SESSION 2013 PSIM102
.î- CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées.
Notations :
On note :
. N l'ensemble des entiers naturels.
. R l'ensemble des réels et R+ l'intervalle [O, +oo[.
Pour tout entier naturel n on note n! la factorielle de n avec la convention O!
= 1.
Objectifs :
L'objet de ce problème est d'expliciter la valeur d'une fonction (notée rl)
définie par une intégrale.
Dans la partie 1, on étudie une fonction f et l'on propose un procédé de calcul
de la limite de f en
+00. La partie II est consacrée à l'étude de deux fonctions (notées h et go)
qui seront utilisées dans
la partie 111.
1/4
Partie I
Etude d'une fonction et de sa limite
1.1 Etude de la fonction f
On note f la fonction définie sur R par :
f(a:) : / exp(--t2) dt : / e_t2 dt.
0 0
1.1.1 Montrer que f est une fonction impaire dérivable sur R.
1.1.2 Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R. Pour tout entier n E N *,
on note f(")
la dérivée n-ième de f . Montrer qu'il existe une fonction polynôme p... dont
on précisera le
degré, telle que pour tout a: E R :
f(n)(âî) : pn(a:) exp(--a:2) .
1.1.3 Que peut-on dire de la parité de pn'?
1.1.4 Démontrer que f admet une limite finie en +oo (on ne demande pas de
calculer cette
limite). Dans toute la suite du problème, on note A cette limite.
1.2 Développement en série de f
+00 2n--l--l
33
1.2.1 Montrer que pour tout a: E R, on a f(æ) : (--l)"--.
nî=:0 n!(2n + 1)
1.2.2 Expliciter pn (0).
1.3 Calcul de A
Pour tout entier n, on note :
7r/2
Wn : / cos" a: da:.
0
1.3.1 Montrer que pour tout réel u, on a e" 2 l + u.
1.3.2 Soit n un entier naturel non nul. Montrer que :
{(l--u)"îe_nu si u --1
2/4
1.3.3 Démontrer que pour tout entier 72 non nul, on a :
1 n +00 2 +00 dâÎ
/ (l -- 232) da: £ / e_""' da: £ / _2n.
0 0 0 (1 +33 )
1.3.4 En déduire que pour tout 72 E N* :
A
Wn < _ < Wn_ . 2 +1 _ \/ñ _ 2 2 TF En admettant que Wn +f:Ô . /--n, calculer A. Partie II Etude de deux fonctions II.1 Etude de la fonction h II.1.1 Justifier l'existence, pour tout réel (9, de l'intégrale : +oo h(b) : / cos(2bt) exp(--t2) dt. 0 On note au la forme différentielle définie sur R2 par : w(a:, y) : e_(oe2_92) (cos(2oey)dæ + sin(2æy)dy) . II.1.2 La forme différentielle w est-elle exacte sur R2 '? II.1.3 Etant donnés deux réels strictement positifs & et b, on note P le pavé de R2 défini par : 0 S a: S a et 0 5 y 5 b. On note v le bord de P orienté dans le sens trigonométrique. Quelle est la valeur de l'intégrale curviligne / w '? v II.1.4 En évaluant l'intégrale curviligne de au le long des segments qui forment v, déterminer h(b) en fonction de b et A. 11.2 Etude de la fonction 90 II.2.1 Montrer que l'on définit une fonction 90 paire et continue sur R en posant : +00 332 g0(a:) : / exp <--t2 -- t_2) dt. 0 II.2.2 Montrer que 90 est de classe C1 sur ]0, +oo[. 3/4 II.2.3 Déterminer une constante oz telle que pour tout a: EUR]O, +oo[ on ait : @'(ff) = W(æ). II.2.4 Expliciter gp(a:) pour a: EUR]O, +oo[, puis pour a: E R. Partie III Calcul d'une intégrale III.1 Etude de la fonction @ III.1.1 Vérifier que l'on définit une fonction tb, continue sur R, paire en posant : @@") : /Û+OO cos(2æt) dt. 1+fi III.1.2 Calculer @ (0). 111.2 Soit p E N * et jp la fonction définie sur R par : jp(a:) : /Ûpyexp (-- (l + 332) f) dy. Montrer que ( jp) pEURN est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur R. Expliciter sa limite. III.3 Désormais, & désigne un réel. Soit n E N * et kn fonction définie sur R+ par : kn(y) : /Û yexp (--y2æ2) cos(2aæ) da:. Montrer que (kn)nEURN* est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur R+. Expliciter sa limite. III.4 Soit un,p : / jp(a:) cos(2aæ) da: avec 71 E N* etp E N*. 0 III.4.1 Justifier l'existence de lim un,p et l'expliciter sous forme d'une intégrale. p-->--l--oo
p
III.4.2 Montrer que un,p : / kn(y) exp (--y2) dy.
0
111.5 Justifier l'intégrabilité sur [D, +oo[ de la fonction y v--> kn(y) exp
(--y2).
III.6 Calculer @ (33).
Fin de l'énoncé
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