CCINP Maths 2 PC 2004

 

SESSION 2004 . PCMZOO7

CONCOURS (OMMUNS POlYTECNNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

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NB.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,

& la précision et a' la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce',
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition

en appliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre.

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La partie Il peut être traitée indépendamment des parties 1 et III.

PARTIE 1

+00
On considère la série entière E --n_szn de la variable complexe 2, où 3 est un 
nombre réel

, n=1
donne.

I.1 Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.

1.2 Dans cette question, 2: : ei9 désigne un nombre complexe de module 1.
+00

1.2.1 Etudier la convergence de Z n"szn dans le cas0ù s > 1 ainsi que dans le 
cas

n=1

où 3 S 0.
+00

1.2.2 Dans le cas où 0.< s 5 l, étudier la convergence de Z n"szn pour 2 = l. ' n=1 1.2.3 Toujours dans le cas où 0 < 3 S 1, on suppose que 2 # 1. On pose So : O, et pour tout nombre entier n E N'", Sn : Z Z,". k=l 1 :: _ QI. 'SH12 Montrer que |Sn| S M(9) pour tout 77. EUR IN, avec M(9) En écrivant z'" sous la forme Sk -- Sk_1 pour tout nombre entier k EUR IN, montrer que : n n---1 ' Vn EUR IN*, 2 k'szk = 2 S,. [w -- (k + 1)--3] + Sun--s. k=1 k=1 +oo Montrer que la série 2 S., [ra--s ---- (n + U") est convergente et en déduire que la série n=1 +00 5 72--82" est convergente. n=1 +oo Nous noterons dorénavant cp(z,s) la somme Zn""z" pour tout couple (2,3) EUR (D >< IR n=1 pour lequel cette série est Convergente. 1.3 On note [ l'intervalle ouvert ] -- 1, +1[ de IR. 7: t 1.3.1 Montrer que pour tout (32,3) EUR ] >< IR on a cp(oe,s + 1) = / ÇP( t's)dt. 0 I.3.2 Calculer ga(oe,0) et go(cc, 1) pour tout 3: EUR [. 1.4 On suppose dans cette question que 3 > 1.

1.4.1 Soit fn la fonction définie sur [O, +oo[ pour tout n EUR IN'" par f,,(t) 
: e'"'ts°l.
+oo

Montrer que fn est intégrable sur [O, +oo[ et exprimer f,,(t)dt à l'aide de n, 
3 et

0
+00

+00
l'intégrale F(s) : / e°'ts_ldt : f1(t)dt.
0 0
1.4.2 Soit 2 un nombre complexe de module inférieur ou égal à 1. Montrer que

+oo
la série z z"fn(t) de fonctions de la variable réelle t est intégrable terme a 
terme sur

n=1
]0, +oo[.
En déduire que pour tout 3 > 1 et tout z EUROE tel que |z| S 1, on a :

(1) cp(z,s)= FÎS)/O 00 t5-- dt.

et--z

PARTIE II

+oo
Pour tout nombre réels > 1, on pose Ç(s) : cp(1,s) : En".

n=1

II.] Montrer que Ç est une fonction indéfiniment dérivable de la variable 3 sur 
]1, +oo[.
11.2 Montrer que { est strictement décroissante sur ]1, +oo[.
II.3 Montrer que pour tout 3 EUR]1,+oo[ on a :

0 g Ç(s) _ 1 g /+oet'sdt g Ç(s).

En déduire la limite de Ç(s) lorsque 3 tend vers +00.
Déterminer un équivalent de Ç(s) lorsque 3 tend vers 1 par valeurs supérieures 
à 1.

PARTIE III

III.1 Soit g la fonction de la variable réelle a: définie par :

(i) g(æ) = (" " "')2 pour tout 51: EUR [0,2fl.

2
(iz) g est périodique de période 27r.

III.1.1 Montrer que g est paire. Développer g en série de Fourier réelle. 
Etudier

l'égalité entre 9 et la somme de sa série de Fourier.
III.1.2 Calculer les valeurs de Ç (2) et Ç(4), où Ç est la fonction définie 
dans la partie
précédente.

III.2 Soit 0 un nombre réel. On note ch(9) la partie réelle de go (629,2), où 
cp est la
fonction définie à la question 1.2.

III.2.1 Exprimer ch(9) a l'aide de g(9).
111.2.2 En déduire que pour tout 9 EUR IR on a :

+00 t t 9 _1 2
/ (EUR COS ""'--) dt =9(9) -- î---
0 e" -- 26t cos9 +1 12

III.2.3 Déduire de ce qui précède la valeur des intégrales :

+00 t d +00 t d +00 td
[ =' t I = t I = ---- t.
1 /0 et--l ' 2 /0 et+l ' 3 _/0 sht

III.3 Soit 3 un nombre réel strictement positif.

III.3.1 Montrer que pour tout 9 EUR IR on a les égalités :

"__--"_"dt : F 1 --(s+1) 9)
/0 e2t--28tcosô+1 (3+ )7ên cosn

+°° tsetsin0 , +oo ( ...
[; mdt : P(3 +1)Z n sm n9.

' n=1

III.3.2 En déduire (les expressions des intégrales :

+oo ts d +00 ts d
I = t = t
(3) /0 cht ' J(S) /0 sht '
+oo +00 .
en fonction des sommes Sl(s) : Z(2k + 1)'(3+1), Sg(8) : Z(--l)k(2k + 1)_(5+1) 
et de
k=0 k=0

F(s+1).

Fin de l'énoncé