CCINP Maths 1 MP 2007

SESSION 2007

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EÜHEÜLIRE EÜH"IU"«IE FÜLTTEEHHIÛUEE--

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

>l<>l<>l< NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants. EXERCICE x + y (l+x2)(l+y2)' a. On pose F = [O, l]>< [O, 1], justifier que la fonction f est bornée sur F et y atteint sa borne On considère la fonction f : R2 --> lR définie par : f (x, y) =

supérieure. On pose alors M = sup f (x, y).
(m)eF

b. Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert Q = 
] 0,1 [><] 0,1 [ & 8 . alors nécessairement M = 35 c. Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de F et le comparer à Î (on pourra utiliser la calculatrice). Déterminer M. 1/6 PROBLÈME : ECHANGES DE LIMITES ET D'INTEGRALES Toutes les fonctions de ce problème sont à valeurs réelles. PARTIE PRELIMINAIRE Les résultats de cette partie seront utilisés plusieurs fois dans le problème 1. Fonction Gamma d'Euler a. Soit x EUR ] O, + OO[ , montrer que la fonction ne e"f tx"1 est intégrable sur ] O, +oo[ . On pose, pour x EUR ] O, + oo[ , F(x) = ! e"f tx"1 dt. 0 b. Déterminer, pour x EUR ] O, + OO[ , une relation entre F(x +1) et F(x) et en déduire F(n) pour tout entier naturel non nul n. Fonction zêta de Riemann . . . +°° 1 On rappelle que la fonction zêta est définie sur ] l, + oo[ par 5 (x) = E x . n n--l 7z2 7z4 On connait ; (2) = ? , 5 (4) = % , on sait que pour p entier pair, Ç ( p) est de la forme q7zP où q est un rationnel ; il a été démontré que certains Ç ( p) pour p entiers impairs sont irrationnels mais on ne sait pas s'ils le sont tous. On se propose de rechercher des valeurs approchées de ces réels Ç ( p) . . +00 1 n 1 a. On note, pour n entier naturel non nul et x réel x > 1, Rn (x) = z kx = 5 
(x) -- z kx .
k=l

k=n+l

Prouver que, pour n entier naturel non nul et x réel x > 1, Rn (x) £ (lî .
x -- n

b. On fixe l'entier p 2 2 et un réel 8 >O. Indiquer une valeur de n pour 
laquelle on a

ïl

ZkLp--Ç(P)

£a.

c. Donner, en utilisant la calculatrice, une valeur approchée de 5 (7) à 10_6 
près.

PREMIERE PARTIE : SUITES DE FONCTIONS

Préliminaire: Dans les questions 3 à 5 suivantes, on n'utilisera pas pour les 
démonstrations le
théorème de convergence dominée, énoncé àla question 6.

3.

Théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions
Démontrer le théorème suivant que l'on notera TH 1 :
si ( fn) est une suite de fonctions continues sur le segment [a, b] qui 
converge uniformément

b
vers une fonction f sur [a, [9], alors, la suite de réels (! fn (x) dx) 
converge vers le réel

ij(x) dx.

2/6

b
On commencera par donner un sens à l'intégrale [ f(x) dx juste en énonçant un 
théorème.
a

Exemples et contre-exemples

a.

Déterminer une suite ( fn) de fonctions continues et affines par morceaux sur 
le segment

[O, 1] qui converge simplement mais non uniformément vers une fonction f sur 
[O, 1] et telle

l 1
que la suite de réels [[ fn (x) dx) ne converge pas vers le réel [ f(x) dx.
O 0

Remarque: on peut se contenter d'une vision graphique et, dans ce cas, il est 
inutile
d'exprimer fn (x) , mais on attend une justification des deux propriétés 
demandées.

. Si ( fn) est une suite de fonctions continues sur le segment [O, 1], 
démontrer qu'il est

l l
possible que la suite de réels [[ fn (x) dx) converge vers le réel [ f(x) dx 
sans que la
0 O

convergence de la suite de fonctions ( fn) ne soit uniforme sur [O, 1].

Cas d'un intervalle quelconque
a. Montrer à l'aide de la suite de fonctions ( fn )n21 définies sur I = [O, + 
oo[ par

--X

x"e

fn(X)=

que le TH 1 n'est pas vrai si on remplace l'intervalle [a, b] par un intervalle 
] non borné.

n !

Remarque : on pourra utiliser la formule de Stirling sans la démontrer.

b. Nous allons prouver que le TH 1 est vrai sur un intervalle borné ] .

On considère ( fn) une suite de fonctions continues et intégrables sur ] 
intervalle borné, qui

converge uniformément vers une fonction f sur I .
i. Justifier l'existence d'un entier naturel p tel que, pour tout réel x EUR I ,

[ f (x)[ S 1 + | f p (x)[ et en déduire que f est intégrable sur I .
ii. Montrer que la suite de réels [[ fn (x) dx) converge vers le réel [ f(x) 
dx. On notera
[ [

EUR (I ) la longueur de l'intervalle ] .

6. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions
On rappelle le théorème suivant que l'on notera TH 2 :
si ( fn) est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle ] 
qui converge

simplement sur 1 vers une fonction f continue par morceaux sur I et s'il existe 
une fonction ça
continue par morceaux et intégrable sur ] telle que, pour tout entier naturel n 
et tout réel x EUR I :

[fn (x)[ £ ça(x) alors, la fonction f est intégrable sur I et la suite de réels 
[[ fn (x) dx) converge
[

vers le réel [ f(x) dx.
[

3/6

a. Rappeler pourquoi il est inutile de vérifier, lorsqu'on utilise ce TH 2, que 
les fonctions fn

sont intégrables sur I et justifier que f est intégrable sur [.
b. Exemples
i. Montrer à l'aide d'un exemple simple que ce théorème peut être pratique sur 
un
segment ] sur lequel la suite de fonctions ( fn) ne converge pas uniformément 
vers la
fonction f .

. x
+oe sm(;)

ii. Calculer lim 2
n-->+oo 0 1 + X

DEUXIÈME PARTIE : SÉRIES DE FONCTIONS

7.

Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions
Justifier, simplement, à l'aide du TH 1 le théorème suivant que l'on notera TH 
3 :

si E fn est une série de fonctions continues sur le segment [et, b] qui 
converge uniformément

b
sur [a, b], alors, la série de réels 2 ! fn (x) dx converge et :

ÎjâY.dx=jj Îf. 1, l'intégrale ! ; 1dt en fonction de F(x) 
et 5 (x) .
0 e --
+00 +00 t6
b. En déduire la valeur de J ; 1dt et une valeur approchée de J ; 1dt.
() EUR _ 0 e _

Fin de l'énoncé.

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