Centrale Maths 2 PSI 2016

Mathématiques 2
PSI

4 heures Calculatrices autorisées

2016

Ce problème aborde l'étude de deux transformations intégrales utilisées pour le 
traitement des signaux analo--
giques : la transformation de Fourier et celle de Laplace. Chacune d'elles 
permet de modéliser le comportement
fréquentiel d'un signal. La partie I étudie quelques propriétés de la 
transformée de Fourier d'un signal analogique
continu par morceaux et intégrable sur IR. La partie Il aboutit à la formule 
d'inversion de Fourier qui permet de
retrouver un signal à partir de sa transformée de Fourier. La partie III traite 
le cas particulier d'un signal dont
le spectre des fréquences est limité à [--1/2, 1/2]. La partie IV étudie le cas 
particulier d'un signal périodique. Le
résultat auquel elle aboutit est utilisé dans la partie V pour démontrer le 
théorème de l'échantillonnage de Shan--
non. La partie VI utilise un résultat classique de probabilité pour démontrer 
l'injectivité de la transformation
de Laplace sur l'ensemble des fonctions continues sur [R + et nulles hors d'un 
segment.

On note
-- ECPm le C--espace vectoriel des fonctions f : [R --> [: continues par 
morceaux sur [R et intégrables sur [R ;

-- 5 le C--espace vectoriel des fonctions f : [R --> [: continues sur [R telles 
que VlEUR EUR M la fonction 55 r--> 331" f (sc)
est bornée sur [R.

I Transformation de Fourier

Pour toute fonction f EUR E on considère la fonction 5"(f) (transformée de 
Fourier de f) définie par

cpm'
+oo '
% EUR R 5r(f)(ê) : f(ïÎ)EUR*""5dït
I.A * On considère la fonction 
 .r"f(æ) 
est intégrable sur [R.

I.B.2) Démontrer que la fonction 5"(f) est de classe C°° sur [R et que

+oo
Vn EUR IN, V5 EUR [R, (ÿ(f))...[(î) : (_27rî)n/ tnf(t>EURf2flitâ dt

I.E * On considère la fonction 19 : [R --> @ définie par 0(æ) : exp (--7ræ2), 
pour r EUR [R.
I.E.1) Justifier que 0 appartient a 5 et que 3'(0) est solution de l'équation 
différentielle

% EUR [R, y'(ê) = --27r£y(ê)

I.B.2) Établir que ÿ(9) : 9.
On admettre que fjÏ 0(æ)doe : 1.

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II Formule d'inversion de Fourier

Soit f E 5 . On suppose que ff ( f) est intégrable sur IR. Pour tout entier 
naturel non nul n, on pose

+oo +°°
!. : 5"(f)(£)9 (%) d£ J.. = / f (%) ÿ(0)(t)dt
II.A * Montrer que n1--1>£Pooln : +OO 5"(f)(£) d£.

II.B * Calculer lim Jn.

n-->+oo
II.C * Prouver que Vn EUR D\l*, ]" : Jn.
On admettre la formule de Fubini :

/+oo ( +00 f(t)9 (%) e*277it5 d£) dt : /+OO ( +oo f(t)9 (%) 6f2«itg dt) d£

II.D * Démontrer que f(0) : /+00 Î(f)(£) (15.

En déduire, en utilisant la fonction h : t |--> f(OE + t), que

voeue. f<æ>= oeï(f)(£)62"ioeïdê am

*00
Cette formule permet de reconstruire le signal f a partir de sa transformée de 
Fourier ÿ" ( f).

ILE -- Une application
e27riæ£ 1

2 d£ : --eÎ|OE|.

+oo
Démontrer que V.ÎÏ EUR HQ, / m 2

III rI'ransformée de Fourier à support compact

Soit f une fonction de 5 dont la transformée de Fourier ? ( f ) est nulle en 
dehors du segment [--1/27 1/2]. D'après
la relation ll.1, on a

1/2 _
VoeetR. f<æ>=/ 5f<â>eî...fidê

1/2

III.A -- Démontrer que 5"(f) est de classe C°° sur [R et que 3"(f) EUR 5. En 
déduire que f est de classe 000
sur [R.

III.B * Prouver que

V 2 +00 ('T _OE0>n 1/2 - n 27rioe {
<æ,æo> e n% , Z --... / / (2mê) 3'(f)(ê>e @ d£ : f
n=0 il 2

III.C * On suppose que f est nulle en dehors d'un segment [a, b]. Montrer que f 
: 0.

IV Cas des fonctions périodiques

Pour tout entier naturel n, on note Sn la fonction définie sur [? par

Vw E [R. Sn(æ) : Z 627..."

k=fn

Soit f : [EUR --> C une fonction de classe 000 sur D? et l--périodique. On 
considère :
-- la fonction 9 définie sur [--1, 1] par

Vw @ 1--L1[\{0}. g<æ> : @ g<0> : fÇ[°> g<1> : g<--1>= --g<0>

sin(7roe)

-- la suite de complexes (en ( f))nEURZ définie par

1/2
Vn EUR Z, cn(f) : / f(oe)e*2"mæ dx

f1/2

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I V.A +
IV.A.1) Montrer que la fonction g est de classe C1 sur ]--1,1]\ {0} et continue 
sur ]--1, 1].
IV.A.2) Calculer la limite de g' en 0. En déduire que g est de classe C1 sur 
]+1,1].

On admet dorénavant que g est de classe 01 sur ]--1, 1].
1/2

I V.B + Soit 71 EUR D\l. Calculer l'intégrale S,, (sc) dx.
%1/2

IV. C + Démontrer que

sin((2n + 1)7TOE)
sin(7roe)

Vn @ D\l, Va: @ ]--%, %] \ {o}, S,,(æ) :

I V.D + Justifier que

n 1/2
Vn EUR IN*, z ck(f) : f(0) +/ g(oe) sin((2n + 1)7m) da:

k=+n 1/2

I V.E + À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'existence d'un réel C 
tel que

g C

VnEN, 2n+1

1/2
/ g<æ>sin(<2n+ 1)...dæ 1/2 IV.F + Soit 16 EUR ]--1/2,1/2]. On considère la fonction Gt définie sur ]--1/2,1/2] par w; EUR ]-%. %] , G,(oe) : f'(æ + t) Sm(m _ (f(æ + t) _ f(t))7rcos(m:) Établir l'existence d'un réel D, indépendant de a: et de t, tel que 1 1 We ]--%,%] , Voe EUR ]--%, %] , |G,(oe)l < Doe2 IV. G + Prouver l'existence d'un réel E tel que n We ]--%.â]. ]f(t)-- î: c.eW

k=+fl

E
< 2n + 1 (Nl) On pourra introduire la fonction ht : oe 1--> f(oe +16).

V Formule d'échantillonnage de Shannon
Soit f E 5 dont la transformée de Fourier ff ( f) est nulle en dehors du 
segment ]--1/2,1/2] On pose

Vk EUR Z, Vac E [R, 1/)k(sc) : 1/)(oe + k:) (V.1)

où 1/) est définie à la question LB.

V.A -- Justifier que Vn EUR N, (ÿ(f))"" (%> = (E...)... (--â) : 0.

V.B + Soit h la fonction définie sur [R, qui est 1--périodique et qui vaut ÿ(f) 
sur l'intervalle ]--1/2,1/2]
Montrer que h est de classe C°° sur [R.
V. C + À l'aide de l'inégalité IV.1, prouver l'existence d'une suite de nombres 
complexes (dk)kEURZ telle que la

suite de fonctions (x H 2 dk62"ikoe) converge uniformément vers 3" ( f) sur 
]--1/2, 1 / 2].
k=+n nEURN

V.D + Démontrer que la suite de fonctions d conver e uniformément vers sur [R.
k k g .
nEN

+OE)

On notera symboliquement f : î: dk'l/Jk.

k=+OE)

V.E % Établir que Vj EUR Z, f(--j) = d,.

+OE)
L'égalité f : î: f(--k)1/)k traduit la reconstruction du signal f a partir de 
l'échantillon ( f (k))

k=+OE)

keZ'

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VI Transformation de Laplace

Soit f : [R+ % C une fonction continue et nulle en dehors d'un segment. On 
définit la fonction Æ ( f ) (transformée
de Laplace de f) sur [R par

+oo
Vw e ie, z<æ> = / f(t>e*"dt
0
On admettra que Æ(f) est de classe 000 sur B? et que

VOE EUR R» Vn & n <Æ>%> = <--l>" /... ftflaætdr
0

Rappelons que, pour tout réel a:, Lst désigne la partie entière de :c.

VI.A * On considère (X"),OEW une suite de variables aléatoires définies sur un 
même espace probabilisê
(Q, A, P), mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Poisson de 
paramètre À > 0. On pose

VnEURN*, Sn=Xl+--'-+Xn

VI.A.1) Par récurrence, démontrer que, pour tout entier n G N, Sn suit la loi 
de Poisson de paramètre nÀ.
On admettra que, pour tout entier n G N*, les variables S" et Xn+1 sont 
mutuellement indépendantes.
VI.A.2) Soit 5 EUR |Rî. Prouver que

Vn EUR ... P(|Sn --nÀ| ; ne) < A 1152 VI.A.3) Soit 6 > O. Justifier les deux inclusions suivantes
(Sn > n(À + e)) c (|Sn _ nÀ| ; ng)
(Sn EUR "(À -- S)) C (ISn -- nÀ| ; ne)

VI.A.4) Dans toutes les questions qui suivent, on suppose $ 2 0.

Déduire du VI.A.3 que
lim (Sn
lim (S

n
n-->"oo

oe)=0 si0<æ<À n noe)=1 siæ>À

//\ //\

VI.B * À l'aide de la question VI.A, montrer que

k .
lim Z (nÀ) e"'={0 s10+oo k! 1 Sl I > À
ngg lnoe)

VI. C * Dans la suite de cette partie, on admettra que

k
lim î: (nÀ) eÎ"À=

1 .
| -- s1 ar : À
TL-->+OO ngg @@ [EUR 2
VI.C.1) Soit oe EUR R+. Démontrer que
. k (k) "
Æ; Z (--1)k%(£(f>) (n) = / f(y) dy
0gkglæææ) 0

VI.C.2) En déduire que l'application £ : f l--> Æ ( f) est injective sur 
l'ensemble des fonctions à valeurs com--
plexes, continues sur là et nulles en dehors d'un segment.

oooFlNooo

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