X/ENS Informatique A MP 2018

ÉCOLE POLYTECHNIQUE -- ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2018

FILIÈRES

MP SPECIALITÉ INFO

COMPOSITION D'INFORMATIQUE ­ A ­ (XULCR)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le langage de programmation sera obligatoirement Caml Light.

Nombre chromatique et coloriage de graphe
Préliminaires
Complexité. Par complexité en temps d'un algorithme A, on entend le nombre d'opérations
élémentaires (comparaison, addition, soustraction, multiplication, division, affectation, test, etc.)
nécessaires à l'exécution de A dans le pire cas.
Lorsque la complexité en temps dépend d'un ou plusieurs paramètres 1 , . . . , r , on dit qu'elle
est en O(f (1 , . . . , r )) s'il existe une constante C > 0 telle que, pour toutes les valeurs de
1 , . . . , r suffisamment grandes (c'est-à-dire plus grandes qu'un certain seuil), la complexité est
au plus C × f (1 , . . . , r ).
On dit que la complexité en temps est linéaire quand f est une fonction linéaire des paramètres 1 , . . . , r , polynomiale quand f est une fonction polynomiale des paramètres 1 , . . . , r ,
et enfin exponentielle quand f = 2g , où g est une fonction polynomiale des paramètres
1 , . . . , r .
Les complexités (en temps) des algorithmes devront être justifiées.
Graphes. Rappelons qu'un graphe non-orienté est la donnée (S, A) de deux ensembles finis :
-- un ensemble S de sommets, et
-- un ensemble A  S×S d'arêtes, tel que pour tout couple de sommets (s, t), on a (s, t)  A
si et seulement si (t, s)  A.
Étant donné un graphe G = (S, A), le sous-graphe induit par un ensemble de sommets
T  S est (T, A  (T × T )).
Soit G = (S, A) un graphe et soit s  S un sommet de G. Un voisin de s est un sommet t
de G qui est relié à s par une arête, c'est-à-dire tel que (s, t)  A. On note V (s) l'ensemble des
voisins de s. Le degré d(s) de s est le cardinal de V (s). Le degré d(G) de G est le maximum
des degrés de ses sommets.
1

Figure 1 ­ Exemple de graphe colorié : le graphe des régions métropolitaines françaises (hors
Corse). Deux régions sont reliées par une arête dans le graphe si et seulement si elles sont voisines.
Deux régions voisines sont de couleurs différentes.
Un graphe est dit étiqueté lorsque l'on dispose d'une fonction, dite d'étiquetage, de l'ensemble de ses sommets vers un ensemble non-vide arbitraire, que l'on appelle ensemble des
étiquettes. Les étiquettes peuvent par exemple être des entiers, des listes ou des chaînes de
caractères.
On dit qu'une fonction d'étiquetage L est un coloriage des sommets de G = (S, A) lorsque
deux sommets voisins ont toujours deux étiquettes distinctes (alors appelées couleurs), c'est-àdire lorsque L vérifie la condition (1) suivante :
s, t  S,

(s, t)  A  L(s) 6= L(t).

(1)

Un graphe G est dit k-coloriable s'il admet un coloriage avec au plus k couleurs. Un graphe est
dit colorié s'il est k-coloriable pour un k > 0. Un exemple de graphe colorié est donné sur la
figure 1 ci-dessus.
Le nombre chromatique d'un graphe non-orienté G, noté (G), est le nombre minimal k tel
que G est k-coloriable. Cet énoncé porte sur le calcul de nombres chromatiques et de coloriages.
Représentation des graphes étiquetés. On se fixe dans cet énoncé une représentation des
graphes par matrices d'adjacence. On se fixe également comme convention que les étiquetages
des graphes sont tous à valeurs entières. L'étiquetage d'un graphe sera donné par un tableau
d'entiers. On se donne les types Caml Light suivants :
type graphe == bool vect vect;;
type etiquetage == int vect;;
Un graphe non-orienté G = (S, A) avec S = {0, . . . , n - 1} est représenté par une valeur gphe
de type graphe telle que pour tous sommets i, j  S, on ait gphe.(i).(j) = true si et seulement si (i, j)  A. Le graphe G étant supposé non-orienté, on a alors également par symétrie

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gphe.(j).(i) = true. Pour un étiquetage etiq de gphe, l'étiquette du sommet i de gphe est
donnée par etiq.(i).
En plus des fonctionnalités de base du langage Caml Light, le candidat pourra utiliser les
fonctions suivantes sans les programmer :
-- make_vect : int -> 'a -> 'a vect
make_vect n v renvoie un vecteur de longueur n et dont toutes les cases valent v.
-- vect_length : 'a vect -> int
vect_length t renvoie la longueur de t.
-- list_length : 'a list -> int
list_length l renvoie la longueur de l.
-- vect_of_list : 'a list -> 'a vect
vect_of_list l renvoie un vecteur t de même longueur que l, qui contient les mêmes
éléments que l et dans le même ordre.
-- range : int -> int vect
range n renvoie le vecteur [|0,...,n-1|].

1

Coloriage

Question 1. Indiquer, pour chacun des graphes suivants, s'il est colorié :
BLEU

ROUGE

VERT

ROUGE

ROUGE

ROUGE

VERT

BLEU

VERT

VERT

Question 2. Donner le nombre chromatique, ainsi qu'un exemple de coloriage correspondant,
pour le graphe de Petersen représenté figure 2 page 4.
Question 3. La vérification de la propriété de coloriage est le problème suivant.
-- Entrée : un graphe G, et un étiquetage L de G.
-- Question : L est-il un coloriage de G ?
Écrire une fonction est_col : graphe -> etiquetage -> bool, telle que est_col gphe etiq
renvoie true si et seulement si etiq est un coloriage de gphe. Dans le cas où la taille de l'étiquetage est strictement inférieure au nombre de sommets du graphe, la fonction renvoie false. On
demande une complexité quadratique en le nombre de sommets du graphe.
Question 4. Démontrer que le calcul du nombre chromatique d'un graphe peut s'effectuer en
temps exponentiel en le nombre de sommets.

2

2-coloriage

Nous avons vu à la question 4 que le calcul du nombre chromatique peut s'effectuer en temps
exponentiel en le nombre de sommets du graphe. Dans le cas général, on ne sait aujourd'hui
3

0

5
4

6
8

1

7

2

3

9

Figure 2 ­ Le graphe de Petersen, de sommets 0, . . . , 9.
pas faire mieux. Pour obtenir de meilleures bornes de complexité, il faut donc se limiter à des
sous-problèmes. On considère dans cette partie le cas du 2-coloriage.
Graphe biparti. Un graphe G est biparti lorsque l'ensemble de ses sommets S peut être
divisé en deux sous-ensembles disjoints T et U , tels que chaque arête a une extrémité dans T et
l'autre dans U .
Question 5. Démontrer qu'un graphe G est biparti si et seulement s'il est 2-coloriable.
On se propose de programmer la vérification de la 2-colorabilité des graphes en procédant
comme suit. On effectue un parcours du graphe en profondeur au cours duquel on construit une
2-coloration du graphe. On se donne pour ce faire trois étiquettes, disons -1, 0 et 1. L'étiquetage
est initialisé à -1 pour tous les sommets, et on teste la 2-colorabilité avec 0 et 1. Le principe de
l'algorithme est le suivant :
(1) On choisit un sommet s d'étiquette -1.
(2) On colorie les sommets rencontrés lors du parcours en profondeur à partir de s, en alternant
entre les couleurs 0 et 1 à chaque incrémentation de la profondeur, et en vérifiant si les
sommets déjà coloriés rencontrés sont d'une couleur compatible.
(3) Enfin, s'il reste des sommets d'étiquette -1, alors on revient au point (1).
Question 6. Écrire une fonction deux_col : graphe -> etiquetage telle que deux_col gphe
renvoie un 2-coloriage de gphe si gphe est 2-coloriable. Le coloriage utilisera les couleurs 0 et 1.
On demande une complexité quadratique en le nombre de sommets du graphe. Le comportement
de la fonction est laissé au choix du candidat lorsque gphe n'est pas 2-coloriable.
Indication : on pourra se donner un étiquetage etiq : etiquetage de longueur
(vect_length gphe), dont toutes les cases sont initialisés à -1, et que l'on met à jour au fur et
à mesure du parcours de gphe.

4

3

Algorithmes gloutons

Dans cette partie, nous allons étudier deux algorithmes permettant de colorier un graphe en
temps polynomial, mais donnant en général un coloriage sous-optimal : le coloriage obtenu peut
dans certains cas utiliser plus de couleurs que le coloriage optimal.
Ces deux algorithmes prennent en paramètre un ordre sur les sommets du graphe, que l'on
appelera ordre de numérotation. Par exemple, 1 < 3 < 4 < 0 < 2 < 6 < 5 < 9 < 8 < 7 et 0 < 7 < 2 < 5 < 4 < 6 < 8 < 1 < 3 < 9 sont deux ordres de numérotation des sommets du graphe de Petersen (figure 2 page 4). Pour un graphe gphe à n sommets, on implémente un ordre de numérotation de ses sommets par un tableau num de n valeurs entières, tel que num.(k) = j si et seulement si le sommet j apparaît en (k + 1)ième position dans l'ordre. Nous commençons par l'algorithme glouton de coloriage. Cet algorithme construit un coloriage L d'un graphe G en utilisant au plus d(G) + 1 couleurs. Son principe est le suivant : On parcourt la liste des sommets du graphe, dans l'ordre de numérotation des sommets donné. Pour chaque sommet s parcouru : (1) On calcule l'ensemble C(s) = {L(t) | t  V (s)} des couleurs déjà données aux voisins de s. (2) On cherche le plus petit entier naturel c qui n'appartient pas à C(s). (3) On pose L(s) = c. Question 7. Considérons le graphe de Petersen (figure 2, page 4) et les deux ordres de numérotation num1 = [|1; 3; 4; 0; 2; 6; 5; 9; 8; 7|] et num2 = [|0; 7; 2; 5; 4; 6; 8; 1; 3; 9|]. Donner les coloriages obtenus par l'algorithme glouton décrit ci-dessus pour le graphe de Petersen et chacun de ces deux ordres de numérotation, ainsi que les nombres de couleurs correspondants. Question 8. Écrire une fonction min_couleur_possible : graphe -> etiquetage -> int
-> int telle que pour un graphe gphe à n sommets, un étiquetage etiq à valeurs dans
{-1, . . . , n - 1}, et pour un sommet s de gphe, l'appel de min_couleur_possible gphe etiq
s renvoie le plus petit entier naturel n'appartenant pas à l'ensemble {etiq.(t) | t  V (s)}. On
demande une complexité en O(n).
Question 9. Écrire une fonction glouton : graphe -> int vect -> etiquetage, telle que,
pour un graphe gphe et un ordre de numérotation num de ses sommets, glouton gphe num renvoie
le coloriage glouton de gphe, avec au plus d + 1 couleurs, où d est le degré de gphe. On demande
une complexité en O(n2 ), où n est le nombre de sommets de gphe.
Dans le cas où le tableau num contient autre chose qu'un ordre de numération des sommets
de gphe, le résultat de la fonction est laissé au choix du candidat.
Question 10. Montrer que l'algorithme de coloriage glouton construit toujours un coloriage, et
que ce coloriage utilise au plus d + 1 couleurs, où d est le degré du graphe en entrée.
Question 11. Soit G un graphe. Montrer que pour tout coloriage L de G , il existe un ordre de
numérotation des sommets tel que le coloriage glouton L0 associé vérifie L0 (s)  L(s) pour tout
sommet s de G. En déduire qu'il existe une numérotation des sommets telle que l'algorithme
glouton renvoie un coloriage optimal.
Les questions 7 et 11 indiquent que l'efficacité de l'algorithme glouton est en grande partie dépendante de l'ordre dans lequel on choisit de parcourir les sommets du graphe. L'ordre
correspondant à la représentation choisie du graphe (dans notre cas les indices de la matrice
d'adjacence, c'est-à-dire la permutation identité) est le plus simple à calculer, mais a peu de
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chances d'être efficace. A contrario, on pourrait essayer de déterminer l'ordre optimal, dont on
a prouvé l'existence à la question 11, mais cela n'apporterait aucun bénéfice vis-à-vis de la complexité temporelle du problème.
Une alternative est donnée par l'optimisation de Welsh-Powell. L'idée est de parcourir l'ensemble des sommets du graphe par ordre de degré décroissant. Le tri des sommets par degré
décroissant ne prend pas plus de temps que le parcours glouton, mais permet d'obtenir un algorithme raisonnablement efficace en pratique.
Question 12. Écrire une fonction tri_degre: graphe -> int vect, qui calcule le tableau
des sommets d'un graphe trié par ordre décroissant de leurs degrés. En déduire une fonction
welsh_powell: graphe -> etiquetage qui implémente l'optimisation de Welsh-Powell, et justifier le choix de votre algorithme de tri pour la fonction tri_degre.

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Algorithme de Wigderson

Considérons un graphe G avec n sommets. Supposons que G soit 3-coloriable, mais que l'on
ait cette information sans pour autant effectivement disposer d'un 3-coloriage de G. Trouver un
3-coloriage de G pourrait prendre un temps exponentiel en n.
L'algorithme de Wigderson permet, pour un graphe G supposé 3-coloriable, de trouver en

temps polynomial en n un coloriage de G avec O( n) couleurs (au sens où il existe C > 0 tel

que pour tout n suffisamment grand, ce coloriage ait au plus C n couleurs).
Cet algorithme repose sur la propriété établie dans la question qui suit.
Question 13. Soit k > 0. Montrer que si G est (k + 1)-coloriable, alors pour tout sommet s de
G le sous-graphe induit par V (s) est k-coloriable.
Voici le principe de l'algorithme de Wigderson. Soit G un graphe à n sommets, et tel que G
est 3-coloriable.
(1) On se donne comme couleur initiale c = 0.
(2) Pour chaque sommet s de G pas encore colorié et ayant au moins
coloriés :

n voisins pas encore

(a) On 2-colorie, avec les couleurs c et c + 1, le sous-graphe induit par l'ensemble des voisins
de s pas encore coloriés.
(b) On incrémente c du nombre de couleurs utilisées en (a).
(3) Enfin, on utilise l'algorithme glouton (avec un ordre de numérotation quelconque) pour
colorier, avec des couleurs supérieures ou égales à c, le sous-graphe induit par l'ensemble des
sommets pas encore coloriés.
Question 14. Montrer que l'algorithme de Wigderson appliqué à un graphe 3-coloriable

construit toujours un coloriage, et que ce coloriage utilise un nombre de couleur en O( n),
où n est le nombre du sommets du graphe.
Nous allons maintenant implémenter cet algorithme. Commençons par programmer quelques
fonctions auxiliaires simples.
Question 15. Écrire une fonction sous_graphe : graphe -> int vect -> graphe telle que
pour gphe : graphe et sg : int vect, si sg est à valeurs dans {0, . . . , (vect_length gphe)-1}
et sans répétition, alors sous_graphe gphe sg renvoie la matrice d'adjacence du graphe de

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sommets {0, . . . , (vect_length sg)-1}, et qui a une arête entre les sommets s et t si et seulement
si gphe.(sg.(s)).(sg.(t)) = true.
Dans le cas où sg a des valeurs hors de {0, . . . , (vect_length gphe)-1}, ou a des répétitions,
le comportement de la fonction sous_graphe est laissé au choix du candidat.
Nous nous proposons d'utiliser pour les étiquetages la même convention que précédemment :
on se donnera un étiquetage etiq : etiquetage de longueur (vect_length gphe), initialisé à
-1, et que l'on mettra à jour au fur et à mesure de l'algorithme.
Question 16. Écrire une fonction voisins_non_colories : graphe -> etiquetage -> int
-> int list telle que voisins_non_colories gphe etiq s renvoie la liste des voisins t de s
tels que etiq.(t) = -1.
En déduire une fonction degre_non_colories : graphe -> etiquetage -> int -> int
telle que degre_non_colories gphe etiq s renvoie le nombre de voisins t de s tels que
etiq.(t) = -1.
Question 17. Écrire une fonction non_colories : graphe -> etiquetage -> int list telle
que non_colories gphe etiq renvoie la liste des sommets s de gphe tels que etiq.(s) = -1.
Nous disposons maintenant de toutes les briques nécessaires à l'implémentation de l'algorithme de Wigderson.
Question 18. Écrire une fonction wigderson : graphe -> etiquetage telle que si gphe est
3-coloriable, alors wigderson gphe renvoie un coloriage de gphe obtenu par l'algorithme de
Wigderson décrit plus haut. On demande une complexité polynomiale en le nombre de sommets
de gphe. De plus, les propriétés sur le coloriage établies à la question 14 devront être respectées
et justifiées.
Le comportement de la fonction est laissé au choix du candidat lorsque gphe n'est pas 3coloriable.
Question 19. Comment pourrait-on étendre l'algorithme de Wigderson à des graphes de nombre
chromatique connu et strictement supérieur à 3 ?

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