SESSION 2002 A PCMZOO7
CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PC
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
"___--___"
Les calculatrices sont interdites
* * * *
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de
la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d
'énoncé, il la signalera sur
sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu 'il a été amené
à prendre.
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La partie I V peut être traitée indépendamment des autres.
W
Pour tout n e [N, on note P,. la fonction polynôme de la variable réelle x
définie par :
P"... : 2"lnl £» l< lR ? Tournez la page SVP 111.2 Déduire de la question précédente le développement en série de Fourier F (x,9) : Zun(x)cosn6 de F (x,9) considérée comme fonction de la variable 9 , ainsi que le n=0 +oo développement en série entière F (x,9) : Zvn (6)x" de F (x,9) considérée comme fonction de la n=0 variable x . sin(n + 1)9 , cette dernière sm 9 111.3 Montrer que pour tout 9 & IR on a Z_Pk(cosâ)Pn_k(cosû)= k=0 fonction de 9 étant supposée prolongée par continuité lorsque 9 est multiple entier de 7r. PARTIE 1 Soit /'L un nombre réel non entier relatif. On considère l'équation différentielle linéaire en la fonction inconnue 2 de la variable réelle x , à valeurs réelles : (La) (1 -- x2)z"(x) -- 2xz'(x) + 11(1 + 1)z(x) : 0 . On se propose de déterminer les solutions de (L1) développables en série entière au voisinage de 0 . +oo IV.1 Soit z(x)= Eaux" la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul. n=0 Déterminer la relation qui doit lier an+2 et oc,l pour que 2 soit solution de (La). IV.2 En déduire l'expression de au pour tout n EUR IN. IV.3 Quel est le rayon de convergence des séries entières ainsi obtenues ? Fin de l'énoncé
