Centrale Informatique MP 2010

- version du 9 mars 2010 15h12

Calculatrices autorisées

INFORMATIQUE

n N

[

k fois

Ln , avec L0 = {} et Ln+1 = {w1 w2 |(w1 , w2 )  Ln × L}, pour tout

Filière

MP

Partie I - Quelques exemples

Montrer que L0 et L0 sont polynomiaux.

n

Prouver que L1 est polynomial.
Donner en la justifiant la valeur de L1 .
L1 est-il reconnaissable ? polynomial ?

I.C.2)
I.C.3)
I.C.4)

Dans cette section I.C, l'alphabet est réduit à A = { a} et on note L1 = { a2 | 
n  N }.
I.C.1) L1 est-il reconnaissable ? Donner un automate reconnaissant L1 ou une 
preuve
de non-reconnaissabilité de L1 .

I.C - Un autre exemple

On écrira explicitement un programme Pascal ou Caml reconnaissant L0 (resp. L0 
).

I.B.2)

I.B - Le cas de L0 = { an bn | n  N }
I.B.1) Montrer que ni L0 ni L0 n'est reconnaissable.

I.A.3) Évaluer le coût en temps et espace de la construction choisie d'un 
automate
reconnaissant L à partir d'un automate reconnaissant L.

I.A.2) Soit L un langage reconnaissable. Montrer que L est également 
reconnaissable. On construira explicitement un automate sans transition 
instantanée (appelée aussi -transition) reconnaissant L .
Les deux questions précédentes prouvent le théorème dans le cas particulier 
d'un langage
reconnaissable.

Le caractère polynomial du temps d'exécution devra être justifié

On pourra supposer qu'on dispose d'un automate fini déterministe complet, d'état
initial qi , d'états finaux F, avec des transitions données par une fonction de 
transition  calculant chaque (q, ) en temps O(1).

I.A.1) Soit L un langage reconnaissable. Montrer qu'il est polynomial. On 
demande d'écrire un programme (pas forcément en Pascal ou Caml ; du pseudo-code
en langage naturel sera accepté) prenant en entrée un mot et évaluant son 
appartenance à L.

I.A - Cas des langages reconnaissables

Page 1/4

Lorsque le candidat devra écrire un programme testant l'appartenance d'un mot
à un langage donné, il pourra supposer que les mots donnés en entrée ont leurs
lettres dans le bon alphabet : il est inutile de le vérifier.

Un langage est déclaré reconnaissable lorsqu'il est le langage accepté par un 
automate fini.

Un « langage polynomial » est, par définition, un langage L tel qu'il existe un 
programme (Caml, ou Pascal...) prenant en entrée un mot m de A et retournant un
booléen indiquant l'appartenance ou non de m à L, en un temps majoré par P(|m|),
où P est un polynôme dépendant du programme, mais pas de l'entrée m. L'entier
|m| désigne la longueur de m, c'est-à-dire son nombre de lettres. On pourra 
admettre que si P est un polynôme réel tendant vers + en +, alors il existe un
autre polynôme réel Q tel que Q est croissant sur R + , P(t) 6 Q(t) pour tout t 
> 0,
avec de plus P(t)  Q(t) lorsque t tend vers +.

Si un langage L est « polynomial », alors L l'est aussi.

Les trois parties de ce problème tournent autour d'une même question, tout en
restant largement indépendantes. Le résultat abordé dans cette épreuve est :

n  N.

Ainsi L =

On considère dans tout le problème un alphabet A. Un langage L est un ensemble
de mots de A. On désigne par L l'ensemble des mots de A obtenus par 
concaténation de suites finies de mots de L, y compris le mot vide . Chaque mot 
entrant dans
. . m}.
la concaténation est appelé facteur. En particulier si m est un mot, mk = m
| .{z

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 9 mars 2010 15h12

Calculatrices autorisées

INFORMATIQUE

n N

[

k fois

Ln , avec L0 = {} et Ln+1 = {w1 w2 |(w1 , w2 )  Ln × L}, pour tout

Filière

MP

Partie I - Quelques exemples

Montrer que L0 et L0 sont polynomiaux.

n

Prouver que L1 est polynomial.
Donner en la justifiant la valeur de L1 .
L1 est-il reconnaissable ? polynomial ?

I.C.2)
I.C.3)
I.C.4)

Dans cette section I.C, l'alphabet est réduit à A = { a} et on note L1 = { a2 | 
n  N }.
I.C.1) L1 est-il reconnaissable ? Donner un automate reconnaissant L1 ou une 
preuve
de non-reconnaissabilité de L1 .

I.C - Un autre exemple

On écrira explicitement un programme Pascal ou Caml reconnaissant L0 (resp. L0 
).

I.B.2)

I.B - Le cas de L0 = { an bn | n  N }
I.B.1) Montrer que ni L0 ni L0 n'est reconnaissable.

I.A.3) Évaluer le coût en temps et espace de la construction choisie d'un 
automate
reconnaissant L à partir d'un automate reconnaissant L.

I.A.2) Soit L un langage reconnaissable. Montrer que L est également 
reconnaissable. On construira explicitement un automate sans transition 
instantanée (appelée aussi -transition) reconnaissant L .
Les deux questions précédentes prouvent le théorème dans le cas particulier 
d'un langage
reconnaissable.

Le caractère polynomial du temps d'exécution devra être justifié

On pourra supposer qu'on dispose d'un automate fini déterministe complet, d'état
initial qi , d'états finaux F, avec des transitions données par une fonction de 
transition  calculant chaque (q, ) en temps O(1).

I.A.1) Soit L un langage reconnaissable. Montrer qu'il est polynomial. On 
demande d'écrire un programme (pas forcément en Pascal ou Caml ; du pseudo-code
en langage naturel sera accepté) prenant en entrée un mot et évaluant son 
appartenance à L.

I.A - Cas des langages reconnaissables

Page 1/4

Lorsque le candidat devra écrire un programme testant l'appartenance d'un mot
à un langage donné, il pourra supposer que les mots donnés en entrée ont leurs
lettres dans le bon alphabet : il est inutile de le vérifier.

Un langage est déclaré reconnaissable lorsqu'il est le langage accepté par un 
automate fini.

Un « langage polynomial » est, par définition, un langage L tel qu'il existe un 
programme (Caml, ou Pascal...) prenant en entrée un mot m de A et retournant un
booléen indiquant l'appartenance ou non de m à L, en un temps majoré par P(|m|),
où P est un polynôme dépendant du programme, mais pas de l'entrée m. L'entier
|m| désigne la longueur de m, c'est-à-dire son nombre de lettres. On pourra 
admettre que si P est un polynôme réel tendant vers + en +, alors il existe un
autre polynôme réel Q tel que Q est croissant sur R + , P(t) 6 Q(t) pour tout t 
> 0,
avec de plus P(t)  Q(t) lorsque t tend vers +.

Si un langage L est « polynomial », alors L l'est aussi.

Les trois parties de ce problème tournent autour d'une même question, tout en
restant largement indépendantes. Le résultat abordé dans cette épreuve est :

n  N.

Ainsi L =

On considère dans tout le problème un alphabet A. Un langage L est un ensemble
de mots de A. On désigne par L l'ensemble des mots de A obtenus par 
concaténation de suites finies de mots de L, y compris le mot vide . Chaque mot 
entrant dans
. . m}.
la concaténation est appelé facteur. En particulier si m est un mot, mk = m
| .{z

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 9 mars 2010 15h12

Calculatrices autorisées

INFORMATIQUE

n N

[

k fois

Ln , avec L0 = {} et Ln+1 = {w1 w2 |(w1 , w2 )  Ln × L}, pour tout

Filière

MP

Partie I - Quelques exemples

Montrer que L0 et L0 sont polynomiaux.

n

Prouver que L1 est polynomial.
Donner en la justifiant la valeur de L1 .
L1 est-il reconnaissable ? polynomial ?

I.C.2)
I.C.3)
I.C.4)

Dans cette section I.C, l'alphabet est réduit à A = { a} et on note L1 = { a2 | 
n  N }.
I.C.1) L1 est-il reconnaissable ? Donner un automate reconnaissant L1 ou une 
preuve
de non-reconnaissabilité de L1 .

I.C - Un autre exemple

On écrira explicitement un programme Pascal ou Caml reconnaissant L0 (resp. L0 
).

I.B.2)

I.B - Le cas de L0 = { an bn | n  N }
I.B.1) Montrer que ni L0 ni L0 n'est reconnaissable.

I.A.3) Évaluer le coût en temps et espace de la construction choisie d'un 
automate
reconnaissant L à partir d'un automate reconnaissant L.

I.A.2) Soit L un langage reconnaissable. Montrer que L est également 
reconnaissable. On construira explicitement un automate sans transition 
instantanée (appelée aussi -transition) reconnaissant L .
Les deux questions précédentes prouvent le théorème dans le cas particulier 
d'un langage
reconnaissable.

Le caractère polynomial du temps d'exécution devra être justifié

On pourra supposer qu'on dispose d'un automate fini déterministe complet, d'état
initial qi , d'états finaux F, avec des transitions données par une fonction de 
transition  calculant chaque (q, ) en temps O(1).

I.A.1) Soit L un langage reconnaissable. Montrer qu'il est polynomial. On 
demande d'écrire un programme (pas forcément en Pascal ou Caml ; du pseudo-code
en langage naturel sera accepté) prenant en entrée un mot et évaluant son 
appartenance à L.

I.A - Cas des langages reconnaissables

Page 1/4

Lorsque le candidat devra écrire un programme testant l'appartenance d'un mot
à un langage donné, il pourra supposer que les mots donnés en entrée ont leurs
lettres dans le bon alphabet : il est inutile de le vérifier.

Un langage est déclaré reconnaissable lorsqu'il est le langage accepté par un 
automate fini.

Un « langage polynomial » est, par définition, un langage L tel qu'il existe un 
programme (Caml, ou Pascal...) prenant en entrée un mot m de A et retournant un
booléen indiquant l'appartenance ou non de m à L, en un temps majoré par P(|m|),
où P est un polynôme dépendant du programme, mais pas de l'entrée m. L'entier
|m| désigne la longueur de m, c'est-à-dire son nombre de lettres. On pourra 
admettre que si P est un polynôme réel tendant vers + en +, alors il existe un
autre polynôme réel Q tel que Q est croissant sur R + , P(t) 6 Q(t) pour tout t 
> 0,
avec de plus P(t)  Q(t) lorsque t tend vers +.

Si un langage L est « polynomial », alors L l'est aussi.

Les trois parties de ce problème tournent autour d'une même question, tout en
restant largement indépendantes. Le résultat abordé dans cette épreuve est :

n  N.

Ainsi L =

On considère dans tout le problème un alphabet A. Un langage L est un ensemble
de mots de A. On désigne par L l'ensemble des mots de A obtenus par 
concaténation de suites finies de mots de L, y compris le mot vide . Chaque mot 
entrant dans
. . m}.
la concaténation est appelé facteur. En particulier si m est un mot, mk = m
| .{z

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

L2 est-il reconnaissable ?

Partie II - Trois algorithmes

« L est polynomial » implique-t-il « ( L) est polynomial » ?
« L est reconnaissable » implique-t-il « ( L) est polynomial » ?

Filière MP

II.C.3) En déduire un algorithme pour calculer tous les Ti,j .
II.C.4) Programmer l'algorithme précédent, en écrivant un programme Pascal ou
Caml déterminant si m  L , en calculant tous les Ti,j .

k =i

Montrer que si 0 6 i < j 6 n - 1, alors : -1 _ j_ Ti,k  Tk+1,j Ti,j = mi ...m j  L ( désigne le ou logique,  le et). II.C.2) Soit L un langage sur l'alphabet A. On considère un mot m de L formé de n lettres de A, m = m0 ...mn-1 , avec mi  A pour tout i  [[0, n - 1]]. On définit, pour 0 6 i 6 j 6 n - 1, le booléen Ti,j valant true si le facteur mi ...m j appartient à L , et false sinon. Ainsi, m  L si et seulement si T0,n-1 vaut true. II.C.1) Soit i  [[0, n - 1]]. Que vaut Ti,i ? II.C - Une programmation dynamique II.B.3) Évaluer le nombre d'appels à Dans_L, dans le pire cas. On donnera un majorant, atteint dans un cas qu'on explicitera. II.B.2) En utilisant la propriété précédente, écrire un programme Dans_L_Etoile2 testant l'appartenance d'un mot à L , avec les conventions de la question II.A.4. II.B - Un algorithme récursif II.B.1) Prouver la proposition suivante : « Si w0 , w1 , . . . , wn-1 sont des lettres de l'alphabet A, alors le mot w = w0 ...wn-1 est dans L si et seulement si w  L ou bien il existe k  [[0, n - 2]] tel que w0 ...wk  L et wk+1 ...wn-1  L ». · en Caml, la fonction (dont on donnera le type) prendra en argument une fonction Dans_L testant l'appartenance d'un mot à L. · en Pascal, on supposera qu'on dispose d'une fonction globale Dans_L prenant en argument un mot (de type string) et retournant un booléen. II.A.5) Quelle est la complexité temporelle de la fonction Dans_L_etoile ? On distinguera les appels à Dans_L, et les opérations arithmétiques standards (telles que les divisions euclidiennes, supposées de complexité constante). II.A.6) Si la longueur des mots est supérieure à quelques dizaines, la méthode précédente fait intervenir de trop gros entiers. Comment l'adapter pour énumérer toutes les parties de [[0, n - 1]] sans manipuler des entiers de l'ordre de 2n ? La complexité globale est-elle alors détériorée ? II.A.4) Écrire une fonction Dans_L_etoile prenant en entrée un mot m et testant l'appartenance de m à L : Page 2/4 II.A.3) Expliquer comment associer à une partie non vide de [[0, p]] (p étant à préciser), une décomposition d'un mot en concaténation de mots non vides. On traitera, pour illustrer l'explication, la décomposition : centralesupelec=cent.rale.supelec II.A.1) Écrire une fonction prenant en entrée deux entiers k et n, avec k compris entre 0 et 2n - 1 et calculant un vecteur (ou un tableau) contenant la décomposition en base 2 de k (l'ordre de placement des bits est laissé au candidat). II.A.2) Expliquer comment utiliser la fonction précédente pour décrire toutes les sous-parties de [[0, n - 1]]. II.A - Une énumération des parties de [[0, n - 1]] I.E.4) I.E.3) Dans les trois questions suivantes, on demande une preuve ou un contre-exemple rapidement justifié : I.E.2) « L est reconnaissable » implique-t-il « ( L) est reconnaissable » ? I.E.1) Montrer l'inclusion : ( L)  L . Donner un exemple de langage L pour lequel cette inclusion est stricte. ( L) = {wn | w  L, et n  N }. Si L est un langage, on lui associe un nouveau langage : I.E - Une petite variation I.D.2) Par exemple, 3 × 4 = 12, donc 11#100#1100# L2 . I.D.1) Montrer que L2 est polynomial. L2 = { (n1 )#(n2 )#(n1 n2 )# | n1 , n2  N }. Dans cette section I.D, l'alphabet est A = {0, 1, #} et on suppose qu'on dispose d'une fonction  codant les entiers en des mots sur l'alphabet {0, 1} (leur décomposition en base 2, sans 0 en début de mot, sauf pour 0, de codage 0). Par exemple, (10) =1010. On note cette fois I.D - Un dernier exemple INFORMATIQUE L2 est-il reconnaissable ? Partie II - Trois algorithmes « L est polynomial » implique-t-il « ( L) est polynomial » ? « L est reconnaissable » implique-t-il « ( L) est polynomial » ? Filière MP II.C.3) En déduire un algorithme pour calculer tous les Ti,j . II.C.4) Programmer l'algorithme précédent, en écrivant un programme Pascal ou Caml déterminant si m  L , en calculant tous les Ti,j . k =i Montrer que si 0 6 i < j 6 n - 1, alors : -1 _ j_ Ti,k  Tk+1,j Ti,j = mi ...m j  L ( désigne le ou logique,  le et). II.C.2) Soit L un langage sur l'alphabet A. On considère un mot m de L formé de n lettres de A, m = m0 ...mn-1 , avec mi  A pour tout i  [[0, n - 1]]. On définit, pour 0 6 i 6 j 6 n - 1, le booléen Ti,j valant true si le facteur mi ...m j appartient à L , et false sinon. Ainsi, m  L si et seulement si T0,n-1 vaut true. II.C.1) Soit i  [[0, n - 1]]. Que vaut Ti,i ? II.C - Une programmation dynamique II.B.3) Évaluer le nombre d'appels à Dans_L, dans le pire cas. On donnera un majorant, atteint dans un cas qu'on explicitera. II.B.2) En utilisant la propriété précédente, écrire un programme Dans_L_Etoile2 testant l'appartenance d'un mot à L , avec les conventions de la question II.A.4. II.B - Un algorithme récursif II.B.1) Prouver la proposition suivante : « Si w0 , w1 , . . . , wn-1 sont des lettres de l'alphabet A, alors le mot w = w0 ...wn-1 est dans L si et seulement si w  L ou bien il existe k  [[0, n - 2]] tel que w0 ...wk  L et wk+1 ...wn-1  L ». · en Caml, la fonction (dont on donnera le type) prendra en argument une fonction Dans_L testant l'appartenance d'un mot à L. · en Pascal, on supposera qu'on dispose d'une fonction globale Dans_L prenant en argument un mot (de type string) et retournant un booléen. II.A.5) Quelle est la complexité temporelle de la fonction Dans_L_etoile ? On distinguera les appels à Dans_L, et les opérations arithmétiques standards (telles que les divisions euclidiennes, supposées de complexité constante). II.A.6) Si la longueur des mots est supérieure à quelques dizaines, la méthode précédente fait intervenir de trop gros entiers. Comment l'adapter pour énumérer toutes les parties de [[0, n - 1]] sans manipuler des entiers de l'ordre de 2n ? La complexité globale est-elle alors détériorée ? II.A.4) Écrire une fonction Dans_L_etoile prenant en entrée un mot m et testant l'appartenance de m à L : Page 2/4 II.A.3) Expliquer comment associer à une partie non vide de [[0, p]] (p étant à préciser), une décomposition d'un mot en concaténation de mots non vides. On traitera, pour illustrer l'explication, la décomposition : centralesupelec=cent.rale.supelec II.A.1) Écrire une fonction prenant en entrée deux entiers k et n, avec k compris entre 0 et 2n - 1 et calculant un vecteur (ou un tableau) contenant la décomposition en base 2 de k (l'ordre de placement des bits est laissé au candidat). II.A.2) Expliquer comment utiliser la fonction précédente pour décrire toutes les sous-parties de [[0, n - 1]]. II.A - Une énumération des parties de [[0, n - 1]] I.E.4) I.E.3) Dans les trois questions suivantes, on demande une preuve ou un contre-exemple rapidement justifié : I.E.2) « L est reconnaissable » implique-t-il « ( L) est reconnaissable » ? I.E.1) Montrer l'inclusion : ( L)  L . Donner un exemple de langage L pour lequel cette inclusion est stricte. ( L) = {wn | w  L, et n  N }. Si L est un langage, on lui associe un nouveau langage : I.E - Une petite variation I.D.2) Par exemple, 3 × 4 = 12, donc 11#100#1100# L2 . I.D.1) Montrer que L2 est polynomial. L2 = { (n1 )#(n2 )#(n1 n2 )# | n1 , n2  N }. Dans cette section I.D, l'alphabet est A = {0, 1, #} et on suppose qu'on dispose d'une fonction  codant les entiers en des mots sur l'alphabet {0, 1} (leur décomposition en base 2, sans 0 en début de mot, sauf pour 0, de codage 0). Par exemple, (10) =1010. On note cette fois I.D - Un dernier exemple INFORMATIQUE · en Caml, on suppose qu'on dispose d'une fonction de création de file Filière MP Les arêtes de ce graphe permettent de localiser les facteurs de w qui appartiennent à L. L'appartenance de w à L est alors équivalente à l'existence d'un chemin de -1 vers n - 1 dans ce graphe (ce qui revient au problème de l'accessibilité d'un état dans un automate fini, par exemple). On ne demande pas de justifier ce fait. · T = {(i, j) | i < j et wi+1 . . . w j  L} comme ensemble d'arêtes. · S = [[-1, n - 1]] comme ensemble de sommets ; Pour savoir si un mot w = w0 w1 . . . wn-1 de A appartient à L , on va considérer le graphe orienté G L (w) = (S, T ) défini par : On appelle graphe orienté le couple (S, T ) d'un ensemble fini S d'éléments appelés sommets et d'un ensemble T d'arêtes qui sont des éléments de S × S. Dans un tel graphe, un chemin d'un sommet d vers un sommet f est une suite finie de sommets s0 , s1 , . . . , sn telle que s0 = d, sn = f et, pour tout k  {0, 1, . . . , n - 1}, (sk , sk+1 )  T. III.B - Introduction d'un graphe orienté III.A.2) Comment modifier les fonctions précédentes si on suppose que le nombre d'éléments entrés dans la file peut dépasser la taille du tableau, mais qu'à chaque instant, le nombre d'éléments restant dans la file (ceux qui sont entrés dans la file et n'en sont pas sortis) reste inférieur à la taille du tableau ? et d'une fonction testant si la file est vide (cet état est caractérisé par le fait que l'indice de début a dépassé celui de fin) function est_vide(f:fifo):boolean. III.A.1) Écrire des fonctions ou procédures put et get répondant aux spécifications données plus haut. creer_file : int -> fifo, prenant en entrée la taille du vecteur ;
et d'une fonction testant si la file est vide (cet état est caractérisé par le 
fait que
l'indice de début a dépassé celui de fin) est_vide : fifo -> bool.
· en Pascal, on suppose qu'on dispose d'une procédure de création de file :
procedure creer_file(var f:fifo)) ;

Dans un premier temps, on pourra faire l'hypothèse que le nombre total d'entrées
dans la file reste inférieur à la taille du tableau.
Page 3/4

· en Caml fonction get de type fifo -> int,
· en Pascal fonction de signature : function get(var f:fifo):integer.

Pour enlever un élément de la file, on lit la valeur de la case indexée par 
debut, puis
on incrémente cet index :

· en Caml fonction put de type int -> fifo -> unit,
· en Pascal procédure de signature : procedure put(v:integer; var f:fifo)).

Les files ont une taille maximale imposée (à la création en Caml, globalement 
via
nmax en Pascal). Les éléments de la file sont tous les éléments du 
vecteur/tableau
dont les indices sont entre debut et fin (au sens large).
Quand on entre un élément dans la file, on incrémente la valeur de fin et on 
place
le nouvel élément dans la case indexée par fin dans le tableau :

const nmax=1000;
type
fifo = record
contenu : array[1..nmax] of integer;
debut, fin : integer ;
end;

· en Pascal

type fifo={contenu:int vect; mutable debut:int; mutable fin:int};;

III.A - Structure de file
Dans cette partie, nous aurons besoin d'une structure de données appelée file, 
ou
encore « structure FIFO (pour first in first out) » : on entre les éléments les 
uns après
les autres dans la file, et lorsqu'on les sort, le premier élément enlevé est 
le premier
qui avait été entré. On fait le choix de la structure de données suivante :
· en Caml

Partie III - Utilisation d'un graphe

II.C.6) Évaluer la complexité spatiale de cette solution. Comparer avec les deux
autres solutions proposées dans cette partie.

II.C.5) Évaluer la complexité temporelle de cet algorithme. On s'intéressera 
d'une
part au nombre d'accès à la fonction testant l'appartenance à L, et d'autre 
part au
nombre d'opérations élémentaires telles qu'un ou/et logique.

INFORMATIQUE

· en Caml, on suppose qu'on dispose d'une fonction de création de file

Filière MP

Les arêtes de ce graphe permettent de localiser les facteurs de w qui 
appartiennent
à L. L'appartenance de w à L est alors équivalente à l'existence d'un chemin de 
-1
vers n - 1 dans ce graphe (ce qui revient au problème de l'accessibilité d'un 
état
dans un automate fini, par exemple). On ne demande pas de justifier ce fait.

· T = {(i, j) | i < j et wi+1 . . . w j  L} comme ensemble d'arêtes. · S = [[-1, n - 1]] comme ensemble de sommets ; Pour savoir si un mot w = w0 w1 . . . wn-1 de A appartient à L , on va considérer le graphe orienté G L (w) = (S, T ) défini par : On appelle graphe orienté le couple (S, T ) d'un ensemble fini S d'éléments appelés sommets et d'un ensemble T d'arêtes qui sont des éléments de S × S. Dans un tel graphe, un chemin d'un sommet d vers un sommet f est une suite finie de sommets s0 , s1 , . . . , sn telle que s0 = d, sn = f et, pour tout k  {0, 1, . . . , n - 1}, (sk , sk+1 )  T. III.B - Introduction d'un graphe orienté III.A.2) Comment modifier les fonctions précédentes si on suppose que le nombre d'éléments entrés dans la file peut dépasser la taille du tableau, mais qu'à chaque instant, le nombre d'éléments restant dans la file (ceux qui sont entrés dans la file et n'en sont pas sortis) reste inférieur à la taille du tableau ? et d'une fonction testant si la file est vide (cet état est caractérisé par le fait que l'indice de début a dépassé celui de fin) function est_vide(f:fifo):boolean. III.A.1) Écrire des fonctions ou procédures put et get répondant aux spécifications données plus haut. creer_file : int -> fifo, prenant en entrée la taille du vecteur ;
et d'une fonction testant si la file est vide (cet état est caractérisé par le 
fait que
l'indice de début a dépassé celui de fin) est_vide : fifo -> bool.
· en Pascal, on suppose qu'on dispose d'une procédure de création de file :
procedure creer_file(var f:fifo)) ;

Dans un premier temps, on pourra faire l'hypothèse que le nombre total d'entrées
dans la file reste inférieur à la taille du tableau.
Page 3/4

· en Caml fonction get de type fifo -> int,
· en Pascal fonction de signature : function get(var f:fifo):integer.

Pour enlever un élément de la file, on lit la valeur de la case indexée par 
debut, puis
on incrémente cet index :

· en Caml fonction put de type int -> fifo -> unit,
· en Pascal procédure de signature : procedure put(v:integer; var f:fifo)).

Les files ont une taille maximale imposée (à la création en Caml, globalement 
via
nmax en Pascal). Les éléments de la file sont tous les éléments du 
vecteur/tableau
dont les indices sont entre debut et fin (au sens large).
Quand on entre un élément dans la file, on incrémente la valeur de fin et on 
place
le nouvel élément dans la case indexée par fin dans le tableau :

const nmax=1000;
type
fifo = record
contenu : array[1..nmax] of integer;
debut, fin : integer ;
end;

· en Pascal

type fifo={contenu:int vect; mutable debut:int; mutable fin:int};;

III.A - Structure de file
Dans cette partie, nous aurons besoin d'une structure de données appelée file, 
ou
encore « structure FIFO (pour first in first out) » : on entre les éléments les 
uns après
les autres dans la file, et lorsqu'on les sort, le premier élément enlevé est 
le premier
qui avait été entré. On fait le choix de la structure de données suivante :
· en Caml

Partie III - Utilisation d'un graphe

II.C.6) Évaluer la complexité spatiale de cette solution. Comparer avec les deux
autres solutions proposées dans cette partie.

II.C.5) Évaluer la complexité temporelle de cet algorithme. On s'intéressera 
d'une
part au nombre d'accès à la fonction testant l'appartenance à L, et d'autre 
part au
nombre d'opérations élémentaires telles qu'un ou/et logique.

INFORMATIQUE

a

0

ab

b

1

a

2

aa

a

3

b
4

a
5

· · · FIN · · ·
Page 4/4

III.B.3) Évaluer la complexité de ce programme dans le pire des cas (accès à la
fonction d'appartenance, et opérations élémentaires).
III.B.4) Faire le bilan comparé des quatre algorithmes présentés dans ce 
problème.
On ira si possible au delà de « celui-ci est plus rapide que celui-là »...

Représenter le graphe G L0 ( aabbaba).
On revient au cas général.
Pour déterminer l'accessibilité de n - 1 depuis -1, on peut effectuer un 
parcours en
largeur du graphe : une file contient les sommets déjà détectés comme 
accessibles
mais non encore traités ; dans un vecteur/tableau global, on tient à jour les 
états
que l'on sait accessibles. Le pseudo-code suivant décrit l'algorithme :
entrer -1 dans la file
TANT QUE la file n'est pas vide et que n-1 n'a pas été vu :
enlever un sommet s de la file
POUR i allant de s+1 jusqu'à n-1 :
SI (i n'a pas déjà été vu) et (w[s+1..i] appartient à L)
ALORS
vus[i]<-true entrer i dans la file FIN de si FIN de pour FIN de tant que On admet qu'à la fin de cette boucle, vus[n-1] vaut true si et seulement si n - 1 est effectivement accessible depuis -1 dans le graphe. III.B.2) Écrire une nouvelle fonction testant l'appartenance d'un mot à l'étoile d'un langage, en appliquant l'algorithme précédent. Chaque arête  = (i, j) est indexée par le facteur wi+1 . . . w j  L justifiant la présence de  dans le graphe. -1 aab III.B.1) Exemple : Soit A = { a, b} et L = { a} {b} = { ai b j | (i, j)  N2 }. Dans ces conditions le graphe orienté G L ( abaaba) est représenté par INFORMATIQUE Filière MP