X Maths B MP 2016

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2016 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B ---- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.

On considère une variable aléatoire réelle discrète X définie sur un espace 
probabilisé
(Q, %,lP') dont la loi est donnée par :

+oo
ViEN, IP(X=w)=P1>O avec Zp,;=l,
i=0

et où (xi)i>0 est une suite de réels strictement positifs. On suppose que X 
admet une espérance
finie notée m := lE(X) > 0.

Soit (X k) k>1 une suite de variables aléatoires discrètes définies sur (Q, %, 
IP), indépendantes
et identiquement distribuées, de même loi que X. On note (Sk)k>0 ses sommes 
partielles définies
par

'n
SO=O, et pourn>1, Sn=ZXk-
k=1

L'objet de ce probléme est l'étude du nombre (aléatoire) d'éléments de la suite 
(Sn)n;0 qui
appartiennent a l'intervalle [a, b], défini pour ou EUR il par

+oo
N(a, b)(w) = Oard{k E N | Sk(w) EUR [a, b]} = z ll 0 et n E N, (N(O,Æ) = n + 1) : (Sn { EUR < Sn+1). En déduire que (Sn < 6) = (N(O,Æ) > n + 1) et (S..., > 6) c (N(O,Æ) < n + 1). lb. On suppose dans cette question que X admet de plus une variance finie V. Montrer alors que V Ve > O, Vn) 1, lP(Sn  O,
lP(Sn { EUR) { lE(exp(£ -- Sn)),

puis que
IP(S.. < EUR) < eÆE(exp(--X)>n-
3b. En déduire que lP(Sn < EUR) tend vers 0 quand n ----> +00 et que
EUR

lE(N(O,É)) < m- 3c. Montrer que pour tous oe E R, EUR > 0, k E N* et n E N*,
R(Sn_1 < a: { S... N(æ,oe + EUR) > k) < lP(Sn_1 < a: < Sn)R(N(O,Æ) > k),

puis que
EUR

E(N(OE,OE +Ë)) < @. Deuxième partie Soit f : R ----> R une fonction. Si f est bornée, on note

llflloe = suplf(flî)l

oeEURR

sa norme uniforme. On appelle support de f l'adhérence de {$ E R \ f(oe) # 0}. 
En particulier,
si a: n'appartient pas au support de f, alors f (ac) = 0.

Soit K > 0 et g : R --> R une fonction positive bornée à support inclus dans 
[D, K ] On va
étudier la suite de fonctions fn : R --% R définies pour n > 0 par

fn(év) = ZE(g(OE -- Sk))--
k:=0 .

4a. Montrer que pour tout oe E R, la suite ( fn(az))n>0 est croissante. On note 
f (ac) sa limite
dans R U {+oo}.

4b. Montrer que sig = ll[O,K], alors f(oe) = E(N(oe -- K, $)).

4c. En déduire que pour tous a: E R et n E N ,

EURK

0 < fn(æ) < ||9iloem-- 4d. Conclure que la suite de fonctions fn converge simplement vers une fonction f positive, bornée et dont le support est inclus dans R+. 5. Soit Y une variable aléatoire discrète, indépendante de X, et 90 : R2 --+ R une fonction bornée. Montrer que +oo E)
i=0
Ga. Montrer que pour tous n E N et w E R,
+oo
fn+1<æ> = g(æ> + Zpifn<æ -- gaz-->.
i=0

6b. Montrer que la fonction f vérifie l'égalité suivante sur R

f = g<æ> + zpif<æ -- .... (E) +00 7. Soit h : R --> R une fonction bornée qui vérifie h(oe) = z p,;h(oe ---- 
a:,--) pour tout 512 E R.
i=0

7a. Montrer que pour tous a: E lR et n E N, on a h(a:) = E(h(oe -- Sn)).

7b. En déduire que si de plus le support de h est inclus dans R+, alors pour 
tout a: E IR,
h(oe) : O.

70. Conclure qu'il existe une unique fonction bornée a support dans R+ solution 
de (E).

8a. Montrer que l'ensemble A X := U {y E R | lP(Sn = y) > O} est dénombrab1e et 
inclus

nEN
dans R+.

On se donne une énumération de cet ensemble : A X = {y, | i E N}.

8b. Montrer que pour tout ac E R,

n+oo

fng(æ -- yz-)--

k=0 i=0

80. En déduire qu'il existe une suite de réels positifs (q,-),;O telle que pour 
tout :12 E R,

+oo
f(æ) =Zq,g(æ--y,), et 2 q,- =lE(N(æ--K,oe)).
'L=Û iEURN7 y,EUR[oe--K,oel

931. Dans la formule précédente, montrer que la convergence de la série est 
normale sur tout
segment de R. On pourra utiliser la question $C.

9h. On suppose que g est continue. Montrer que f est uniformément continue.

9(:. On suppose que g est de classe % 1. Montrer que g' bornée. En déduire que 
f est de classe
C(oâ1, que f' est bornée et uniformément continue et que pour tout a: E R,

+oo
f'(æ) : g'(oe) + ZpJ'(oe ---- aa).
i=0

Troisième partie

Soit A un sous--ensemble non vide de le tel que
V(oe,y) EUR A2, a:+y EUR A.
On dit que A est stable par addition.

103. Montrer si (oe,y) EUR A2, (km) E N2 et k { n, alors noe + k(y -- a:) E A.

On définit
l'= {z EUR lRî | El(oe,y) EUR A, z=y--oe}, et 7°(A) =ian'.

10b. Donner deux exemples de tels ensembles A, l'un pour lequel r(A) > 0 et 
l'autre pour
lequel r(A) : O.

11. Dans cette question, on suppose que T(A) > O.
113. Montrer qu'il existe (a, I)) E A2 tels que I) -- a E [T(A), 27"(A)[.
On noted=b--a.

11b. Soient k,n E N tels que le < n -- 1. Montrer que A O [na + lcd, na + (k + 1)d] : {na + lcd, na + (le + 1)d}. 11e. Montrer qu'il existe no E N tel que mm + ngd > (no + 1)a puis qu'il existe 
k E N tel que
a : lcd.

11d. En déduire que A C dZ, où dZ = {led \ 16 EUR Z}.

12. On suppose maintenant que T(A) = O.

1231. Soit 77 > 0. Montrer qu'il existe A > 0 tel que pour pour tout oe > A,
Am [æ,oe+n] # @.

12h. Soit f : lR --> R une fonction uniformément continue. On suppose que pour 
toute suite
(oen)n>0 à valeurs dans A telle que OEn ----> +oo, f (:un) --> 0 quand n --> 
+oo. Montrer que f (cv) --> 0
quand a: --+ +oo._

Quatrième partie

On suppose dans cette partie que pour tout d > O,

]P(X & dZ) < 1. 13. On considère une fonction h uniformément continue et bornée sur R telle que pour tout sv & R, W) < ...) et On rappelle que pour tous 58 EUR lR et 71 E N , h(æ) = lE(h(oe -- Sn)) (question 7 a). 13a. Montrer que pour tout n E N et a: > 0 tels que lP'(Sn = a:) > 0, on a 
h(--oe) : h(0).

13b. Montrer que l'ensemble A X défini a la question Sa est stable par addition 
et que
T(Ax) = 0.

13e. En déduire que h(--oe) --> h(0) quand a: ----> +oo.

13d. Conclure que h est une fonction constante.

On suppose dans toute la suite que g est de classe % 1, a support dans [D, K ] 
avec K > 0. On
rappelle que f est la limite croissante des fonctions fn et l'unique solution 
bornée et uniformément
continue de l'équation (E).

1431. Prouver que la fonction a: l--> sup f'(t) admet une limite finie quand 
213 --> +oo. On note
t>oe

14b. Montrer qu'il existe une suite yn --> +oo telle que f'(yn) ----> c quand n 
--> +oo.

On admet qu'il existe une sous--suite (üç)k>0 de (yn)n>0 telle que la suite de 
fonctions (fik)k>0
définies par

EURk1R-->R, É'-->EURk(t)=fl(t+tk)

converge uniformément sur tout segment de R vers une fonction notée EUR .
14c. Montrer que 5 est constante, égale à c.

14d. Oonclure que c = 0.

On montrerait de même que lim inf ]" (t) = 0, résultat que l'on admet dans 
toute la suite.
oe-->+oo t>oe

14e. En déduire que f'(t) _) 0 quand t ----> +oo.

14f. Montrer alors que pour tout EUR > 0, f (t + EUR) -- f(t) --> 0 quand t --> 
+oo.

On suppose dans toute la suite de cette partie qu'il existe a, > 0 tel que lP(X 
E [D, a] = 1 et
on pose '

() lP(X>OE) sioe20,
w:
90 0 sioe<0. . +oe On admet que go est intégrable sur R, et que / g0(t)dt = lE(X ) --OO On note 55 l'ensemble des fonctions continues par morceaux, positives, bornées et a support dans un segment de R+. En utilisant la deuxième partie, pour tout 9 EUR 33 , on note Lg l'unique solution de (E) bornée a support dans R+. Nous dirons que la suite (tk)k>0 satisfait la propriété ($") si tk --> +00 et 
s'il existe une
unique fonction continue bornée ,u : R --> R+, telle que pour tout g E ÿ,

+oo
Lg(tk) --> / g(t)n(t)dt quand k: --> +oo.
_oe _

On admet que pour toute suite (æn)n>0 tendant vers l'infini, il existe une sous 
suite (Üç)k>0 de
(oen)n>0 qui satisfait la propriété (33)

153. Montrer, en utilisant la question 14f, que pour tous g E 35 fi %1(R, R+) 
et EUR > O,

]'°° g 0 et Lg0(oe) : 0 pour a: < 0. 1 16h. En déduire que u(t) = fiX--) pour tout t E R. 17. Conclure que pour tout g EUR 55, 1 00 ZlE(g(æ -- Sk)) --> lE(X) g(t)dt quand :c --> +oo.
k=0 --°°

18. Soit EUR > 0 fixé. Déterminer le comportement de lE(N(oe, a: + EUR)) quand 
au --+ +oo.
Interpréter le résultat. Ce résultat est--il vrai s'il existe d > 0 tel que 
lP(X EUR dZ) = 1 ?