CCINP Maths 1 MP 2002

 

SESSION 2002 A MPM 104

CONCOURS (OMMUNS P0lYÏICHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

Autour des produits infinis

Si n() est un entier naturel et si (un) est une suite de réels non nuls, on lui 
associe la suite

112110

ïl
(Pn)nz..., defime pour tout entier naturel n ?. no par: P" : Hu}, : ",... . u

[J=HO

bl .

m,+l """" n

de terme général M converge si la suite (P") converge vers

n ' n'

On dit que le produit infini Hu

nZno

"ZI...

+oo
un nombre fini non nul. On notera alors Hun sa limite.

n=nO

Si la suite (P") n'admet pas de limite finie ou si elle converge vers 0 on dit 
que le produit

nano

1. Généralités et exemples

P . . . . .
"" , montrer que, pour que le produ1t 1nf1n1 | | u, converge, Il est
P Il

n 1120

nécessaire que la suite (un ),,20 converge vers l.

1. En considérant le quotient

Tournez la page S.V.P.

l\)

2. 801t (",, )"20 une suite de reels non nuls qu1 converge vers l.

a. Montrer qu'il existe un entier naturel no tel que pour tout entier n 2 no, 
un > O .

b. Montrer que les produits infinis nu" et Hun sont de même nature.

nZO "ZH...

3. On suppose dans cette question que (un )"20 est une suite de réels 
strictement positifs.

a. Montrer que le produit infini Hun converge si et seulement si la série îlnun 
converge.

n20 n20
b. Montrer que le produit infini H(l + un) converge si et seulement si la série 
Zu" converge.
n20 n20

c. Si, de plus, pour tout entier naturel n on a O1R de période 2% 
par :
Vt EUR [-- n,n], fa (z) = cos(oc t).
cost

Pour t réel tel que sint # 0, on pose cotant : . .
sm t

, , . . , . 1 +°° 20c '
6. Developper fa en ser1e de Fourier et en dedu1re que cotan (om) = -- + 
----2--2 .
om ,,=1 n(oc -- n )

7. Soit xE ] O, 7t[, on définit la fonction g sur [D, x] par :
1

g(t) =cotant---- si te ]0, x] et g(0) :o.
t

a. Montrer que la fonction g est continue sur [O, x] et calculer [ g(t) dt.
0

b. Montrer que pour tout te [O, x], g(t) = 2 t 2 1

2 22°
n=1t "'n'":

+oo 2 -
x sm x , . , , . .
c. Montrer que H (1 -- 2 2 ) = et en dedu1re le developpement eulenen de sm x :
,,=1 n Tt x
+oo x2
pourtoutxEUR}--n,rt[ :sinx=xH(l-- 2 2).
n=l " TE

Tournez la page S.V.P.

) (Formule de Wallis).

. +°° 1
8. Application : Déterminer H(l-- 4 ,
n=l Îl--

III. Formule de Weierstrass et constante d'Euler

9. Soit xe ]0,+oe[.

a. Montrer que la fonction { 1--9 6"

.t""' est intégrable sur ]0, + oo[.

+oo
--ï

On POSEUR, pour XE l0, +°°[, F(x) =J. e .t""' dt (Fonction Gamma d'Euler).

0

b. Calculer F(l) .

c. Montrer que la fonction F est dérivable sur ]O,+oo[ et déterminer F'(x) sous 
forme
d'intégrale.

10. Soit la suite de fonctions (f")n21 définies sur ]0, + oo[ par :

Vte ]0,n], f,,(r):[1-%) _
Vie ]n,+oo[ , fn(t)=0
a. Montrer que pour tout le ]0, +oo[ : OS f"(t) Se".

n --9+oo () n

. n [ ;: \.-
b. En déduire que, pour tout xe ]O, +oo[ : F(x) : 11m (l------] .t' ' dt.

] --_
11. On pose pour n entier naturel et pour xe ]O, + oo[ : In (x) : Jo(l -- u)". 
u" 'du.

a. Déterminer, pour n 2 l , une relation entre I,,(x)l et 1,1_1(x+1)-

b. En déduire, pour n entiernaturel et pour x e ]0, + oo[, In (x).
c. Démontrer la formule de Gauss :

v.-\'
pour tout xe ]O,+oo[ : F(x)= lim ---;--Ü--lZ------.

n-->+oo H (x + k)

k=O

12. Application :

l +°° x2
a. Montrer ue, our tout xe 0,1 : -------------------- =x l-- ,, .
q p ] [ F(x)F(l--.r) g( ]

b. Déterminer alors, pour tout x e ] 0, l[ , une expression simple de F(x)F(l 
-- x) .
(Formule des compléments).

+00

EUR. En déduire J e*"2 du.

0

. 1 1
b. Pour tout ent1er n 2 1 , on pose vn =1+--+...+-----lnn.

2 n
Montrer que la suite (vn )nZ] converge. Sa limite notée y est la constante 
d'Euler.

14. Démontrer la formule de Weierstrass :

1 +°° x 3--
t t 0, oo : = ' Y'" 1 ---- " .
pour ou xe] + [ Î(X) xe H( +nje

(Cette formule permet, par un produit infini complexe, de définir la fonction F 
pour tout

ZE(C\(--N)par: 1 =zeYZ (l+£)eÎ ).

n=l

Î(z) n

it:]

15. Application :

&. Montrer que, pour tout xe ]0,1] : ". =__--Y+

+oo

b. En déduire J e"'. lntdt.

()

Fin de l'énoncé.