Mines Informatique MP 2010

Épreuve d'informatique 2010
A 2010 INFO. MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2010
ÉPREUVE D'INFORMATIQUE
Filière MP
Durée de l'épreuve : 3 heures.
L'usage de calculettes est autorisé. L'utilisation d'un ordinateur est 
interdite.
Sujet mis à disposition des concours : ENSAE ParisTech, TELECOM SudParis (ex 
INT), TPE-EIVP

L'énoncé de cette épreuve comporte 11 pages.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
INFORMATIQUE - MP

Recommandations aux candidats
· Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
· Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures
même s'il n'a pas été démontré.
· Il ne faut pas hésiter à formuler les commentaires qui semblent pertinents 
même
lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement.

Composition de l'épreuve
L'épreuve comporte un seul problème

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Épreuve d'informatique 2010

Le problème de la satisfiabilité logique
Préliminaire concernant la programmation : il faudra écrire des fonctions ou des
procédures à l'aide d'un langage de programmation qui pourra être soit Caml, 
soit Pascal,
tout autre langage étant exclu. Indiquer en début de problème le langage de
programmation choisi ; il est interdit de modifier ce choix au cours de 
l'épreuve.
Certaines questions du problème sont formulées différemment selon le langage de
programmation ; cela est indiqué chaque fois que nécessaire. Par ailleurs, pour 
écrire une
fonction ou une procédure en langage de programmation, le candidat pourra 
définir des
fonctions ou des procédures auxiliaires qu'il explicitera ou faire appel à 
d'autres fonctions ou
procédures définies dans les questions précédentes.
Dans l'énoncé du problème, un même identificateur écrit dans deux polices de
caractères différentes désigne la même entité, mais du point de vue 
mathématique pour la
police écrite en italique (par exemple : F) et du point de vue informatique 
pour celle écrite en
romain (par exemple : F).
On appelle variable booléenne une variable qui ne peut prendre que les valeurs 0
(synonyme de faux) ou 1 (synonyme de vrai). Si x est une variable booléenne, on 
appelle
complémenté de x et on note x la négation de x : x vaut 1 si x vaut 0 et x vaut 
0 si x vaut 1.
On appelle littéral une variable booléenne ou son complémenté. Pour un littéral
 = x , où x est une variable booléenne, on définit le complémenté  de  comme 
étant égal
à x. On a ainsi défini le complémenté de tout littéral.
On représente la disjonction (« ou » logique ) par le symbole  et la conjonction
(« et » logique) par le symbole .
On appelle clause une disjonction de littéraux et longueur d'une clause le 
nombre des
littéraux qui composent cette clause. La longueur d'une clause doit être 
toujours au moins
égale à 1.
On appelle formule logique sous forme normale conjonctive une conjonction de
clauses ; chacune de ces clauses est dite appartenir à la formule logique. Dans 
tout le
problème, quand on utilisera l'expression formule logique, il s'agira d'une 
formule
logique sous forme normale conjonctive. On ne suppose pas que toutes les 
clauses d'une
formule logique sont distinctes.
Dans tout le problème, les littéraux d'une même clause sont différents et une 
clause
ne contient pas à la fois une variable et le complémenté de celle-ci : si une 
clause contient
le littéral , elle ne contient pas une deuxième fois  et elle ne contient pas  
. Dans les
algorithmes qui seront à écrire, on fera en sorte que cette propriété soit 
toujours vérifiée. En
conséquence, la longueur d'une clause d'une formule logique n'est jamais 
supérieure au
nombre total de variables de la formule logique considérée.
On appelle valuation des variables d'une formule logique une application de
l'ensemble de ces variables dans l'ensemble {0, 1}. Une clause vaut 1 si au 
moins un de ses
littéraux vaut 1 et 0 sinon. Une clause est dite satisfaite par une valuation 
des variables si elle
vaut 1 pour cette valuation. Une formule logique vaut 1 si toutes ses clauses 
valent 1 et 0
sinon. Une formule logique est dite satisfaite par une valuation des variables 
si elle vaut 1
pour cette valuation. Une formule logique est dite satisfiable s'il existe une 
valuation de ses
variables qui la satisfait. Si une formule logique est satisfiable, on appelle 
alors solution de
cette formule logique toute valuation des variables qui la satisfait. Par 
exemple, la formule
logique :
(x  y  z)  ( x  z)  ( y  z )
est satisfiable et elle est satisfaite par la solution x = 1, y = 0 et z = 1.
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Épreuve d'informatique 2010
Comme pour une variable booléenne, la valeur 0 est synonyme de faux et la 
valeur 1
est synonyme de vrai pour un littéral, une clause ou une formule logique.
Une formule logique qui n'aurait aucune clause est dite vide et considérée comme
toujours satisfaite.
Étant donnée une formule logique F, on note dans ce problème max(F) le nombre
maximum de clauses de F pouvant être satisfaites par une même valuation ; en 
notant m le
nombre de clauses de F, on remarque que F est satisfiable si et seulement si 
max(F) = m.

Première partie : introduction
Pour les deux premières questions de ce problème, on considère trois personnes
nommées X, Y et Z et on s'intéresse au fait qu'elles portent ou non un chapeau. 
On considère
les propositions suivantes :
a) au moins une des personnes porte un chapeau ;
b) au moins une des personnes ne porte pas de chapeau ;
c) si X porte un chapeau, ni Y ni Z n'en portent ;
d) si Y porte un chapeau, au moins une personne parmi X ou Z en porte un.
On définit des variables booléennes x, y et z qui valent 1 si, respectivement, 
X, Y et Z
portent un chapeau et 0 sinon.
 1 ­ Exprimer chacune des propositions a), b), c) et d) comme une formule 
logique
(on rappelle que l'expression « formule logique » signifie « formule logique 
sous
forme normale conjonctive ») exprimée avec les variables x, y et z.
 2 ­ Écrire une formule logique exprimant le fait que les propositions a), b), 
c) et d)
doivent être satisfaites simultanément. Indiquer si cette formule logique est 
satisfiable
ou non et, si elle est satisfiable, donner l'ensemble des solutions pour cette 
formule
logique. On prouvera la réponse.
On considère maintenant la formule logique F1 dépendant de quatre variables x, 
y, z et t :
F1 = (x  y  z)  ( x  z  t )  (x  y  z ) 
(x  y  t )  ( x  z  t )  ( x  t)  (x  y  z).
 3 ­ Indiquer si F1 est satisfiable ou non et, si elle est satisfiable, donner 
l'ensemble
des solutions de F1. On prouvera la réponse.
On considère une formule logique F définie sur n variables booléennes et dont 
toutes
les clauses sont de longueur 3 ; on dit alors qu'il s'agit d'une instance de 
3-SAT ; on note m
le nombre de clauses dont F est la conjonction.
 4 ­ Déterminer une instance F2 de 3-SAT non satisfiable et possédant exactement
8 clauses ; indiquer max(F2) en justifiant la réponse.
On considère une instance F de 3-SAT définie sur n variables booléennes. On 
note V
l'ensemble des 2n valuations des variables de F. Soit val une valuation des n 
variables ; si C
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Épreuve d'informatique 2010
est une clause, on note  (C , val ) la valeur de C pour la valuation val ; on 
note  ( F , val ) le
nombre de clauses de F qui valent 1 pour la valuation val. On a :  ( F , val ) =

 (C , val )
C , clause de F

et max(F) = max  (F , val ) .
val V

 5 ­ On considère une clause C de F ; indiquer en fonction de n la valeur de la
somme :   (C , val ) .
valV

 6 ­ En considérant la somme

 (C , val ) , indiquer en fonction de m un

C , clause de F val V

minorant de max(F).

 7 ­ Donner le nombre minimum de clauses d'une instance de 3-SAT non
satisfiable.
Indications pour la programmation, à lire avec attention
On va désormais numéroter à partir de 1 les variables booléennes d'une formule 
logique.
Ainsi, si les variables sont x, y et z, on associe à x le numéro 1, à y le 
numéro 2 et à z le
numéro 3. Par ailleurs, on numérote le complémenté d'une variable avec l'opposé 
du numéro
associé à celle-ci ; ainsi, avec l'exemple ci-dessus, au littéral x , on 
associe le numéro ­1, au
littéral y , on associe le numéro ­2, au littéral z , on associe le numéro ­3. 
Pour alléger les
explications, on identifie désormais un littéral avec son numéro.
Le mot tableau utilisé plus bas est synonyme de ce qu'on appelle vecteur en 
Caml.
Pour coder une valuation d'un ensemble de n variables booléennes, on utilise un 
tableau d'au
moins n + 1 entiers indicé à partir de 0 ; pour i compris entre 1 et n, la case 
d'indice i donne la
valeur de la variable de numéro i (valeur qui vaut soit 0, soit 1, ou 
éventuellement une valeur
quelconque si la valeur de la variable correspondante n'est pas spécifiée). La 
case d'indice 0
n'est pour l'instant pas utilisée.
Pour coder une clause de longueur p, on utilise un tableau d'au moins p + 1 
entiers indicé à
partir de 0 ; pour i compris entre 1 et p, la case d'indice i contient le 
numéro du littéral qui se
trouve en position i dans la clause. La case d'indice 0 de ce tableau indique 
la longueur de la
clause. Ainsi, si les variables sont x, y, z et t, numérotées respectivement 
par 1, 2, 3 et 4, la
clause (x  t  y) est codé par un tableau représenté ci-dessous :
Indice
Numéro

0
3

1
1

2
­4

3
2

Pour coder une formule logique, on utilise un tableau de tableaux d'entiers 
indicés par (i, j) où
les indices i et j sont supérieurs ou égaux à 0 ; pour i supérieur ou égal à 1, 
la ligne d'indice i
décrit la ie clause de la formule logique. On utilise deux cases de la ligne 
d'indice 0 : la case
d'indice (0, 0) contient le nombre de clauses de la formule logique et la case 
d'indice
(0, 1) contient le nombre total de variables. Ainsi, la formule logique :
F3 = (x  y  z  t)  ( x  z )  (x  t  y)
est codée par le tableau ci-dessous. Dans ce tableau, les cases contenant des 
pointillés existent
ou non ; si elles existent, leurs valeurs n'ont pas d'importance :

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Épreuve d'informatique 2010
j

i
0
1
2
3

0

1

2

3

4

3
4
2
3

4
1
­1
1

...
­2
­3
­4

...
3
...
2

...
4
...
...

Indications pour Caml
En Caml, la formule logique F3 peut être définie comme ci-dessous par le 
vecteur de vecteurs
F3 :
let F3 = [|[|3;4|];[|4;1;-2;3;4|];[|2;-1;-3|];[|3;1;-4;2|]|];;
Soit F un vecteur de vecteurs définissant une formule logique F et soient i et 
j deux entiers
compris entre 1 et F.(0).(0) ; le vecteur F.(i)définit la ie clause de F ; dans 
un calcul
de complexité, on considérera l'instruction F.(i) <- F.(j) comme une seule opération élémentaire. Fin des indications pour Caml Indications pour Pascal On définit les constantes et les types ci-dessous : CONST MAX_VAR = 10; MAX_CLAUSES = 100; type Valuation = array [0 .. MAX_VAR] of Integer; type Clause = array [0 .. MAX_VAR] of Integer; type Formule = array [0 .. MAX_CLAUSES] of Clause; La constante MAX_VAR indique le nombre maximum de variables d'une formule logique. La constante MAX_CLAUSES indique le nombre maximum de clauses d'une formule logique. Dans ce problème, on ne se préoccupera pas d'un éventuel débordement de ces tableaux. La formule logique F3 peut être codée avec une variable F3 de type Formule par : F3[0][0]:=3; F3[0][1]:=4; F3[1][0]:=4; F3[1][1]:=1; F3[1][2]:=-2; F3[1][3]:=3; F3[1][4]:=4; F3[2][0]:=2; F3[2][1]:=-1; F3[2][2]:=-3; F3[3][0]:=3; F3[3][1]:=1; F3[3][2]:=-4; F3[3][3]:=2; Soit F un tableau de type Formule définissant une formule logique F et soient i et j deux entiers compris entre 1 et F[0][0] ; le tableau F[i] définit la ie clause de F ; dans un calcul de complexité, on considérera l'instruction F[i] := F[j] comme une seule opération élémentaire. Fin des indications pour Pascal Page 5 sur 11 Épreuve d'informatique 2010 Deuxième partie : satisfiabilité, méthode exacte 8 ­ La fonction valeur_clause. Caml : Écrire en Caml une fonction valeur_clause telle que, si C est un vecteur d'entiers codant une clause C et si val est un vecteur codant une valuation val d'un ensemble de variables contenant les variables de C, alors valeur_clause C val donne la valeur de C (c'est-à-dire 0 ou 1) pour la valuation val. Indiquer la complexité de la fonction valeur_clause. Pascal : Écrire en Pascal une fonction valeur_clause telle que, si C, de type Clause, code une clause C et si val, de type Valuation, code une valuation val d'un ensemble de variables contenant les variables de C, alors valeur_clause(C, val) donne la valeur de la clause C (c'est-à-dire 0 ou 1) pour la valuation val. Indiquer la complexité de la fonction valeur_clause. 9 ­ La fonction satisfait_formule. Caml : Écrire en Caml une fonction satisfait_formule telle que, si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique F et si val est un vecteur codant une valuation val de l'ensemble des variables de F, alors satisfait_formule F val vaut true si val satisfait F et false sinon. Indiquer la complexité de la fonction satisfait_formule. Pascal : Écrire en Pascal une fonction satisfait_formule telle que, si F, de type Formule, code une formule logique F et si val, de type Valuation, code une valuation val de l'ensemble des variables de F, alors satisfait_formule(F, val) vaut true si val satisfait F et false sinon. Indiquer la complexité de la fonction satisfait_formule. 10 ­ La fonction resoudre_rec. On considère une formule logique F et un nombre k compris entre 0 et le nombre total de variables de F. Pour i compris entre 1 et k, on fixe une valeur vi égale à 0 ou 1 pour la variable i (si k vaut 0, aucune variable n'a une valeur fixée). La fonction resoudre_rec détermine s'il existe une valuation val des variables telle que · pour i compris entre 1 et k, la valeur dans val de la variable i est vi, · val satisfait F. De plus, la fonction resoudre_rec dispose d'un tableau d'entiers destiné à coder une valuation des variables ; dans le cas où la valuation cherchée existe, la fonction modifie ce tableau pour qu'il code une telle valuation et elle renvoie alors la valeur 1 ; si la valuation cherchée n'existe pas, la fonction renvoie la valeur 0 sans avoir modifié les cases d'indices compris entre 1 et k. Caml : Écrire en Caml une fonction récursive resoudre_rec telle que, · si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique F, · si val est un vecteur d'entiers servant à coder une valuation, · si k est un entier compris entre 0 et le nombre de variables de F, Page 6 sur 11 Épreuve d'informatique 2010 · si le vecteur val contient soit 0, soit 1 dans les cases d'indices 1, 2, ..., k, alors resoudre_rec F val k modifie le vecteur val comme indiqué ci-dessus, en considérant que les valeurs des cases d'indices 1, 2, ..., k de ce vecteur sont les valeurs fixées v1, v2, ..., vk des variables 1, 2, ..., k ; la fonction renvoie true si la valuation cherchée existe et false sinon. Pascal : Écrire en Pascal une fonction récursive resoudre_rec telle que, · si F, de type Formule, code une formule logique F, · si val est de type Valuation, · si k est un entier compris entre 0 et le nombre de variables de F, · si le tableau val contient soit 0, soit 1 dans les cases d'indices 1, 2, ..., k, alors resoudre_rec(F, val, k) modifie le tableau val comme indiqué cidessus, en considérant que les valeurs des cases d'indices 1, 2, ..., k de ce tableau sont les valeurs fixées v1, v2, ..., vk des variables 1, 2, ..., k ; la fonction renvoie true si la valuation cherchée existe et false sinon. 11 ­ La fonction resoudre. La fonction resoudre prend en argument une formule logique F et renvoie un tableau d'entiers pouvant coder une valuation des variables de F. Si F est satisfiable, le tableau renvoyé code une solution de F et contient la valeur 1 dans la case d'indice 0 ; si F n'est pas satisfiable, le tableau contient la valeur 0 dans la case d'indice 0. Caml : Écrire en Caml une fonction resoudre telle que, si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique F, alors resoudre F renvoie un vecteur d'entiers correspondant au résultat de la fonction resoudre décrite ci-dessus. Pascal : Écrire en Pascal une fonction resoudre telle que, si F, de type Formule, code une formule logique F, alors resoudre(F) renvoie un tableau de type Valuation correspondant au résultat de la fonction resoudre décrite ci-dessus. 12 ­ Évaluer la complexité de la fonction resoudre appliquée à une formule logique F en fonction du nombre n de variables de F et de la somme des longueurs des clauses de F. Troisième partie : MAX-SAT Dans cette partie, on ne s'intéresse plus à savoir si une formule logique est satisfiable mais au calcul, pour une formule logique F, de max(F). On va définir une heuristique, c'est-à-dire une méthode qui ne donne pas nécessairement la valeur de max(F) mais une valeur approchée, qu'on souhaite proche de l'optimum : on calcule une valuation en choisissant une à une les variables et leurs valeurs. Plus précisément, soit F une formule logique ; étant donnée une variable  de F, on note diff(F, ) le nombre de fois où  figure dans F diminué du nombre de fois où  figure dans F ; l'heuristique utilise la transformation suivante : Page 7 sur 11 Épreuve d'informatique 2010 a) On calcule pour chaque variable  de F le nombre diff(F, ). b) Si p est un entier relatif, on note abs(p) la valeur absolue de p. On détermine une variable 0 de F telle que, pour toute variable  de F, on ait : abs(diff(F, 0))  abs(diff(F, )). c) On pose 0 = 1 si on a diff(F, 0) > 0 et 0 = 0 sinon.
d) On supprime la variable 0 de F en tenant compte de la valeur choisie de 
façon à ne
conserver que les clauses qui restent à satisfaire après le choix de la valeur 
de 0 ; on
comptabilise le nombre de clauses satisfaites. On obtient ainsi une formule 
logique
notée F qui est la formule transformée à partir de F.
Pour exécuter l'heuristique, on transforme la formule F comme décrit ci-dessus, 
puis on
transforme de même la formule F, puis on transforme la formule transformée à 
partir de F et
ainsi de suite jusqu'à obtenir une formule vide. On somme au fur et à mesure 
les nombres de
clauses satisfaites comptabilisés pendant chaque transformation ; le résultat 
de l'heuristique
est constitué de cette somme et d'une valuation correspondant aux choix 
effectués pendant les
transformations successives pour les valeurs des variables.
 13 ­ Appliquer l'heuristique à la formule F1 définie avant la question  3 ;
détailler les différentes étapes.
De façon à écrire l'heuristique en langage de programmation, on définit cinq 
fonctions
ou procédures dans les cinq questions suivantes.
 14 ­ La fonction place.
Caml : Écrire en Caml une fonction place telle que, si C est un vecteur codant 
une
clause C et si litt est un littéral, place C litt renvoie
· 0 si litt ne figure pas dans C,
· la position de litt dans C si litt figure dans C (valeur comprise entre 1 et 
le
nombre de littéraux de C).
Évaluer la complexité de la fonction place.
Pascal : Écrire en Pascal une fonction place telle que, si C, de type Clause, 
code
une clause C et si litt est un littéral, place(C, litt) renvoie
· 0 si litt ne figure pas dans C,
· la position de litt dans C si litt figure dans C (valeur comprise entre 1 et 
le
nombre de littéraux de C).
Évaluer la complexité de la fonction place.
 15 ­ La fonction ou procédure supprimer_variable.
Caml : Écrire en Caml une fonction supprimer_variable telle que, si C est un
vecteur codant une clause C et si i est un entier compris entre 1 et le nombre 
de
littéraux de C, alors supprimer_variable C i modifie C pour que C code la
clause obtenue en supprimant de la clause C le littéral d'indice i. La 
complexité de
cette fonction doit être de l'ordre d'une constante, et donc ne pas dépendre du 
nombre
de littéraux de la clause C ni de la valeur de i.
Pascal : Écrire en Pascal une procédure supprimer_variable telle que, si C, de
type Clause, code une clause C et si i est un entier compris entre 1 et le 
nombre de
littéraux de C, alors supprimer_variable(C, i) modifie C pour que C code la
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Épreuve d'informatique 2010
clause obtenue en supprimant de la clause C le littéral d'indice i. La 
complexité de
cette fonction doit être de l'ordre d'une constante, et donc ne pas dépendre du 
nombre
de littéraux de la clause C ni de la valeur de i.
 16 ­ La fonction ou procédure supprimer_clause.
Caml : Écrire en Caml une fonction supprimer_clause telle que, si F est un
vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique F et si i est un entier
compris entre 1 et le nombre de clauses de F, alors supprimer_clause F i
modifie F pour que F code la formule logique obtenue en supprimant la clause
d'indice i. La complexité de cette fonction doit être de l'ordre d'une 
constante, et
donc ne pas dépendre du nombre de clauses de la formule logique ni de la valeur 
de i.
Pascal : Écrire en Pascal une procédure supprimer_clause telle que, si F, de 
type
Formule, code une formule logique F et si i est un entier compris entre 1 et le
nombre de clauses de F, alors supprimer_clause(F, i) modifie F pour que F
code la formule logique obtenue en supprimant la clause d'indice i. La 
complexité de
cette fonction doit être de l'ordre d'une constante, et donc ne pas dépendre du 
nombre
de clauses de la formule logique ni de la valeur de i.
 17 ­ La fonction calculer_diff.
Caml : Écrire en Caml une fonction calculer_diff telle que, si F est un vecteur
de vecteurs d'entiers codant une formule logique F, alors calculer_diff F
renvoie un vecteur d'entiers donnant pour chaque variable  de F la valeur de
diff(F, ) décrite au-dessus de la question  13. En supposant que toutes les 
variables
(dont le nombre figure dans la case d'indice 1 de la ligne d'indice 0 de F) 
figurent
effectivement dans F directement ou par son complémenté, cette fonction doit 
avoir
une complexité de l'ordre de la somme des longueurs des clauses de F.
Pascal : Écrire en Pascal une fonction calculer_diff telle que, si F, de type
Formule, code une formule logique F, alors calculer_diff(F) renvoie un
tableau de type Valuation donnant pour chaque variable  de F la valeur de
diff(F, ) décrite au-dessus de la question  13. En supposant que toutes les 
variables
(dont le nombre figure dans la case d'indice 1 de la ligne d'indice 0 de F) 
figurent
effectivement dans F directement ou par son complémenté, cette fonction doit 
avoir
une complexité de l'ordre de la somme des longueurs des clauses de F.
 18 ­ La fonction simplifier.
On s'intéresse dans cette question à une transformation automatique d'une 
formule
logique F lorsqu'on pose qu'une variable  prend la valeur v. Cette 
transformation est
effectuée à l'aide d'une fonction nommée simplifier prenant F,  et v comme
arguments. Si v vaut 1, on note litt le littéral  et sinon on note litt le 
littéral  . Quand
 prend la valeur v, litt prend la valeur 1 et le complémenté de litt prend la 
valeur 0.
Les clauses contenant litt, prenant la valeur 1, sont supprimées de F. Pour 
chaque
clause contenant le complémenté de litt, on retire ce complémenté ; si une 
clause était
réduite au complémenté de litt, on supprime une telle clause. Les clauses qui ne
contiennent ni litt ni le complémenté de litt sont inchangées. La fonction 
simplifier
compte le nombre de clauses qui contenaient litt avant simplification et 
renvoie ce
nombre.
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Épreuve d'informatique 2010
Caml : Écrire en Caml la fonction simplifier telle que, si F est un vecteur de
vecteurs d'entiers codant une formule logique F, si alpha est un entier 
représentant
une variable  de F et si v vaut 0 ou 1, alors
simplifier F alpha v
transforme F pour que F code la formule logique obtenue à partir de F par la 
fonction
simplifier et renvoie le nombre de clauses de la formule logique F initiale qui
contenaient litt défini ci-dessus.
Évaluer la complexité de la fonction simplifier.
Pascal : Écrire en Pascal la fonction simplifier telle que, si F, de type 
Formule,
code une formule logique F, si alpha est un entier représentant une variable  
de F
et si v vaut 0 ou 1, alors
simplifier(F, alpha, v)
transforme F pour que F code la formule logique obtenue à partir de F par la 
fonction
simplifier et renvoie le nombre de clauses de la formule logique F initiale qui
contenaient litt défini ci-dessus.
Évaluer la complexité de la fonction simplifier.
 19 ­ La fonction heuristique.
Caml : Écrire en Caml une fonction heuristique telle que, si F est un vecteur de
vecteurs d'entiers codant une formule logique F, alors heuristique F renvoie un
vecteur d'entiers codant la valuation des variables résultant de l'heuristique 
décrite au
début de cette partie ; la case d'indice 0 de ce même vecteur devra contenir le 
nombre
de clauses satisfaites par la valuation déterminée par l'heuristique.
Évaluer la complexité de la fonction heuristique.
Pascal : Écrire en Pascal une fonction heuristique telle que, si F, de type
Formule, code une formule logique F, alors heuristique(F) renvoie un tableau
de type Valuation codant la valuation des variables résultant de l'heuristique
décrite au début de cette partie ; la case d'indice 0 de ce même tableau devra 
contenir
le nombre de clauses satisfaites par la valuation déterminée par l'heuristique.
Évaluer la complexité de la fonction heuristique.

Quatrième partie : étude d'un cas particulier
On revient au problème de la satisfiabilité. On s'intéresse dans cette partie à 
une formule
logique dans laquelle chaque littéral apparaît au plus une fois et dans 
laquelle toutes les
clauses sont de longueur au moins 2. On appelle dans ce problème formule 
logique 1-occ
une telle formule logique. Par exemple, la formule logique F4 ci-dessous, ayant 
six variables
x, y, z, t, u, v, est une formule logique 1-occ :
F4 = (x  y  z)  ( x  z  t)  ( y  v )  (u  v)  ( t  u )
On cherche à déterminer une solution d'une formule logique 1-occ.

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Épreuve d'informatique 2010
 20 ­ On considère une formule logique 1-occ qui s'écrit :
F = (x  l1  l2 ...  lk)  ( x  lk + 1  lk + 2  ...  lk + h)  G
avec k  1, h  1, où x est une variable, où l1, ... , lk + h sont des littéraux 
et où G est
une formule logique 1-occ éventuellement vide.
a) Montrer que si {l1, l2, ..., lk, lk + 1, lk + 2, ..., lk + h} contient à la 
fois une variable et
son complémenté, alors F est satisfiable si et seulement si G est satisfiable ; 
on dira
dans ce cas que F réduite par rapport à x donne la formule logique G.
b) On suppose que {l1, l2, ..., lk, lk + 1, lk + 2, ..., lk + h} ne contient 
jamais à la fois une
variable et son complémenté. Indiquer une formule logique 1-occ F ne contenant 
ni x
ni x telle que F est satisfiable si et seulement si F est satisfiable. On dira 
dans ce cas
que F réduite par rapport à x donne la formule logique F.
Remarque : on rappelle que, par définition dans ce problème, une clause ne 
contient
pas à la fois une variable et son complémenté et qu'une formule logique vide est
considérée comme toujours satisfaite.
 21 ­ Exemples de réduction
a) On considère la formule logique (x  y  z)  ( x  z  t)  ( y  t ) ; indiquer la
formule logique obtenue en réduisant celle-ci par rapport à x.
b) On considère la formule logique ( x  z  t)  ( t  u )  (z  u) ; indiquer la
formule logique obtenue en réduisant celle-ci par rapport à t.
 22 ­ Montrer que toute formule logique 1-occ est satisfiable.
 23 ­ Décrire sans utiliser le langage de programmation une fonction (ou une
procédure) récursive calculer_solution
· qui prend en paramètre une formule logique 1-occ F et un tableau val
permettant de coder une valuation des variables ;
· qui transforme le tableau val pour que, après exécution de la fonction (ou de 
la
procédure), val contienne une solution de F.
 24 ­ Appliquer la fonction (ou la procédure) calculer_solution décrite dans la
question précédente à la formule F4. Détailler chaque appel récursif.

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