X Maths B MP-MPI 2023

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MARDI 18 AVRIL 2023
08h00 - 12h00

FILIERE MP-MPI - Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour
cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

On note R l'ensemble des nombres réels.
On note R' l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Étant donné p EUR R*, on pose U, = ]-p, p|.

On note Z,(R) le R-espace vectoriel des fonctions U, -- R qui sont 
développables en série
entière sur l'intervalle U,,.

Par définition, pour toute fonction f EUR Z,(R), on a une écriture de la forme 
f(t) = D. 9 ant"
(an EUR R) valable pour tout { EUR U,. On rappelle que les a, sont uniquement 
déterminés par f.

On rappelle également que, pour tout réel r EUR IR? tel que r < p, la série >, 
ja,fr" est

convergente et on pose :
OÙ
Lflr = D lantr".
n=Û0

Matrices

Sin et m sont deux entiers, on note .-#n.m(R) l'ensemble des matrices à n 
lignes et m colonnes
à coefficients dans R.

Lorsque m = n, on note plus simplement .#A(R) pour #Æ#nn(R).

On note 1, EUR .#Hn(R) la matrice identité.

Pour M EUR Mnm(R), on note MT E ÆHnn(R) la matrice transposée de M.

On note S,(R) l'ensemble des matrices symétriques de taille n à coefficients 
dans R, c'est-à-
dire des matrices M EUR AMn(R) telles que MT = M.

On dit qu'une matrice M EUR .#,(R) est orthogonale si MT .M -- 1I,.

Une fonction f : U, -- Mnm(R) est dite développable en série entière sur U, si 
toutes ses
fonctions coefficients le sont.

On note Z,(.#nm(R)) l'ensemble des fonctions U, -- .#nm(R) qui sont 
développables en
série entière sur U, au sens précédent et %,(S,(R)) les fonctions de 
Z,(.#nm(R)) qui sont
à valeurs dans S,(R).

Pour M EUR D (Hnm(R)) et a E U,, on note M,,-, la matrice obtenue en évaluant 
tous les
coefficients de M au point a.

On note encore MT EUR D, (Wmn(R)) l'unique élément tel que (MT )4=4 = (My-a)! 
pour
a EU, et In EUR D,(.4n(R)) la fonction constante de valeur J,.

Soit k un entier. Si n = n1 +---+nx avec n1,...,n% entiers et M, EUR #Hn,(R) 
pour à EUR
{1,...,n}, on note Diag(Wi,..., My) EUR .An(R) la matrice diagonale par blocs 
suivante :

M 0

0 M
Si M; EUR D,(Mh,(R)) pour i EUR {1,...,n}, on note Diag(Wi,..., My) EUR 
Z,(.4n(R)) l'élément
défini par Diag(W,..., My)lia = Diag(Mi, -.., Myk=a) pour a EUR U,.

Pour M EUR Mnm(R), on note :
-- ker(M) le sous-espace vectoriel de R°"" formé des vecteurs v tels que Mv = 0,
-- im(M) le sous-espace vectoriel de IR" formé des vecteurs de la forme Mow, v 
EUR R".

Polynômes

Soit n EUR N un entier naturel. On note R;|X] l'ensemble des polynômes à 
coefficients réels
et de degré inférieur ou égal à n. On note Z,(R,;|X]) l'ensemble des fonctions 
de U, vers

R, [X] de la forme t + > fi(t)X* avec f; EUR D,(R) pour 0 < 4 < n. On notera dans la suite i=0 simplement fo + f1X + :--+ f, À" une telle fonction. Si P = fo+ fiX +::.+ fhXT E D,(R:ÎX|), on note deg P l'entier max{i | f; Æ 0}. On dit que P est unitaire de degré d si P est de la forme P= fo+fiX ++ fan X OT + XXE Pour P = fo+ fiX +:.:+ fn XT E D (RA[X]) (avec fi EUR Z,(R)) et a E U,, on note P,_ le polynôme Peu = fola) + fi(a) X +2: + fa(a) X" EUR RIX] Soit mEN.Si PE D (R;ÏX|)) et si M EUR Z,(.Hm(R)), on note P(M) la fonction ar? Pa (Mit=a): Dans tout le problème, on fixe un nombre réel p strictement positif. Première partie 1. Montrer que, pour tout p > 0 et tous m,n EUR N*, les ensembles Z,(R), 
Z,(R;[X|) et
D Mmn(R)) sont stables par somme.

2. Montrer que, pour tout p > 0 et tout n EUR N*, les ensembles Z,(R) et 
Z,(.#,(R)) sont
stables par produit.

3. Soit r EUR R° tel que r < p. Montrer que l'application Z,(R) -- Z,(R) qui à une fonction f associe sa restriction à U, est injective. Dans la suite, on identifiera Z,(R) à un sous-anneau de Z,(R). 4. Soit r EUR R° tel que r < p. Montrer que || - |}; est une norme sur Z,(R) et que ||fg|, < fl: Ia] pour tout f,g EUR Z,(R). 5. soit r EUR R° tel que r < p. Soit (fh)n>0 une suite d'éléments de Z,(R). On 
suppose

que > lfnlr converge. Montrer que > fn converge normalement sur U, vers une 
fonction
nZ>0 n>0
f EUR Z,(R). Montrer que > fn converge également vers f pour la norme || - ||.
n>0

6. Soit f EUR Z,(R) tel que f(0) Æ 0. Le but de cette question est de montrer 
qu'il existe
r E R*,r < p tel que $ E D, (R). 6a. Montrer que l'on peut supposer sans perte de généralité que f(0) = 1. OO On écrit à présent f(t) -- > ait" et on suppose que ao = 1.
i=0

6b. Uniquement dans cette sous-question, on suppose qu'il existe r EUR R° tel 
que r < p et g EUR Y,(R) tels que f(t) g(t) = 1 pour tout t E U,. DO On écrit g(t) -- > bit. Montrer que :
i=0

On définit à présent la suite (b:)1>0 par la formule de récurrence ci-dessus.
6c. Montrer qu'il existe c EUR IR° tel que a, | < c" pour tout n EUR N. 6d. Montrer que [b,| < (2c)" pour tout n EUR N. 6e. Conclure. 7. Montrer que %,(R) est un anneau intègre. Deuxième partie Soit n EUR N un entier naturel. Pour P = f6 + fiX +--.+ FX" EUR D(R;ÏX|) et r,s EUR R* avec Tr < p, on définit : nm lPls = D les i=0 8. Soient n,m EUR N et soient r,s EUR IR, r < p. 8a. Montrer | - |, est une norme sur Z,(R;[X|). 8b. Montrer que si P EUR Z,(R,ÏX|) et Q EUR Z,(Rh|X |), alors PQ EUR D, (Rrim|X]) et PQ rs * ||Q rs < |P] T,S: 9. Soient À,B EUR Z,(R;|X]). On suppose que B est unitaire de degré d < n. 9a. Montrer qu'il existe des éléments Q EUR Z,(R;-_4[X]) et R EUR Z,(Ra_1[X]) uniquement déterminés tels que À = BQ + R. Les éléments Q et R sont appelés respectivement le quotient et le reste de la division eucli- dienne de À par B. 9b. Soient de plus r,s EUR R£ avec r < p. Montrer que, si ||B -- X4]|,, < 5, alors | À] r,S < ? TS sd _|B - xd] d S : | Allrs t R < r,8 " I Is si 1 B -- X4 1Q) T,S (On pourra commencer par traiter le cas où B = X4.) On se propose à présent de démontrer le théorème suivant. Théorème 1. Soit n EUR N un entier naturel et soit P EUR D, (R;ÏX]) unitaire. Soit À EUR R une racine de P;=g de multiplicité d. Alors il existe r EUR RY tel que r < p et F EUR Z,(RalX|)) et GE D,(Rn-alX]) unitaires tels que P = FG et F0 = (X -- 1). Pour cela, on se donne P = fo + f1X +: + FX" E D(R;ÎX |). On suppose dans un premier temps que À = 0, que fo(0) = --: = fy-1(0) = 0 et que fa est la fonction constante égale à 1. 10. Soit F EUR Z,(Ra[X]) unitaire et tel que Fo = X d. Soit R le reste de la division euclidienne de P par F. Montrer que F +R est unitaire de degré d et que (F+R)4_0 = X°. On définit une suite de polynômes (F;);>0 par la formule de récurrence suivante 
:

Fo = fo+ fiX +++ jaX°
pour ? > 0, Fin = FE +R;

où À; désigne le reste de la division euclidienne de P par F; (voir question 
9a). On note Q;
le quotient de la division euclidienne de P par F;. On déduit de la question 10 
que tous les
polynômes F; sont unitaires de degré d.

On se donne de plus r,s EUR RY avec r < p et on pose, pour ? EUR N: a =s %.|F - X11,, 5 BHi=|1---Qilrs : =s %.|R;l T,S: 11. Montrer que l'on peut choisir r et s de sorte que ao + 2EUR9 < 1 et Po + EURo < 1. À partir de maintenant. et jusqu'à la fin de cette partie, nous faisons cette hypothèse sur r et s. 12. Vérifier que, pour tout ? EUR N, on a la relation : (1 --Qi)-Ri= (Qi -- Qi) - Fins + Riu. 13. Montrer que, pour tout à EUR N, on a @;41 < a; + EUR; et si @;41 < 1 alors : Bi t et Eji1 < P; t Bixi < Bi + 1 -- Qj+1 1 -- Qj+1 14. En déduire que, pour tout 2 EUR N, on a : e a 0 converge pour la norme ||: |}, vers un 
polynôme unitaire
FE 9,(Rn[X]) de degré d qui vérifie F;-0 = X%.

15b. Montrer qu'il existe G EUR Z,(R,|X|) tel que P = FG.
16. Démontrer le théorème 1.

17. Soit f EUR Z,(R) tel que f(0) > 0. Montrer qu'il existe pf EUR R* tel que 
pr < p et tel que f > 0 sur U,, et Vf EUR 2,,(R).

Troisième partie
On dit qu'une matrice M EUR Z,(.#A(R)) est orthogonale si MT. M =1,.
Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant.

Théorème 2. Soit M EUR %,(S,(R)). Alors il existe r EUR RY tel que r < p et une matrice orthogonale P EUR Z,(4,(R)) telle que P!- M: P est diagonale. On considère M EUR %,(S;(R)) et on pose x = det(XJ,, -- M) EUR D ,(Ra|X|). 18. Montrer que M\;_Ç admet une valeur propre réelle. Dans la suite, on fixe une valeur propre réelle À de M,;_4 et on note d sa multiplicité comme racine de Yo. Par le théorème 1, il existe p1 EUR R?, p1 < p tel que x se factorise sous la forme x = FG avec FE Z,, (RalX]) et G EUR 2, (Ra_alX]) et Fo = (X -- 1). 19. Uniquement dans cette question, on suppose que d = n. Montrer qu'il existe une matrice symétrique Mo EUR Z,, (Sh(R)) telle que M = À, +tMo pour tout t EU, On pose À = F(M) et B = G(M); on a donc À,B EUR 3, (S,(R)). Pour a E U,,, on pose À, -- A,, et Ba = Bi. 20. Montrer qu'il existe deux matrices U EUR #Æna(R) et V EUR An n-d(R) telles que : e im(BoU) = im(Bo), © im(AoV) -- im( A) et e la matrice par blocs (BoU | AoV) est inversible. On pose Q = (BU | AV) EUR Z,,(.An(R)). Pour p EUR R*, on note GL,(Z,(R)) l'ensemble des éléments M EUR %,(.4n(R)) tels que, pour tout a EUR U,, la matrice M,,_, est inversible et l'application a + (Ma) de U, dans Gl;(R) est un élément, noté M7, de Z,(4#n(R)). 21. Montrer qu'il existe p2 EUR IR, p2 < p1 tel que Q EUR GL;,(2,,(R)). (On pourra utiliser le résultat de la question 6.) 22. On considère un nombre réel a EUR U,,. 22a. Montrer que im(B,U) @ im(A,V) = R'. 22b. Montrer les égalités : e im(BU) = im(B,) = ker(A,) et e im(A,V) = im(A,) = ker(B;). (On pourra commencer par montrer les inclusions de la gauche vers la droite, puis utiliser un argument de dimensions.) 23. Montrer que Q7!-M-Q = Diag(Mi, M) avec M EUR D, (Ma(R)), M EUR D, Mn_a(R)). 24. Montrer que, pour tout a EUR U,,, la somme directe de la question 22a est orthogonale pour le produit scalaire usuel sur R". 25. Montrer qu'il existe p3 EUR R* tel que p3 < p2 et des matrices R1 EUR GLa(Z,,(R)), R2 EUR GLn_4( 23 (R)) telles que la matrice Q : Diag(R1, R2) soit orthogonale. (On pourra utiliser le résultat de la question 17.) 26. Démontrer le théorème 2.