CCINP Maths 1 MP 2004

 

SESSION 2004 ' MPM 1005

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

A propos de l'hypothèse « de classe C' par morceaux » du théorème
de convergence normale d'une série de Fourier...

Pour toute fonction f: R ----> @, continue par morceaux et de période 27t, on 
associe ses

1 21: .
coefficients de Fourier exponentiels définis, pour n eZ, par c ( f ) -- Îo f 
(t) e""' dt et ses
7r

coefficients de Fourier trigonométriques définis par :
a, (f) = 1 J:" f(t) cos(n :) dt (pour n & N) et b,, (f) = ' [:" f(t) sin(n :) 
dt (pour n e N * ).
7: TE

On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x :

S ,.(f)sin(n ...

n=_p

On rappelle le théorème de convergence normale :
Si f: R --> (C est une fonction continue de période 27t et de classe C' par 
morceaux, la série de

Fourier de f converge normalement vers la fonction f sur lRl.
Ainsi, la fonction fest limite uniforme de la suite de polynômes 
trigonométriques (S p( f )) pe N.

Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème 
l'hypothèse « de classe C'

par morceaux ».
Une première partie démontre des résultats préliminaires.

Une deuxième partie traite d'un exemple où, sans l'hypothèse << de classe C' par morceaux », la série de Fourier peut diverger. Une troisième partie recherche une condition plus faible pour que, sans l'hypothèse « de classe C1 par morceaux », on puisse quand même assurer que la série de Fourier de f converge uniformément vers la fonction f sur R. 1. Résultats préliminaires ]. Si, dans le théorème de convergence normale ci-dessus, on suppose que la fonction f n'est pas continue mais seulement continue par morceaux sur R : a. Rappeler le théorème de Dirichlet en précisant de quel type de convergence il s'agit. b. Cette convergence pourrait-elle être uniforme sur R ? 2. On considère la fonction continue (p :,R ---> R, de période 211 , paire et 
définie pour x e [O, n],

par  @ continue et de période 27: dont la somme de 
Fourier de rang n
est notée Sn (f). Pour n entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér 
de f de rang n,

notée on (f) comme la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier :

c,,).

On démontre, et nous l'admettrons, le théorème de Fejér :
«La suite de polynômes trigonométriques (on (f)) converge uniformément sur R 
vers la

fonction f ».
Une application :

Si f : R --> C est une fonction continue et de période 27: telle que la suite 
(Sn ( f )) converge

simplement sur R, montrer que la suite (Sn ( f)) converge vers la fonction f.

5. Si (un) est une suite de réels positifs qui converge vers 0, montrer qu'il 
existe une suite de
réels (dn) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel 
n, 0 5 un S dn

(on pourra, par exemple, vérifier que la suite ( sup{ u k, k 2 n} ) convient).

n

II. Un exemple de Série de Fourier divergente (en un point)

On considère la suite de fonctions ( fn) définies sur l'intervalle [O, n] pour 
tout entier naturel non

nul n par : fn (x) : ---Ë-sin[(2"3 +1)--fl.
n

6. Montrer que la série de fonctions 2 fn converge normalement sur [O, TC].

n21

On définit alors la fonction f paire, continue, de période 271 sur R et telle 
que pour tout réel

xe[Oml f=Îflül

. ' n . 2 +1 .
7. On pose, pour p et k entiers naturels, Ip, k = L cos( p t) sm( k2 t) dt et, 
pour q ent1er naturel,
']
T... : ZIM .
p=0
3. Calculer, pOur p et k entiers naturels, l'intégrale Ip, k .
. k+q 1
b. Pour q et k entiers naturels, déterminer un réel positif ck tel que T q, k : 
ck + Z 2 _ 1 et en
j=k--q .] +
déduire que, pour tout couple (q, k) d'entiers naturels, T q, k 2 O .
N
c. Déterminer, pour N au voisinage de + oo , un équivalent simple de z 2k1 1 .
k=0 +
. . . 1

d. En déduire que, pour k au v01smage de + oo , T k, k ..., --2-- Ink .

8 Montrer ue our entier naturel non nul a (f ) -- âÎ--1-- ]
. q :p p 7 ,, "'Tc _1n2 p2n3--l.
. " ao(f) 2
9. Montrer que, pour p ent1er naturel non nul, S 3 (f )(0) _>_ + 2 T 3 3
2p " 2 TE p 21" "',2P "'

_

N N
a a
(on remarquera que : ÎO + E a, = 20 + E a, ).
l=1 l=0

Conclure que la suite (S n ( f )(O)) diverge.

III. Fonctions à variation bornée, Théorème de Jordan

Pour deux réels a < b on note S[a' " l'ensemble des subdivisions de l'intervalle [a, b]. Si fest une fonction de [a, b] ---> C et o = (x... x,,..., x") & S[a,b], on 
note:

n--l
V(6, f) = Z|f(x... ) -- f(x.)\ .
i=O
On dira que la fonction f est à variation bomée s'il existe un réel positif M 
tel que pour toute
(: EUR S[a_b], l'on ait: V(o, f) SM.

On appelle alors variation totale de f sur [a, b] le réel positif noté :

V([a,b],f)= sup V(0,f)--

ceS[a, b]
10. Montrer que la fonction f: [O, 1] --+ R définie par f (0) = O et f(x) = x 
cos(£--) si x # O est
x
continue et n'est pas à variation bomée sur [O, 1].
(on pourra choisir 0 : (xk )0$k$n+1 subdivision de [O, 1] : x0 = 0, x... =l et
Vk & {l, ...,n}, xk : -------------1-------- ).
2(n +1 -- k)

11. Exemples généraux
a. Montrer qu'une fonction f : [a, b] ----> lR qui est monotone est à variation 
bomée sur [a, b] et

préciser V( [a, b] , f).
h. Montrer qu'une fonction f: [a, b] ---> R qui est somme de deux fonctions 
monotones est à
variation bomée sur [a, b].

c. Montrer qu'une fonction [a, b] ---->C qui est continue et de classe C1 par 
morceaux est à
variation bomée.

12. Soit une fonction f : [a, b] --> C à variation bomée sur [a, b] et soit a < c < b. Montrer que chacune des restrictions de f aux intervalles [a, c] et [c, b] est à variation bomée et que: V(laacl.f)+V(lc,bl,f)SV(la.bl.f)- Remarque : on peut même montrer qu'il y a égalité mais ce ne sera pas utile pour ce problème. 13. Soit f: R ----) C une fonction continue et de période 27t telle que la restriction de f à l'intervalle [O, 2 n] soit à variation bomée. Pour n entier relatif et N entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision , . . . 27tk o : (xk )O @ continue et de 
période 2% telle que
la restriction de f à l'intervalle [O, 2 Tt] soit à variation bornée converge 
uniformément vers la

fonction f

16. Montrer que la série de Fourier de la fonction (p de la question 2. 
converge uniformément sur

R vers la fonction (p .

17. Application
Montrer que la série de Fourier d'une fonction f: R --> (C, de période 271: et 
lipschitzienne

converge uniformément sur R vers la fonction f.

Fin de l'énoncé