CCINP Maths 1 MP 2003

SESSION 2003 MPM 105

A

CONCOURS (OMMUNS POLYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE -- F ILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE

Notations :

On note E l'espace vectoriel des applications continues de [--1,1] dans R.
On désigne par En l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans 
R de degré

inférieur ou égal à n où n est un entier naturel.
On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale.

Si f est un élément de E, on pose || f ll... sup | f(x)].

xe[--l,l]

Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la 
partie I.

I. Polynômes de Tchebychev

Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel.

, 1. Existence et unicité
' a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant la 
propriété (*):
(*): VH & R, T(cosa9) : cos(n9).
(on pourra remarquer que cos(n 9) est la partie réelle de (0059 + i sin 9)" ).
b) Montrer qu'un polynôme vérifiant (*) est unique.
On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice n, on le note T n .

On définit alors une fonction polynomiale sur [-1,1] par :
Vx & [--l, l], IL(x) : cos(n arcos x).

2. a) Montrer que Vx e[--1,l], T +2 (x) 2xT " (x)--Tn (x)
(on pourra calculerT ... (x) + T (x)).
b) Calculer 13,7},T2,T3.
e) Donner le coefficient du terme de plus haut degré de Tn .

3. Racines et extrema

n--l
a) Montrer que Vx & [-1,1], T,(x) : 2"'1 H(x --- cos &) où & = 
(--2Ë--Îl--)--fi-- .
...) 2n
k7r
b) On pose pour k dans {O, 1,. .n.,}, ck-- -- cos(--).
n

Calculer ||7;|Lo puis montrer que :
Vk EUR {O,l,...,n}, |T,(ck)l : ||ÎL||°0 et 'que : Vk EUR {O,l,...,n --1}, 
T,(c...) : --T,(ck).

Les n +1 réels co, (:1 ,..., cn sont appelés points de Tchebychev.
c) Dessiner le graphe de T, , préciser sur le graphe les réels co,c1 ,c2 ,c3.

Il. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité

Orthogonalité des T,

k t
4. Montrer que pour toute fonction il de E, l'application t l---> \/--(--)--2 
est intégrable sur ]--1,1[.
1 -- t

f (l') g(f) dt
\/1--t2

Pour f et g éléments de E, on pose <,f g>=f1

5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si J 11 \/î(tl2 dt : 0 
alors h est la fonction
' 1 -- t

nulle.
b) Montrer que ( , ) définit un produit scalaire sur E.

Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h 
de E, on pose

llhllz = (h, 11)-

6. Calculer  selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire, 
pour tout entier

n'm

naturel n que la famille (T 0,T1 ,...,Tn) est une base orthogonale (pour { , >) 
de En .

Polynôme de meilleure approximation quadratique

Dans toute la suite de la partie II., f désignera un élément de E et n un 
entier naturel.

Onpose d,(f,E,) =inf{||f--le,Q EUREn}.

(fifi)

llTkllz
7. a) Enoncer un théorème justifiant l'existence et l'unicité d'un vecteur tn 
(f) dans En tel que

lV--MJÆ=dxflay
b) Exprimer tn (f) a l'aide des polynômes de Tchebychev.

Le but de la suite de la partie Il. est d'exprimer || f || 2 en fonction des

On dit que tn (f) est le polynôme de meilleure approximation quadratique de f 
sur E n .

8. Montrerque d2(f,En)= l|f||22--Î .

2
9. a) En déduire que la série Z +ao

f--a.(f)ll. =0-

+00 2
11. a) En déduire que ||f|l2 : z .

b) Application : un théorème des moments.
Que peut-on dire d'une fonction h de E telle que pour tout entier naturel n,

1 h(t)T(t)
" d = ?
L __1_ t2 t 0

III. Pol nôme de meilleure a roximation au sens de Tcheb chev

' Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel et f un élément de E.

Onnote doe(f,En) =inf{llf--Qlæ,Q eEn}.

On dit qu'un élément P de En , est un polynôme de meilleure approximation (on 
notera en abrégé
PMA) au sens de Tchebychev de f d'ordre n, s'il vérifie une des deux conditions 
équivalentes :

«) W--PL=dAflEJ
(ii) VQeEn, f--P||æ s||f--Ql|æ.

Existence d'un PMA d'ordre n pour f
Onpose K= {Q EE", f--Qllæ sl|f|læ}

12. a) Montrer que K est une partie non vide fermée et bornée de E n .
b) En déduire que K est une partie compacte non vide de E n .

13. a) Montrer que a'oo (f,En) = doe(f,K) .
b) En déduire qu'il existe un élément P de E,, oe1 que || f -- Pl|æ = doe (f, 
E,) .
P est donc un PMA d'ordre n def.

Condition suffisante pour être un PMA

Soit h un élément de E. On dit que h équioscille sur k+1 points s'il existe k+1 
réels
x0  0 alors Q(x.) 
----P(x,) > 0 .
On a de même, que si f (xi) --- P(x,) < 0 alors Q(x,) ---- P(x,) < 0 . b) En déduire que P = Q et conclure. Détermination de PMA 16. Dans cette question, pour x & [-1,1], on prend f(x) : x"+1 et on pose : qn (x) : x"+1 -- 2"" 71...(x) . Montrer que qn est un PMA d'ordre n def. 17. En déduire que pour tout polynôme P unitaire de degré n + 1 , on a 2'" Tn+1 00 S ||Pl|æ. 18. a) Dans cette question, f est un polynôme de degré n + 1 . Déterminer un PMA d'ordre n def . b) Application : déterminer un PMA d'ordre 2 de f(x) = 5x3 + 2x -- 3. Remarque : On peut montrer l'unicité du PMA. Il n'existe pas de formule générale qui donne l'expression du PMA d'une fonction quelconque. On peut cependant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de polynômes qui converge vers le PMA. Fin de l'énoncé