CONCOURS COMMUN 2009
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Epreuve de Mathematiques
(toutes filieres)
Lundi 18 mai 2009 de 14h00 a 18h00
Instructions generales :
Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4,
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction :
les copies illisibles ou mal
presentees seront penalisees.
Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a
code a barres correspondant
a l'epreuve commune de Mathematiques.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
Remarque importante :
Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur
d'enonce, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il a ete
amene a prendre.
Probleme I : Algebre et Geometrie
A. Etude de deux applications
La notation R2 [X] designe le R-espace vectoriel des polynomes a coefficients
reels de degre inferieur ou
egal a 2. On identifiera dans la suite de ce probleme les elements de R2 [X] et
leurs fonctions polynomiales
associees. On note B = (1, X, X 2 ) la base canonique de R2 [X]. On definit les
deux applications suivantes :
f : R2 [X] - R2[X]
1
X
X +1
P
7-
P
+P
2
2
2
et
: R2 [X] - R
P
7- P (1)
On rappelle aussi que l'on note f 0 = IdR2 [X] , et pour tout n N , f n = f f
n-1 .
1. Verifier que f est bien a valeurs dans R2 [X] et montrer que f est lineaire.
2. Montrer que est lineaire.
3. Ecrire la matrice de f dans la base B de R2 [X], en indiquant les calculs
intermediaires.
4. L'application f est-elle injective ? surjective ?
5. Determiner une base de Ker . Quelle est la dimension de Ker ?
6. L'application est-elle injective ? surjective ?
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B. Calcul des puissances successives d'une matrice
On note I3 la matrice identite de M3 (R) et A la matrice
1 41 18
A = 0 21 14 .
0 0 14
Enfin, on note B la famille de R2 [X] definie par
B = (1, -2X + 1, 6X 2 - 6X + 1).
7. Justifier que la famille B est une base de R2 [X].
8. Ecrire la matrice de passage Q de B a B .
9. Justifier que Q est inversible et calculer son inverse.
10. Ecrire la matrice M de f dans la base B en donnant les calculs
intermediaires.
11. Calculer An pour tout n N. On explicitera les neuf coefficients de An .
12. Pour n N et P = a + bX + cX 2 avec (a, b, c) R3 , determiner f n (P ) en
fonction de a, b, c.
13. En deduire que
P R2 [X],
n
lim f (P ) =
n+
Z
1
P (t) dt.
0
C. Une autre preuve du resultat precedent
14. A l'aide d'un raisonnement par recurrence, demontrer que
P R2 [X],
n N ,
2n -1
1 X
X +k
.
f (P ) = n
P
2
2n
n
k=0
15. En deduire, en utilisant un resultat du cours d'analyse que l'on enoncera
avec precision, que
Z 1
n
P R2 [X],
lim f (P ) =
P (t) dt.
n+
0
D. Etude d'une famille de spheres et d'une famille de droites
L'espace affine usuel est rapporte a un repere orthonorme direct R = (O,~i, ~j,
~k). Les differentes equations
qui apparaissent dans la partie D. sont relatives au repere R. Pour tout m
reel, on considere l'ensemble
Sm d'equation cartesienne
Sm : x2 + y 2 + z 2 - 2mz 2 + m2 - 2 = 0.
On appelle aussi E l'ensemble des points de l'espace verifiant l'equation
E
:
x2 + y 2 = z 2 + 2.
On note enfin P le plan d'equation y = 0, c'est-a-dire le plan (xOz).
16. Demontrer que, pour tout m reel, Sm est une sphere dont on determinera le
centre et le rayon.
17. Montrer que l'intersection de P et de E est une conique G, dont on
determinera la nature et les
asymptotes eventuelles.
18. Representer dans le plan P la conique G.
19. Donner l'excentricite ainsi que les coordonnees du ou des foyer(s) dans le
repere R de la conique G.
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20. Pour tout R, on definit la droite (D ) ayant pour systeme d'equations
cartesiennes
(
x - z cos = 2 sin
(D ) :
y - z sin = - 2 cos .
Pour tout R, determiner un point et un vecteur directeur de la droite (D ).
On choisira un vecteur directeur dont la troisieme coordonnee est egale a 1.
21. Soient et m deux reels quelconques. Prouver que la droite (D ) est
tangente a la sphere Sm .
22. Montrer que pour tout R, la droite (D ) est incluse dans E.
23. Reciproquement, montrer que si M est un point de l'ensemble E de
coordonnees (x, y, z) dans le
repere R, alors il existe R tel que M appartienne a la droite (D ).
24. Que peut-on deduire des deux questions precedentes ?
Probleme II : Analyse
Dans tout ce probleme, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la
fonction cosinus hyperbolique
et th la fonction tangente hyperbolique.
A. Etude d'une fonction
Soit f la fonction definie sur
1. Etudier la parite de f .
R
1
.
par f (x) = x sh
x
2. (a) Rappeler un equivalent de la fonction sh en 0 et en deduire les limites
de f en + et en -.
(b) Determiner la limite de f en 0.
3. Justifier que f est derivable sur R et que pour tout x R ,
1
1
1
-
× ch
.
f (x) = th
x
x
x
4. Montrer que, pour tout X R+ , th(X) < X. 5. En deduire le tableau de variations de f . sh(X) . X 7. En deduire qu'au voisinage de + et de -, f admet un developpement de la forme 1 a2 a3 a4 a1 + 2 + 3 + 4 +o , f (x) = a0 + x x x x x4 6. Donner le developpement limite a l'ordre 4 en 0 de la fonction X 7- ou a0 , . . . , a4 sont cinq reels que l'on precisera. 8. Montrer que la fonction x R 7- f x1 R se prolonge sur R en une fonction continue notee F , puis prouver que F est derivable sur R. B. Trace d'une courbe parametree On s'interesse a l'arc parametre defini pour t 6= 0 par les equations 1 x(t) = t sh t 1 . y(t) = t exp t On note son support. On donne la valeur approchee sh(1) 1, 18 a 10-2 pres. CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 3/4 9. Dresser le tableau des variations des fonctions x et y sur R , en precisant les limites. 10. Determiner les asymptotes de et preciser la position de par rapport a chacune de ses asymptotes. On resumera l'etude a l'aide de schemas. 11. Tracer l'allure de , ainsi que ses asymptotes et la tangente a au point M de parametre t = 1. On prendra 2 cm comme unite en abscisses et en ordonnees. C. Une equation differentielle On considere l'equation differentielle (E) suivante, que l'on va resoudre sur differents intervalles xy + y = ch(x). (E) 12. Resoudre sur l'intervalle R+ l'equation differentielle (E). 13. Donner sans justification les solutions de l'equation differentielle (E) sur l'intervalle R- . 14. Justifier que la fonction F (definie dans la question A.8.) est l'unique fonction definie et derivable sur R qui soit solution de l'equation differentielle (E) sur R. D. Etude d'une suite 15. Montrer que pour n N , l'equation n+1 n admet une unique solution dans R+ . On la note un . f (x) = On definit ainsi une suite (un )nN que l'on va etudier dans les questions qui suivent. 16. Montrer que la suite (un )nN est croissante. 17. Montrer que la suite (un )nN tend vers + quand n tend vers +. 18. En utilisant la question A.7., determiner un equivalent de un quand n tend vers +. E. Une fonction definie par une integrale Z x f (t) dt. Pour x R+ , on pose J(x) = x/2 19. Montrer que pour tout x R, sh(2x) = 2 ch(x) sh(x). 20. Justifier que J est derivable sur R+ et que pour tout x R+ , 1 1 J (x) = f (x) 1 - ch . 2 x 21. En deduire le signe de J sur R+ ; on exprimera le (ou les) zero(s) de J a l'aide de la fonction ln. 22. On admet les resultats suivants : () lim J(x) = +, x0+ () lim J(x) = + et J admet au voisinage de + une asymptote d'equation y = x2 , x+ () la courbe representative de J est toujours "au dessus" de l'asymptote precedente. Donner le tableau de variations de J sur R+ . 23. Tracer l'allure de la courbe representative de J. 1 1 0, 76 et J On donne pour le trace : 0, 65 a 10-2 pres. ln(2 + 3) ln(2 + 3) Fin du sujet CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 4/4
