Mines Informatique MP 2005

Épreuve d'informatique 2005

A 2005 -- INF -- MP

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DES TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE
(Filière TSI.)

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE D'INFORMATIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis àla disposition des concours Cycle International, ENSTIM et TPE--EIVP.

Les candidats et les candidates sont priés de mentionner de façon
apparente sur la première page de la copie :
« INFORMATIQUE -- Filière MP »

RECOMMANDATIONS AUX CANDIDATS ET CANDIDATES

. L'énoncé de cette épreuve, y compris cette page de garde, comporte 9 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat ou une candidate repère ce qui lui 
semble être une erreur
d'énoncé, il ou elle le signale sur sa copie et poursuit sa composition en 
expliquant les raisons des
initiatives qu'il ou elle a décidé de prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures même s'il n'a pas
été démontré.

. Il ne faut pas hésiter à formuler les commentaires qui semblent pertinents 
même lorsque l'énoncé
ne le demande pas explicitement.

. L'utilisation d'une calculatrice ou d'un ordinateur est interdite.

COMPOSITION DE L'ÉPREUVE
L'épreuve comporte deux parties indépendantes :

0 un problème sur les automates, pages 2 et 3 (60 mn environ) ;
0 un problème d'algorithmique, logique et programmation, pages 3 a 9 (120 mn 
environ).

Page 1 sur 9
Tournez la page S.V.P.

1. Problème sur les automates (60 mn environ)

Notations et terminologie

Un alphabet 2 est un ensemble fini d'éléments appelés lettres. Un mot sur 2 est 
une suite finie, éventuellement
vide, de lettres de 22 On note 2" l'ensemble des mots sur 2. La longueur d'un 
mot est le nombre de lettres qui le

composent. Un langage est une partie de Z*.
Si a appartient à 2 et si n désigne un entier positif, a" est le mot constitué 
de n fois la lettre a ; a0 est le mot vide.

Un automate Zest décrit par une structure <2Î, Q, T, I, F>, où :
0 27 est un alphabet ;
0 Q est un ensemble fini et non vide appelé ensemble des états de 2 ;
0 T ç Q >< 2 x Q est appelé l'ensemble des transitions ; étant donnée une transition (p, a, q) EUR T, on dit qu'elle va de l'état p à l'état q et qu'elle est d'étiquette a ; 0 I g Q est appelé ensemble des états initiaux de fil; 0 F ; Q est appelé ensemble des états finals de flL Début de l'énoncé du problème Dans tout ce problème, l'alphabet 27 utilisé n'a que deux lettres notées a et b : 2 = {a, b}. On note OE(Z*) l'ensemble des parties de 27", c'est--à--dire l'ensemble des langages sur 27*. On se propose d'étudier plusieurs « transformations de langage », c'est--à--dire plusieurs fonctions de ? (2*) dans !P (D"). On désigne par L3 le langage des mots sur 23 dont la longueur est multiple de 3. D 1 -- Indiquer un automate déterministe reconnaissant L3. D 2 -- Donner une expression rationnelle de L3. On considère une fonction notée (D de 1P(Z*) dans OE(Z*) définie de la façon suivante. Soit L une partie de Z* ; un mot v appartient à CD(L) si et seulement si v est le plus long préfixe de la forme a" d'un mot de L. Autrement dit, un mot v appartient à (L_--,).

D 4 -- Donner un exemple de langage L sur 2, non rationnel, tel que  un automate 
reconnaissant L. Décrire à partir de _
l'automate % un automate reconnaissant  un automate 
reconnaissant L. Décrire à partir de '

l'automate 54 un automate fl'reconnaissant I' (L). On donnera une description 
précise de l'automate 2'
mais il n'est pas demandé de justifier la réponse. Un automate ÿl' décrit de 
façon trop imprécise sera
considéré comme inexact.

On considère une troisième fonction notée 'P de 1'(2*) dans fP(Z*) définie de 
la façon suivante. Soit L une partie

de 27". Un mot v appartient à 'F(L) si et seulement s'il peut se déduire d'un 
mot u de L contenant au--moins une
fois la lettre b par effacement de la première occurrence dans u de la lettre b 
; cela revient à dire qu'un mot v

appartient à 'P(L) si et seulement s'il existe un entier n 2 0 et un mot x sur 
2 tels que : v = a"x et le mot u = a"bx
est dans L.

D 8 --- Déterminer T(L3).

Cl 9 -- Donner un exemple de langage L sur 2 non rationnel invariant par 'l', 
c'est--à--dire vérifiant
'P(L) = L. On prouvera que le langage L proposé n'est pas rationnel. On 
prouvera la relation 'P(L) = L.

D 10 --- Soit L un langage rationnel et fll= <2, Q, T, ], F> un automate 
reconnaissant L. Décrire, à partir de

l'automate 54, un automate fll' reconnaissant 'P(L). On donnera une description 
précise de l'automate ñ'
mais il n'est pas demandé de justifier la réponse. Un automate fll' décrit de 
façon trop imprécise sera
considéré comme inexact.

FIN DU PROBLÈME SUR LES AU T 0MA T ES

2. Problème d'algorithmique, logique ,et programmation (120 mn environ)

L'objectif de ce problème est l'étude d'un cas particulier, de complexité 
polynomiale, du problème de la
satisfiabilité ; ce sujet ne sera abordé que dans la seconde partie. La 
première partie introduit un algorithme de

graphes qui sera utilisé par la suite.

Préliminaire concernant la programmation : il faudra écrire des fonctions ou 
des procédures à l'aide d'un
langage de programmation qui pourra être soit Caml, soit Pascal, tout autre 
langage étant exclu. Indiquer en
début de problème le langage de programmation choisi ; il est interdit de 
modifier ce choix au cours de
l'épreuve. Certaines questions du problème sont formulées différemment selon le 
langage de programmation;
cela est indiqué chaque fois que c'est nécessaire. Par ailleurs, lorsqu'un 
candidat ou une candidate écrira une
fonction ou une procédure en langage de programmation, il ou elle précisera si 
nécessaire le rôle des variables
locales et pourra définir des fonctions ou procédures auxiliaires qu'il ou elle 
explicitera. Enfin, lorsque le
candidat ou la candidate écrira une fonction ou une procédure, il ou elle 
pourra faire appel à une autre fonction

ou procédure définie dans les questions précédentes.
Dans l'énoncé du problème, un même identificateur écrit dans deux polices de 
caractères différentes désignera la

même entité mais du point de vue mathématique pour une police (en italique) et 
du point de vue informatique
pour l'autre (en romain) ; par exemple, G sera la représentation informatique 
du graphe G.

Définitions et notations concernant les graphes

. Un graphe orienté G est composé d'un ensemble fini d'éléments appelés sommets 
et d'une liste de couples
de sommets, chacun de ces couples étant appelé arc ; dans ce problème, en 
notant n le nombre de sommets
de G, l'ensemble des sommets sera toujours {O, 1, ..., n -- l}.

0 Si x et y sont deux sommets d'un graphe G et que (x, y) est un arc de G, on 
dira que y est un fils de x (on dit
aussi que y est un successeur de x).

- Si x et y sont deux sommets d'un graphe G, on appelle chemin de x à y une 
suite de sommets xo, xl, ..., x,,
(p 2 0) avec xo = x, xp = y et, pour tout i vérifiant 1 S i .<. p, (x,--_ ;, x,--) est un arc de G ; on dit alors que y est un descendant de x ; on remarque qu'un sommet est descendant de lui--même. - Une représentation graphique d'un graphe G consiste à associer à chaque sommet de G un cercle contenant -- le numéro du sommet et à tracer des flèches du cercle représentant un sommet aux cercles correspondant à ses fils. Exemple introductif : un graphe (nommé Gex) et une représentation de Gex On considère le graphe Gex à 7 sommets, représenté ci--contre, dont l'ensemble des sommets est donc {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. °." ° Les arcs de ce graphe sont : (O, 5), (5, O), (4, O), (4, 1), (5, 1), (1, 0),(1, 2), (2, 6)- Le sommet 0 a pour fils le sommet 5. @ Le sommet 1 a pour fils les sommets 0 et 2. Le sommet 2 a pour fils le sommet 6. Le sommet 3 n'a pas de fils. Le sommet 4 a pour fils les sommets 0 et 1. ° ° ° Le sommet 5 a pour fils les sommets 0 et l. Le sommet 6 n'a pas de fils. Le graphe Gex Indications pour la programmation Caml : On définit les types suivants : type Graphe : {nb_sommets : int; fils : int list vect};; type Clause : {a : int; b : int};; type Formule : {nb_var : int; clauses : Clause list};; Ces trois types sont des types enregistrements (aussi appelés types produits). Une valeur de type enregistrement contient des champs. On peut accéder à un champ d'une valeur de type enregistrement en faisant suivre le nom de cette valeur d'un point puis du nom du champ considéré. Par exemple, si G est de type Graphe, G contient les champs nb_s ommets et fils, auxquels on accède par G . nb_sommets et G . fils. Pour une valeur G de type Graphe, le champ G . nb_sommets est égal au nombre de sommets de G, le champ G . fils est un tableau (aussi appelé vecteur) de longueur G.nb_sommets et, pour un entier 5 vérifiant 0 S s 5 G.nb_sommets -- 1, G.fils. (s) est la liste des fils du sommet s. Le graphe Gex de l'exemple introductif est défini par : let Gex = {nb_sonmets = 7: fils = [HS]; [0:2]: [6]; []: [0:1]; [0:l]; [ll]l:: Fin des indications pour Caml Pascal : Dans tout le problème, on supposera qu'on écrit les différentes fonctions dans un fichier contenant les définitions suivantes : const MAX : 200; MAX_CLAUSES = 100: type Table : RECORD nb : Integer; val : array[0 .. MAX -- 1] of Integer; end; type Graphe : RECORD nb_sommets : Integer; fils : array [O .. MAX -- 1] of Table; end; type Clause : RECORD a, b : Integer; end; type Formule = RECORD nb_var : Integer; nb_clauses : Integer; clauses : array[0 .. MAX_CLAUSES -- 1] of Clause; end; type Valeurs = array[0 .. MAX -- 1] of Boolean; On supposera que les graphes traités n'ont jamais plus de MAX sommets. Les types Table, Graphe, Clause et Formule sont des types pour des enregistrements (RECORD). Un enregistrement contient des champs (quelquefois aussi appelés des membres); par exemple, une variable de type Graphe contient les champs nb_sommets et fils ; on peut accéder à un champ d'une variable de type enregistrement en faisant suivre le nom de cette variable d'un point puis du nom du champ considéré, comme on le voit dans la définition de Gex ci--dessous. Les variables de type enregistrement se manipulent comme toute autre variable : on peut définir des variables de type enregistrement, on peut affecter à une variable de type enregistrement la valeur d'une autre variable du même type, les variables de type enregistrement peuvent servir de paramètres à des fonctions ou procédures et peuvent être renvoyées par des fonctions. Lorsqu'on a affaire à une variable T de type Table, le tableau T . val sert à contenir un ensemble de données entières et on convient que le champ T . nb indique toujours le nombre de données de cet ensemble ; on a toujours T . nb < MAX et les données contenues dans T . val se trouvent toujours dans les cases indicées de 0 à T . nb -- l. Pour une variable G de type Graphe, le champ G . nb_sommets est égal au nombre de sommets de G et, pOur un entier s vérifiant 0 S s 5 G . nb_sommets -- 1, la table G. fils [5] contient les fils du sommet s : leur nombre est dans G. fils [5] .nb et leurs numéros dans le tableau G . fils [5] .val. Ainsi, le graphe Gex de l'exemple introductif est défini par : Gex.nb_sommets := 7; Gex.fils[0].nb := l; Gex.fils[0].val[0] : Gex.fils[1].nb := 2; Gex.fils[l].val[0] : Gex.fils[l].val[l] . Gex.fils[2].nb := l; Gex.fils[2].val[0] : Gex.fils[3].nb := O; Gex.fils[4].nb := 2; Gex.fils[4].val[0] - Gex.fils[4].val[l] . Gex.fils[5].nb := 2; Gex.fils[5].val[0] - Gex.fils[5].val[l] . Gex.fils[6].nb := 0; Fin des indications pour Pascal Il U1 Il Il NO II || || H 0 Ch II Il HO PREMIÈRE PARTIE Descendants d'un sommet d'un graphe orienté Il s'agit dans cette partie d'étudier un algorithme, nommé ici calcuI_descendants, qui permet de déterminer les descendants d'un sommet dans un graphe donné. À titre d'exemples, remarquons que, dans le graphe Gex de l'exemple introductif, les descendants du sommet 0 sont les sommets O, 1, 2, 5 et 6, les descendants du sommet 4 sont tous les sommets sauf le sommet 3, le sommet 2 a pour descendants les sommets 2 et 6, les sommets 3 et 6 n'ont pour descendants qu'eux--mêmes. Considérons un graphe G ayant n sommets et considérons un sommet r (0 5 r 5 n -- l) de ce graphe. On suppose qu'on cherche les descendants du soumet r. Le principe de l'algorithme calcul_descendants est de « marquer » de proche en proche tous les descendants du sommet r, en commençant par le sommet r lui--même. Le marquage des descendants de r utilise un algorithme récursif appelé marquage décrit ci--dessous : - Marquage de G à partir de s - marquer s ; 0 pour tout fils non marqué t de s, eflectuer « Marquage de G à partir de t ». Pour effectuer dans G l'algorithme calcul_descendants à partir de r, on part d'une situation dans laquelle aucun sommet n'est marqué puis on effectue « Marquage de G à partir de r ». Après l'application de cet algorithme, les sommets marqués sont les descendants du sommet r. [I 11 -- Appliquer l'algorithme ci--dessus au graphe Gex à partir du sommet 1 en détaillant toutes les opérations de l'algorithme. Cl 12 ---- Il s'agit de programmer le calcul des descendants d'un sommet r donné dans un graphe G donné. On utilisera pour cela un tableau de variables booléennes nommé marques et destiné à contenir les « marques » des sommets. Plus précisément, après le déroulement de l'algorithme, si 3 est un sommet du graphe, la case d'indice s du tableau marques contiendra la valeur vrai (c'est--à--dire true pour le langage de programmation) si et seulement si le sommet s est descendant de r; sinon, cette case contiendra la valeur faux (c'est--à--dire false pour le langage de programmation). Pour répondre à la question ci-dessous, on sera amené à écrire aussi, en langage de programmation, une fonction récursive nommée marquage correspondant à l'algorithme décrit plus haut. Caml: Écrire en Caml une fonction calcul_descendants telle que, si G est une valeur de type Graphe et r un entier représentant un sommet du graphe, calcul_descendants G r renvoie le tableau marques contenant les marques des sommets indiquant les descendants de r. Pascal : Écrire en Pascal une fonction calcu1_descendants telle que, si G est une variable de type Graphe et r un entier représentant un sommet du graphe, calcul_descendants (G, r) renvoie le tableau marques, de type Valeurs, contenant les marques des sommets indiquant les descendants de r. E] 13 ---- Prouver l'exactitude de l'algorithme calcul_descendants, c'est--à--dire que les sommets marqués après l'exécution de l'algorithme sont bien exactement les descendants de r. D 14 --- Indiquer la complexité dans le pire des cas de l'algorithme calcul_descendants. Cette complexité sera exprimée à l'aide du nombre n de sommets et du nombre m d'arcs du graphe G. On justifiera brièvement la réponse. SECONDE PARTIE Un problème de satisfiabiüté On appelle variable booléenne une variable qui ne peut prendre que les valeurs vrai ou faux. Si x est une variable booléenne, on appelle complémenté de x et on note x la négation de x qui vaut vrai si x vaut faux et inversement. On appelle littéral une variable booléenne ou son complémenté. Pour un littéral a = 35 , où x est une variable booléenne, on définit le complémenté & de a comme étant égal à x. On a ainsi défini le complémenté de tout littéral. On appelle clause une disjonction de littéraux et longueur d 'une clause le nombre des littéraux qui composent cette clause. On appelle formule logique sous forme normale conjonctive une conjonction de clauses. Dans ce problème, on s'intéresse aux formules logiques sous forme normale conjonctive pour lesquelles toutes les clauses sont de longueur 2. On dira qu'une telle formule est sous forme NC2. Lorsqu'on considérera une formule logique, on supposera que les littéraux d'une même clause sont différents et que toutes les clauses sont différentes. Une formule logique est dite satisfiable s'il existe une façon d'attribuer des valeurs aux variables booléennes telle que la formule soit évaluée à vrai. On représente le « ou logique » (disjonction) par le symbole v et le « et logique » (conjonction) par le symbole A. D 15 --- Étant données trois variables booléennes x, y et 2, on considère la formule : F.=(xvy)A(x VZ)A(} VZ)A(ÏVE). « - F , est--elle satisfiable ? Justifier votre réponse. 13 16 ---- Étant données quatre variables booléennes x, y, z et t, on considère la formule : F2 = (xvy)A(î vz)A(ÿ v E)A(tv E)A(y v ?)A(xv 37). F 2 est--elle satisfiable '? Justifier votre réponse. On s'intéresse à l'histoire ci--dessous. Quatre personnes, nommées X, Y, Z et T, peuvent être chacune soit fiable, soit non fiable : une personne fiable dit toujours la vérité ; une personne non fiable peut dire la vérité ou mentir. Chacune de ces personnes sait si les autres sont fiables ou non. 0 La personne X dit : Z est fiable. . La personne Y dit : Z est non fiable, T est fiable. . La personne Z dit : Y est fiable, T est fiable. . La personne T dit :X est non fiable, Y est fiable. Par ailleurs, on sait que : - X est fiable ou Y est fiable ouX et Ysont fiables. . Z est fiable ou T est fiable ou Z et T sont fiables. On définit quatre variables booléennes ; la variable booléenne x (resp. y, z, t) vaut vrai si X (resp. Y, Z, T) est fiable et faux si X (resp. Y, Z, T) n'est pas fiable. D 17 -- Exprimer, à l'aide des variables x, y, z, t et de leurs complémentés, sous forme NC2, les renseignements dont on dispose sur la fiabilité ou la non-fiabilité des quatre personnes X, Y, Z et T. Cl 18 --- Déterminer les personnes fiables et les personnes non fiables. On prouvera le résultat. On va désormais numéroter à partir de 0 les variables booléennes d'une formule. Ainsi, si les variables sont x, y et 2, on associe à x le numéro 0, à y le numéro 1 et à z le numéro 2. Par ailleurs, s'il y a p variables booléennes, on numérote les complémentés des variables à partir de p en respectant l'ordre choisi pour numéroter les variables ; avec l'exemple précédent, comme p vaut 3, on numérote x avec le numéro 3, y avec le numéro 4 et z avec le numéro 5. Pour alléger les explications, on identifie désormais un littéral avec son numéro. D 19 ---- On considère un entier compris entre 0 et 2p ---- 1 identifiant un littéral ad'une formule dépendant de p variables booléennes. Il s'agit d'écrire une fonction, nommée barre, qui calcule le numéro du complémenté de 04 Par exemple, si la formule possède trois variables, barre(0) doit valoir 3 et barre(5) doit valoir 2. Caml : Écrire en Caml une fonction barre telle que si alpha est le numéro d'un littéral d'une formule dépendant de p variables, barre alpha p donne le numéro du complémenté de ce littéral. Pascal: Écrire en Pascal une fonction barre telle que si alpha est le numéro d'un littéral d'une formule dépendant de p variables, barre (alpha , p) donne le numéro du complémenté de ce littéral. À partir d'une formule logique F sous forme NC2, on construit un graphe orienté G(F). Si la formule dépend de p variables, le graphe possède 2p sommets, les sommets O, 1, 2, ..., 2p -- 1, correspondant à ces variables et à leurs complémentés. À chaque clause av ,5, où aet ,B sont des littéraux, on fait correspondre deux ares de G(F) : unde a versfletunde fl vers a D 20 -- On considère la formule : © ' © © F. = (xvy)A(î VZ)A(} vz)A(î v 2). Cette formule possède trois variables. On identifie xà0,yàl,zà2, x à3, yà4, zà5.Dessinerle graphe G(F,) associé à F . en disposant les sommets comme ci--contre. @ @ @ Indications pour Caml Une formule logique sous forme NC2 sera représentée par une valeur de type Formule; ainsi la formule (x v y) A (; v z) A (; v 2) A (; v ?) sera définie de la façon suivante : {nb_var=3; clauses : [{a=0;b=l}; {a=3;b=2}; {a=4;b=2}; {a=3;b=5}]};; Le premier champ indique le nombre de variables, le second champ indique la liste des clauses. Fin des indications pour Caml Indications pour Pascal Une formule logique sous forme NC2 sera représentée par une variable de type Formule; si la variable utilisée pour coder la formule (x v y) A (3:-- v 2) A (; v 2) A (; v ?) s'appelle F, la formule est définie par les instructions suivantes : F.nb_var := 3; .nb_clauses := 4; .clauses[0]. = .clauses[0]. .clauses[l]. .clauses[l]. .clauses[2]. .clauses[2]. .clauses[3]. .clauses[3]. Le champ nb_var indique le nombre des variables booléennes et le champ nb_clauses le nombre de clauses. Le champ clauses est un tableau de variables de type Clause qui décrit les clauses. On supposera que le nombre de variables booléennes ne dépasse pas la moitié de la constante MAX et que le nombre de clauses ne dépasse pas la constante MAX_CLAUSES. Fin des indications pour Pascal . I Il" U"lWNJ>NLül--*O

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D 21 -- Il s'agit d'écrire une fonction nommée transformer qui reçoit en 
paramètre une formule logique F
sous forme NC2 et qui construit G(F).

Caml : Écrire en Caml une fonction transformer telle que, si F est une valeur 
de type Formule, alors
trans former F renvoie une valeur de type Graphe correspondant au graphe G(F) 
décrit plus haut.

Pascal : Écrire en Pascal une fonction transformer telle que, si F est une 
variable de type Formule, alors
trans former (F) renvoie une valeur de type Graphe correspondant au graphe G(F) 
décrit plus haut.

CI 22 -- Indiquer la complexité de la fonction transformer définie 
précédemment. On exprimera cette
complexité en fonction du nombre p de variables et du nombre q de clauses de la 
formule F à laquelle est

appliquée la fonction transformer.

D 23 -- Par la suite, il sera utile de pouvoir retirer d'une formule logique F 
sous forme NC2 toutes les

clauses contenant un littéral donné a ou son complémenté. Dans la formule F ' 
ainsi obtenue, une ou
plusieurs variables ne figureront plus. Néanmoins, on considère que toutes les 
variables de F sont aussi
variables de F ', n'imposant donc pas que toutes les variables d'une formule 
figurent effectivement. Par

exemple, si de F1 = (x v y) A (; v z) A (; v z) A (; v ? ), formule contenant 
trois variables, on décide
de retirer le littéral ; ou son complémenté, on obtient F '1 = (} v z) et on 
considère encore que F ',

dépend de trois variables, et les entiers correspondant aux variables restantes 
sont inchangés (à ;
correspond toujours le numéro 4 et à z le numéro 2).

Caml: Écrire en Caml une fonction retirer qui, si F est une valeur de type 
Formule ayant

F . nb_var variables et si alpha est un entier compris entre 0 et 2> fl ».

CI 26 -- Étant donnée une formule logique F sous forme NC2, montrer que, s'il 
existe un chemin de aà ,6
dans le graphe G(F), alors il existe aussi un chemin de ? à 5 dans G(F).

D 27 -- Étant donnée une formule logique F sous forme NC2, que peut--on dire de 
la formule F s'il existe
dans le graphe G(F) àla fois un chemin de a à a et un chemin de 5 à a?

D 28 -- Étant donnés une formule logique F sous forme NC2 et deux littéraux a 
et fi de F, montrer que
s'il n'existe pas de chemin de a à 67 dans le graphe G(F), alors ,6 et _,5_ ne 
sont pas tous les deux

descendants de adans G(F).

Cl 29 -- Soit F une formule logique sous forme NC2. On considère un littéral a 
tel qu'il n'existe pas de
chemin de a à ?! dans le graphe G(F). On note F ' la formule obtenue à partir 
de F en retirant toutes les
clauses contenant un littéral descendant de adam G(F) ou bien le complémenté 
d'un de ces descendants;

on retire donc en particulier les clauses contenant aou a. Montrer que F est 
satisfiable si et seulement si

F' l'est. En supposant que F ' est satisfiable, indiquer, à l'aide des valeurs 
des variables figurant dans F '
qui donnent la valeur vrai à F ', des valeurs des variables figurant dans F qui 
donnent la valeur vrai à F.

D 30 -- Soit F une formule logique sous forme NC2. Montrer que, si pour tout 
littéral a de F, il n'existe
pas dans le graphe G(F) àla fois un chemin de a à Eet un chemin de "& à a, 
alors F est satisfiable.

D 31 -- Soit F une formule logique sous forme NC2. Décrire un algorithme 
s'appuyant sur les questions
précédentes permettant de savoir si F est ou non satisfiable et qui, dans le 
cas où F est satisfiable, calcule
des valeurs des variables pour lesquelles F vaut vrai. On utilisera une 
fonction récursive et on indiquera
pourquoi le calcul se termine. On ne justifiera pas ici cet algorithme.

D 32 --- Il s'agit de programmer l'algorithme, nommé satisflable, décrit dans 
la question D 31.

Caml : Écrire en Caml une fonction satisfiable telle que si :
° F est une valeur de type Formule,
0 solution est un tableau pour 2 x F . nb_var variables booléennes,

alors satisfiable F solution
. renvoie une valeur booléenne indiquant si la formule F décrite par F est ou 
non satisfiable,

. si F est satisfiable, remplit le tableau solution pour qu'il contienne, après 
exécution de la
fonction, les valeurs des littéraux pour des valeurs des variables donnant la 
valeur vrai à F.

Pascal : Écrire en Pascal une fonction satisf iable telle que si :
0 F est une valeur de type Formule,

0 solution est un tableau de type Valeurs,
alors satisfiable (F, solution)
. renvoie une valeur booléenne indiquant si la formule F décrite par F est ou 
non satisfiable,

. si F est satisfiable, remplit le tableau solution pour qu'il contienne, après 
exécution de la
fonction, les valeurs des littéraux pour des valeurs des variables donnant la 
valeur vrai à F.

D 33 -- Indiquer la complexité dans le pire des cas de l'algorithme safisfiable 
définie précédemment. On
exprimera cette complexité en fonction du nombre p de variables et du nombre q 
de clauses de la formule .

F à laquelle est appliquée la fonction safisflabIe.

FIN DU PROBLÈME D'ALGOIHTHMIQUE, LOGIQUE ET PROGRAMMA TION