+2a)+2 . Le but de cette partie est de trouver a tel que Pa possède trois racines dans Z. On suppose que a existe. Soient î1 , t2 , t_. les 3 racines de Pa avec il 5 t2 5 t3. 9. Que valent t1 + t, + Q et tl t2 t3 ? 10. Calculer Pa(0) et en déduire que tl < 0. 11. Déduire du 9. et du 10. que t1 _<_ 0 S t2 5 t3 5 --t1 puis les valeurs de t1 , t2 , t3 . 12. Montrer que Pa' (t,) = 0. En déduire la valeur de a . 13. Réciproquement, montrer que la valeur de a ainsi trouvée convient bien. Étude de deux ensembles de matrices. x --... . Soit (x, y) un élément quelconque de [R' . On note M x y la matrice [ 2 y, y ) . , x + y Soit E le sous--ensemble de M2([R) tel que Z={ MW , (x, y) E R'}. 14. Quelle relation doivent vérifier x et y pour que la matrice MX, ne soit pas inversible '? y Calculer le produit MW >< M_x, y . En déduire l'inverse de MX, y lorsqu'il existe. 15. Z est--il un sous--espace vectoriel de (M2(R),+,.) '? On justifiera sa réponse. 0 0 SoitA =( 2 O] E M2([R) et J={A+ MW , (x, y) eR'}. 16. Montrer que J est un sous-espace vectoriel de (MNR),+,.). 17. Quelle est la dimension de J ? Déterminer une base de J. 18. Montrer que la loi >< est interne dans J. Étude d'une application de M2OEQ. Soit B une matrice quelconque de M2( R). Soit (pB l'application de M2([R) dans M2( [R) qui à la ma- trice X associe la matrice (pB (X) = B> acos(x)+b
avec (a,b)eR2.
Résoudre (E) sur IR.
12. Trouver la fonction h définie sur [R, solution de (E) et qui vérifie :h(O)
: l.
'
Etude d'une courbe polaire.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct îR(O,Î,Î). Soit F la courbe
définie par
l'équation polaire : p = îË--r--l%. Pour tout réel 9 on notera 519 le vecteur
û9 =cos9 Î + sin9î et
-- cos
. sin 9 _
M( 9 ) le pomt du plan tel que OM (9) = --------ua .
2 -- cos 9
13. Soit un élément 9 de D. Montrer qu'il existe une symétrie s telle que s( M
(EUR) ) = M (--9) .
14. Determmer une equat10n cartes1enne de la tangente a F au pomt M(--2-- ).
15. Tracer l'allure de la courbe I'.
Étude de la fonction g : x l----> Æ--£------ .
x(2 -- cos x)
16. Déterminer le domaine de définition de g.
17. Montrer que g admet une limite finie [ en 0.
On prolonge g par continuité en posant : g(0) =].
18. Déterminer le développement limité en O d'ordre 3 de g ainsi prolongée.
19. Montrer que g est dérivable en 0 et déterminer g' (0) .
On admet que g est dérivable sur ]O,n] et que pour tout x de ]0,7t], g' (x) est
strictement négatif.
20. Montrer que g est une bij ection entre [0,1t] et un ensemble 1 à définir.
On notera h sa réciproque.
Étude d'une suite qui annule fn .
Soit n un entier naturel non nul.
21. Montrer que si a est un réel strictement positif qui annule fn , alors a
appartient à l'intervalle
[O, N? ].
22. Montrer qu'il existe un unique réel xn appartenant à [O,7t] tel que f,.(xn)
= O.
23. Montrer que la suite (xn) est convergente et déterminer sa limite.
FIN DE L'ÉPREUVE
