Centrale Informatique MP 2013

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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Les candidats indiqueront en tête de leur copie le langage de programmation 
choisi (Pascal on Caml}. Les
candidats ayant choisi Caml devront donner le type de chaque fonction écrite. 
Les candidats travaillant en
Pascal pourront écrire des fonctions ou des procédures.

I Arbres de décision

Un arbre de décision est un arbre binaire dans lequel :

-- un noeud interne est associé à une variable, parmi un ensemble V de 
variables ;

-- une feuille est associée à un booléen (vrai ou faux).

Si chaque variable de l'ensemble V reçoit une valeur booléenne, un tel arbre 
permet de prendre une décision en

parcourant l'arbre :

-- on part de la racine ;

-- quand on arrive sur un noeud interne (racine comprise), on regarde quelle 
est la valeur de la variable associée
au noeud : si elle vaut vrai on poursuit le parcours dans le sous--arbre 
gauche, sinon on poursuit le parcours
dans le sous--arbre droit ;

-- quand on arrive sur une feuille, le booléen associé constitue la décision.

Oonventionnellement, on représente l'arête menant au sous--arbre pour le << cas vrai >> en trait plein ; l'arête me--

nant au sous--arbre << cas faux >> en pointillés. Schématiquement, un arbre est 
structuré comme indiqué ci--dessous

a gauche.

variable e
\ \ / \ \
\ \ . N
\ \ 4 vrai a
\
sous--arbre sous--arbre / \.,
si variable si variable 7° \ faux
vraie fausse _/ \«
vrai faux

Le schéma de droite ci--dessus illustre l'exemple : un module de cours est 
validé si l'examen est réussi (e), ou
sinon, si l'étudiant a été assidu en cours (a) et qu'il réussit un examen de 
rattrapage (r). Cela revient à définir
la validation du module par la formule logique e V (a /\ r).
On envisage une représentation simple d'un arbre de décision, a l'aide d'un 
tableau. On numérote les noeuds : la
racine reçoit le numéro 0, les autres noeuds sont numérotés arbitrairement par 
des entiers consécutifs à partir de
1. On crée un tableau contenant autant de cases que de noeuds, indicé a partir 
de 0. La case d'indice i contient
soit un triplet (nom de variable, numéro du fils gauche, numéro du fils droit) 
si le noeud numéro i est un noeud
interne, soit un booléen si le noeud numéro i est une feuille.
En Caml, on définit le type :
type noeud =
Feuille of bool
l Decision of string * int * int;;

Un arbre de décision est donc représenté par un vecteur de noeuds (type noeud 
vect).
En Pascal :

type SorteNoeud = (Feuille, Decision);

type Noeud = record
sorte: SorteNoeud;

variable: string; (* Utilisé si sorte = Decision *)
g, d: integer; (* Utilisés si sorte = Decision *)
valeurFeuille: boolean; (* Utilisé si sorte = Feuille *)

end;
En Pascal un arbre de décision contenant n noeuds sera donc de type array [O. 
.n--1] of Noeud.
I .A -- Définir une variable monAD représentant l'arbre de décision illustré 
précédemment.

Dans les deux questions suivantes, on veut faire déterminer une décision en 
fournissant une valuation des
variables, c'est--à--dire la liste des seules variables qui sont vraies dans 
l'évaluation.

2013--01-21 18:29:03 Page 1/4 GC) BY--NC-SA

I.B -- Définir une fonction eval_var qui, étant donnés le nom d'une variable 
(string) et une liste (Caml)
ou un tableau (Pascal) des seules variables vraies, renvoie un booléen 
correspondant a la valuation de la variable
indiquée.

I.C -- Définir une fonction eval qui, étant donnés un arbre de décision et une 
liste (Caml) ou un tableau
(Pascal) des seules variables vraies, renvoie un booléen correspondant a la 
décision finale.

Il Diagrammes de décision

On souhaite compacter la représentation en mémoire des arbres de décision. Si 
plusieurs sous--arbres sont iden--
tiques, on n'a pas envie de les stocker plusieurs fois.

En raisonnant sur la représentation informatique des arbres de décision, on 
voit assez facilement une façon de
procéder: si les arbres de numéros 75 et j sont identiques, on peut (par 
exemple) au niveau du parent }) de j
indiquer comme numéro de fils 75 au lieu de j et ainsi éliminer j de la 
représentation.

Ce faisant, on ne représente plus un arbre (car 75 a maintenant deux parents), 
mais un graphe orienté : on parle
de diagrammes de décision. Néanmoins aucune connaissance particulière en 
théorie des graphes n'est requise

b
pour aborder ce problème. On dira qu'il existe un arc de 19 vers 75 et on le 
notera }) --> 75 avec 19 EUR {T, F} (pour
mai ou fauoe), selon que l'arc est suivi dans le cas où 19 est vrai 
(précédemment : fils gauche) ou dans le cas où 19

est faaa: (précédemment : fils droit). Lorsque }) --> 75, on note 75 : succb(p).

Exemple : l'expression (z1 /\ 23) V (272 /\ @) admet (entre autres) les 
diagrammes de décision ci--dessous.

21 21 21
/ \ \ \ \ 3 / \ >l / \ &
Z2 Z2 Z2 Z2 23 Z2
\ \ / / \ \_/ /
/ \N / \>l l/// // \/ _\J //
23 23 23 23 23 " // vrai faux « * /
\ \ \ \ \ /
/ \: / \: / \: / \: / \: / :/
vrai faux vrai faux vrai faux faux faux vrai faux <" ' / II .A -- Créer une fonction (Caml) ou procédure (Pascal) redirige a trois paramètres -- un diagramme ainsi b que deux indices @ et w -- qui supprime le noeud @ dans le graphe et transforme tous les arcs u --> @ en arcs

b
a --> w. Les cases du tableau qui dev1ennent 1noccupees sont remplies avec la 
valeur speciale Vide.

Pour ce faire en Caml on complète :

type noeud =
Feuille of bool
l Decision of string * int * int
l Vide;;
De même en Pascal on ajoute une sorte de noeuds (le type Noeud lui-méme reste 
inchangé) :
type SorteNoeud = (Feuille, Decision, Vide);

Pour transformer un arbre en diagramme sans répétition, on applique deux règles 
de simplification.

-- Elimination : Si pour un noeud @ on a such(v) : succT(v) : w alors on 
élimine @ et on transforme les arcs

b ()
u-->venu-->w.

est transformé en

/\
(\_//
s<---------- -- Isomorphisme : Soit @ et w deux noeuds, @ # w. Si ce sont des feuilles avec valeur(v) : valeur(w) ou si ce sont des noeuds internes tels que variable(v) : variable(w) et such(v) : such(w) et succT(v) : succT(w) b b alors on élimine @ et on transforme les arcs u --> @ en a _) w.

a a a a
\ \ \ \
/ \" \/ \\ / \--*l \/ \\
S f ' S
.. v(z1) w(z1) est trans orme en w(z1)
\ | \
\ \ l \ \
\ | \ >l
\ | .
" V . faux vrai
faux vrai
II .B -- Créer une fonction trouve_elimination, prenant en paramètre un 
diagramme et renvoyant l'indice

d'un noeud pouvant être supprimé par élimination, s'il en existe un. Sinon, 
elle doit renvoyer --1.

2013--01-21 18:29:03 Page 2/4 @C) BY--NC-SA

II.C -- De même, créer une fonction trouve_isomorphisme, prenant en paramètre 
un diagramme, et ren--
voyant un couple d'indices correspondant a deux noeuds pouvant être simplifiés 
par isomorphisme, s'il en existe
un. Sinon, elle doit renvoyer le couple (--1,--1).

Les candidats qui composent en Caml peuvent directement manipuler des couples. 
Les candidats qui composent
en Pascal créeront une procédure recevant en paramètres deux variables entières 
transmises par référence :

procedure trouve_isomorphisme(diagramme: array of noeud; var i, j: integer);

On dit que le diagramme est sous forme réduite s'il n'existe pas de noeuds 
différents qui correspondent a la
même formule logique.

II .D -- Prouver l'assertion suivante :

Un diagramme est sous forme réduite si, et seulement si, ni la règle 
d'élimination ni la règle
d'isomorphisme ne peuvent lui être appliquées.

II.E -- Créer une fonction sans résultat (Caml) ou une procédure (Pascal) 
appelée reduit, prenant en pa--
ramètre un diagramme, qui détecte les deux simplifications possibles, effectue 
les redirections correspondantes,
jusqu'à ce qu'il ne soit possible de faire aucune simplification supplémentaire.

On obtient a ce stade une représentation du diagramme simplifié sous forme d'un 
tableau dans lequel certaines
cases ne sont plus utilisées : elles sont marquées Vide.

III Diagrammes de décision ordonnés
Nous nous intéressons maintenant a la construction d'arbres de décision a 
partir de formules logiques.

Étant données des formules logiques t, el et 62, on définit l'opérateur t --> 
61,62 par :
t--> 61,62 : (t/\EUR1)V(--lt/\EUR2)

III .A -- Soient :E et y des formules logiques quelconques. Montrer que les 
trois formules logiques suivantes

wc, oeVy, oe/\y

peuvent s'écrire en utilisant uniquement les constantes 0 (faux), 1 (vrai), 
l'opérateur - --> -, - défini précédemment
et les variables :E et y.

III.B -- Montrer que (a --> b,c) --> d, e = a --> (19 --> d, e), (c --> d, 6).

III .C -- Déduire de ce qui précède une méthode systématique de construction 
d'un arbre de décision a partir
d'une formule logique quelconque.

III .D -- Soient t une variable booléenne et e une formule logique. Que vaut 75 
--> e, e ?

Un diagramme de décision est dit ordonné si, pour un ordre donné entre les 
variables 5151 < OE2 < . . . < 515... alors tout chemin partant de la racine vers les feuilles parcourt les variables dans cet ordre. La fonction booléenne représentée par un diagramme de décision u est notée f ". La méthode de construction d'un arbre de décision imaginée en III.C ne respecte pas forcément un certain ordre des variables. Dans cette partie nous proposons une autre méthode de construction, un ordre étant donné a priori. Pour une variable 75, une expression 6 et une fonction booléenne f , on note f[t : e] la fonction déduite de f en remplaçant toutes les occurrences de t par e. III.E -- Que vaut 75 --> f[t : 1],f[t : O] ?

III .F -- En déduire une méthode de construction d'un diagramme de décision 
réduit ordonné a partir d'une
fonction booléenne sur un ensemble ordonné de variables.

III .G -- Montrer que pour toute fonction booléenne f de n variables ordonnées 
5151 < OE2 < . .. < 515... il existe un unique diagramme de décision réduit ordonné u tel que f " = f . III .I-I -- À l'aide de ce qui précède, donner une méthode simple permettant de décider de l'égalité entre deux fonctions booléennes portant sur le même ensemble de n variables. III .I -- Comment déterminer facilement si une formule logique est une tautologie ? IV Circuits logiques On sait que toute fonction booléenne peut se mettre sous forme normale disjonctive: f s'écrit comme une disjonction (un ou) de minterme3, sachant qu'un minterme est une conjonction (un et) entre toutes les variables de f, chacune d'entre elles pouvant éventuellement être niée. Par exemple, f : z1 /\ (272 V --uz3) s'écrit en forme normale disjonctive : f = (271 /\ --\22 /\ --\23) V (271 /\ Z2 /\ --\23) V (271 /\ Z2 /\ 233). C'est une disjonction de trois mintermes. I V.A -- Pour une fonction booléenne f , évaluer le nombre de portes logiques nécessaires a sa réalisation directe a partir de sa forme normale disjonctive, en fonction du nombre de variables de f . 2013--01-21 18:29:03 Page 3/4 @C) BY--NC-SA On appelle multipleoeeur a deux entrées un circuit logique qui recopie sur sa sortie 3 l'une de ses deux entrées, eo ou el, en fonction de la valeur (resp. 0 ou 1) d'un signal de commande 0. c eo si c = 0 l el si c = 1 mult1plexeur % 3 61 -->

I V.B -- Donner la table de vérité du multiplexeur a deux entrées.
IV. C' -- Donner un schéma pour réaliser le multiplexeur a deux entrées a 
partir de portes logiques élémentaires.

I V.D -- Donner une méthode simple permettant de déterminer un circuit logique 
réalisant la fonction boo--
léenne représentée par un diagramme de décision.

V Automates

On s'intéresse dans cette partie aux combinaisons booléennes d'équations 
linéaires sur les entiers. Par exemple,
avec deux variables, la résolution du système (2oe1 -- 5152 = --4) /\ (7oe1 -- 
35152 = 1) ou de (35151 -- 55152 = 2) V
(--u(4oe1 -- 35152 = 1)). Les combinaisons logiques peuvent être traitées par 
l'arbre de décision précédent. On veut
construire des automates permettant de résoudre les équations linéaires. Dans 
le cas général, pour n un entier
positif, ces équations a n variables peuvent s'écrire sous la forme <älzî) : 16 avec d' : (al, . . ., a...) E Z", 16 EUR Z, a? : (acl, . . ., 51%) E N", et {l) dénotant le produit scalaire usuel entre deux vecteurs. On note E = {0,1} et on prend comme alphabet A l'ensemble E ". Un mot 961,1 OE1,m oe : : . . . : EUR A* oen,1 oen,m m représente le vecteur d'entiers naturels a? : (acl, . . ., oen) tel que 515, : Ë gr...-23_1 pour tout 1 < 75 < n. J=1 On note 56 le vecteur d'entiers et :E le mot de A* associé a ce vecteur d'entiers. On rappelle que << -- >> représente
la concaténation entre deux mots.

V.A -- Résoudre le système (2oe1 -- 5152 = --4) /\ (7oe1 -- 35152 = 1). Écrire 
le mot correspondant.

Etant donnée une équation linéaire <ä'lzî) : k, on souhaite construire un automate Aä)k qui reconnaisse seulement les mots correspondant aux solutions de l'équation. V.B -- Soit @ un mot de longueur au moins égale a 2 que l'on écrit sous la forme @ = b -- v', où 19 est une lettre --» et 1)' un mot. Montrer que 17 est solution de l'équation <ä'lzî) : 16 si et seulement si k -- <ä'lb) est un entier pair et "D" est solution de l'équation <älzî) : k', pour une valeur de k' que l'on précisera. On peut donc ainsi construire l'automate. Les états sont indexés par les valeurs lc,-- accessibles. On ajoute un état << rebut >> noté 1. A partir d'un état k,, pour toutes les lettres 19 de 
l'alphabet A, on crée les états le,-, s'ils

--»

n'existent pas encore et les transitions (le,, 19, k,), si le,- -- (5119) est 
un entier pair (la valeur de kj étant le k' de
la question précédente) ou les transitions (k,,b,1) sinon.

V.C -- Préciser, en le justifiant l'état initial de l'automate Aä)k, ainsi que 
le (les) état(s) final(aux).
V.D -- Montrer que l'on construit ainsi un nombre fini d'états de l'automate 
Aä)k.
V.E -- Donner un algorithme permettant de déterminer s'il existe des solutions 
de l'équation <ä'lzî) : k. Justifier que cet algorithme se termine. V.F -- Construire l'automate pour l'équation : oe1 -- 45152 + 25153 = 1. Donner également le tableau indiquant les transitions : en ligne les états accessibles ; en colonne les différentes lettres de l'alphabet (dans l'ordre lexical précisé ci--dessous) ; chaque case du tableau contient l'état atteint par lecture de la lettre a partir de l'état correspondant. Pour éviter de surcharger le dessin de l'automate, on pourra ne pas représenter les transitions vers l'état 1. al 51 On définit l'ordre lexical sur les lettres de l'alphabet E '" par : si a = f et b = { sont dans l'alphabet, an bn ona (a