CONCOURS COMMUN 2007
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Jeudi 10 mai 2007 de 14h00 à 18h00
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4,
2/4, 3/4, 4/4.
\
Les candidats sont invités a porter une attention particulière a la rédaction :
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette a
code à barres correspondant à
l'épreuve commune de Mathématiques.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
PREMIER PROBLÈME
Pour tout t E Rï on définit :
f(f) = exp (EUR) etg = @.
î
\ Partie A -- Généralités \
Prouver que f et g sont C°° sur R3; et que pour tout t E R* , tf' (t) : g(t).
Montrer que g est prolongeable par continuité en O et que le prolongement
(encore noté g) est dérivable en 0.
Faire un tableau de variations de g sur R+, en faire un graphe sachant que e_1
: 0,36 à 10_2 près.
PPP!"
Soit H la primitive sur R3; de ! l--> g(1/t), s'annulant en 1 :
4.a. Calculer H.
4.b. En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit n 2 3 un entier naturel. On introduit l'équation (En) : f (t) = t / n,
d'inconnue ! EUR Rï.
5.a. En utilisant la question 3, montrer que (E,) a une unique solution dans
]0, 1[, que l'on notera an. On montrerait
identiquement (mais ce n'est pas à faire) que (En) admet une unique solution
dans ]1, +oo[, que l'on notera Bn.
5.b. Montrer que les suites (an),,23 et (B")n23 sont monotones.
5.c. Est--il possible que l'une des deux suites converge vers une limite 1 > O
? En déduire leurs limites.
CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALËS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 1/4
Partie B -- Étude d'une courbe paramétrée
On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine 0, la courbe paramétrée
définie sur K; par le point M (t) de coor--
ex --1
données X(î)=f'(t)= p(t2 /t)
t
6. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles M (t) se situe sur la première
bissectrice du plan d'équation cartésienne
y = x.
7. Étudier la limite de la pente de la droite (OM (t)) lorsque t tend vers 0+
et +00.
y =g = eXp<"1/') 8. En utilisant la question 3, faire un tableau de variation de x et y sur R3; avec limites aux bornes 0+ et +00. 9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que 4e_2 : O, 54 a 10_2 près. | Partie C -- Fonctions définies par des intégrales On prolonge maintenant f a R+ en posant f (0) = O. 10. Montrer que l'application f ainsi prolongée est de classe C1 sur R+ ; préciser ]" (O) et montrer que l'égalité de la question 1 reste valable pour t = O. 11. Soit x E R* , on note: F®=/f®fifiw=/gwü () () 11.a. Justifier l'existence de ces intégrales que l 'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que _ l F(x) =xe X --G(x). 11.b. En séparant l'intégrale G(x) en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout x 2 l, 0 £ G(x) £ C+ln(x). 11.c. En déduire que G(x) est négligeable devant x au voisinage de +00 ainsi qu'un équivalent de F (x) au voisinage de +00. 12. Résoudre sur R3; l'équation différentielle (E) : x2y' + y = x2, l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction F . Partie D -- Étude qualitative d'une équation différentielle On considère maintenant une application y solution de (E) : x2y' + y = x2 cette fois sur R+, de classe C°° sur R+. Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des un : y(") (0) a partir de l'équation (E). 13. Que vaut u0 : y(O) ? 14. En dérivant (E), calculer u1 : y' (0) et u2 : y" (0). 15. Peut--on avoir y de la forme : x l--> 06962 + Bx+ }! avec (oc, B, 7!) E R3 ?
16. Soit n un entier naturel.
16.a. On suppose ici n 2 3. Prouver a l'aide de la formule de Leibniz que pour
tout x E R+ :
X2r("+1) (X) + (1 + 2nX)r(") (X) + "(n -- 1)r("_1) (X) = 0-
En déduire une relation de récurrence entre un et un_1.
16.b. Donner une expression de un utilisant une factorielle, valable pour tout
n 2 2; en déduire les développements
limités (dont on justifiera l'existence) de y atout ordre au voisinage de O.
CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALËS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 2/4
DEUXIÈME PROBLÈME
Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera (?
l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs
% % % % _ , ,
et O le vecteur nul. (? est muni d'un repère orthonormal direct % = (0, i , j ,
k ), toutes les équations de l'énoncé seront
--> % % % -->
relatives aux éléments de ce repère. Si M EUR (EUR et OM : x i + y j +z k on
pourra noter M : (x,y,z) et OM : (x,y,z).
On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes :
P:x+z=0,Q:x+y+z--3=O.
Partie A -- Étude d'un mouvement dans l'espace
Pour toutt E R, on introduit le point N (t) de (? caractérisé dans % par les
coordonnées { b
Prouver que N (t) appartient au plan P.
Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est--il
possible que N (t) E D ?
Calculer a2(t) + b2(t) + c2 (t). En déduire que N (t) appartient a un cercle de
P dont on précisera le centre et le rayon.
Calculer la distance de N (t) a la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier
que leur rapport est constant.
Prouver que pour tout t E R : exp(it) + exp(i(t + 27r/3)) + exp(i(t -- 27t/3))
: 0.
En déduire l'isobarycentre des points N (t),N (! + 27ï/3),N(t -- 27t / 3).
.°S"PS"Pt"
| Partie B -- Construction d'un polynôme |
s(t) : a(t) + b(t) + c(t)
On fixe maintenant ! E R et on note d(t) : a(t)b(t) + a(t)c(t) + b(t)c(t)
@ )
W) = (!)b(t CO)
7. Simplifier s(t).
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques p(t).
9. Calculer d (t) de deux manières différentes -- on pourra utiliser un
résultat de la question 3.
10. On considère maintenant le polynôme R(X ) = (X -- a(t)) (X -- b(t))(X --
c(t)), dont les racines sont donc a(t) , b(t) et
c(t) :
10.a. Dans cette question seulement ! : 7t / 2. Montrer sans calculer R(X ) ni
R' (X) que R' (O) = O.
10.b. Exprimer maintenant R(X ) en fonction de s(t), d(t), p(t), puis en
fonction des résultats des questions
précédentes.
| Partie C -- Endomorphismes à noyau imposé |
11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E .
12. Est--ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.
CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 3/4
13. On introduit les vecteurs :
?- (?_î)7'--7î'--L(î+î)
--.> --.> --> , .
Montrer que ( z ' , ] ' ) est une base orthonormale de P et que k ' en est un
vecteur normal. En dedurre que
%
B' = ( i ' , j ' , k') est une base orthonormale de l'espace.
, . % _> . . % _> . % ,
14. On des1gne par a . b le produit scalaire de deux vecteurs a et b . Sort @ E
E. Prouver, autrement que par << c est du cours >>, que ses coordonnées dans la base B' sont données par :
15. On considère ici une application linéaire u : E --> E telle que P C ker(u).
%
15.a. Prouver qu'il existe ? E E tel que u(Î) : (?. k ')Î pour tout ? E E.
15.b. Réciproquement, montrer qu'une application u donnée par la formule
précédente est un endomorphisme de E
tel que P C ker(u).
. . , . --> , .
15.c. Donner une condition necessaire et suffisante sur z pour que P : ker(u).
Donner dans ce cas le rang et l image
de u.
Partie D -- Matrices de projecteur |
On note ici p : E --> E le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base (Y, ?
àla question 13. On introduit les matrices :
--> --> _ _
, k ) et B' = ( ' , k') la base introduite
100 100
M'=OlO,I=OIO
000 001
16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B' .
17. Donner la matrice de passage P de la base B a la base B' ainsi que son
inverse -- on détaillera le raisonnement pour
cette dernière.
18. Soit M la matrice de p dans la base B :
18.3. Justifier sans calcul que M 2 = M.
18.b. En déduire que pour tout n E N,
(M+I)" : 1+ (2" -- l)M.
18.c. Exprimer M en fonction de P, P_1 et M' . Ensuite, calculer explicitement
M.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On
introduit l'ensemble %! des matrices du type
Ma,b : aM+ bl, où a et b sont réels :
19.a. Montrer que l'ensemble %! muni des lois usuelles sur les matrices a une
structure de R--espace vectoriel dont
on donnera une base et la dimension.
19.b. Les réels et et 19 étant donnés, exprimer Ma,b en fonction de P, P_1 ,]
et M' . En déduire une forme factorisée du
déterminant de Ma,b ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour
qu'elle soit inversible.
19.c. Déterminer les réels @ et f tels que Ma,b >< Mad : Me,f-- 19.d. Lorsque Ma,b est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de %! . FIN DE L'ÉPREUVE CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 4/4
