CCINP Maths 1 MP 2009

 

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A

coucouas communs ronn e"t2 est intégrable sur IR+.

Dans la suite de cet exercice, on se propose de calculer :

+00 2
I:] e"t dt.
0

2. Soit f et g les fonctions définies sur ]R+ par :
a: t2 1 e--æ2(1+t2)
f(æ) =/Û e dt et g(:c) ==/Û W dt.

1/4

(a) Démontrer que les fonctions f et 9 sont de classe C' sur IR+ et déterminer 
leur dérivée.

1
(b) Prouver que pour tout a: réel positif on a : f(æ) : / a: e"æ2t2 dt.
o

En déduire que la fonction ga : 9 + f2 est constante de valeur --î--.

(c) Démontrer que pour tout a: > 0 réel on a : 0 { g(:c) { e"oe2.

(d) En déduire la valeur de I .

PROBLÈME : THÉORÈME DU POINT FIXE ET APPLICATIONS

Le but de ce problème est de démontrer le théorème du point fixe de PICARD, ce 
qui fait l'objet
de la partie I, et d'en voir plusieurs applications élémentaires dans les 
parties suivantes. Les

parties II, III et IV sont indépendantes entre elles.

Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé.

Une définition. Soit le E |O;1|. On dira qu'une application f : E ----> E est 
une contraction
stricte de rapport le lorsque pour tout (a:, y) EUR EZ, on a :

llf(OE) --- f(y)ll < k |le ---- 31"- Une notation. Pour n entier naturel et f : E ----> E , on notera f" : E ----> E 
l'application définie

par :

f"(æ) : f o - - - 0 f (a:) avec la convention f0 = Id.
"'--\f--'J

n fois la fonction f

PARTIE I : Le théorème du point fixe de PICARD

Dans cette partie (E, || ||) est un espace de Banach et f : E --> E est une 
contraction stricte de

rapport k.
Pour @ E E on considère la suite (:un) définie par 1150 = a et æn+1 : f (:un) 
pour tout n entier

naturel.

1. Pour tout n entier naturel, on pose un : a:n+1 -- :un.
(a) Démontrer que pour tout n entier naturel, on a ||un+1|| { k ||un|| puis que

llunll < 16" llf(a) --- all-- En déduire que la série E un converge. (b) Démontrer alors que la suite (Tn) converge vers un vecteur £ de E. (c) Prouver que 6 est un point fixe de f c'est--à-dire que f (E) = EUR. (d) Démontrer que f admet en fait un unique point fixe. On vient donc de démontrer le résultat suivant : THÉORÈME DU POINT FIXE DE PICARD : Dans un espace de Banach (E, || ||), une applica- tion f : E ----+ E qui est une contraction stricte admet un unique point fixe et pour tout a dans E la suite des itérés ( f"(a))nEUR1N converge vers ce point fixe. 2/4 PARTIE II : Exemples et contre-exemples 2. Sur la nécessité d'avoir une contraction stricte On considère ici la fonction g : IR ----> IR définie par :

7r
g(t) : t + -2-- --- arctant.

(a) Démontrer que pour tout t réel, on a |g'(t)| < 1. En déduire que l'on a pour a: et y réels : |g(æ) -- 9(y)l < |æ ---- yl- (b) La fonction g admet--elle un point fixe ? Est--elle une contraction stricte ? 3. Un exemple Soit f : IR ----> IR une fonction continue telle que, pour tout a: réel, on ait 
:

(a)

(b)
(6)

f(fv) = foÿ(flî) Où 9(OE) = 5 + 1-

u .
On considère la suite (un)nelN définie par 150 EUR IR et un+1 : ----53 + 1 pour 
tout n entier

naturel. Démontrer en utilisant le théorème de PICARD que cette suite converge 
vers
un réel EUR que l'on précisera.

Démontrer que pour tout n entier naturel et tout :1: réel, on a : f(g"(æ)) = f 
(a:)

En déduire que f est constante.

4. Un système non linéaire dans IR2
On s'intéresse dans cette question au système :

Il

sin(oe + y)
3 + 2 arctan(æ -- y)

{ Ï.Ïj

On munit IR2 de la norme || ||1 définie par : ||(æ, y)||1 : |a:| + |y| et on 
considère l'application
w : IR2 ----+ IR2 définie par :

w(a:, y) = (à-- sin(a: + y), 1 + % arctan(æ ---- y)) .

Pourquoi l'espace vectoriel normé (IRZ, || |... est-il complet ?

Démontrer que pour tout a et () réels, on a :

|sinb -- sin al < lb ---- al et |arctanb -- arctanal < lb -- a] . Prouver que @ est une contraction stricte de (IR2, || ...) dans (IRZ, |] nl). En déduire que le système (S) admet une unique solution dans IR2. : max(|ccl , |y|) qui en fait un Ici IR2 est muni de la norme || |]OO définie par ||(iL',y)llOO espace de Banach. Déterminer ||@b (--1- ---1--) ---- rb(0,0)llæ. 2» 2 L'application @@ est-elle encore une contraction stricte pour la norme || ||OO ? Quel commentaire peut--on faire ? 3/4 PARTIE III : Une équation intégrale 5. Soit F l'espace vectoriel des applications bornées de [O, I] dans IR. Pour f dans F on pose : llflloe = sup lf(flî)l- oeEUR|0;1] On note aussi E l'espace vectoriel des applications continues de [O, I] dans IR. (a) Démontrer soigneusement que || ||OO est une norme sur F. On admettra pour la suite que (F, || ||oe) est un espace de Banach. (b) Vérifier que E C F. (o) Démontrer le résultat suivant du cours : si (G, || ||) est un espace vectoriel normé et si (g,,) est une suite d'applications continues de G dans G qui converge uniformément sur G vers une application g alors g est continue. (d) En déduire que (E, || "Go) est aussi un espace de Banach. 6. On considère une application continue K : |O; 1|2 --+ IR ainsi que g EUR E. Pour À réel, on note  l'application qui a une fonction f de E associe la fonction définie par :

(f)(æ) )----À/0 K( (a: ,fy) y)dy pour tout a: dans [0,1].

(a) Justifier que l'application |K | est bornée et atteint ses bornes.

On oseM= max Kw, .
p (w,y)EURl0;ll2l ( y)|

(b) Démontrer que CI>( f ) est un élément de E.

(0) On suppose que |À| < M ". Vérifier que (I) est une contraction stricte de (E, || ||oe) et en déduire qu'il existe une unique application f dans E telle que : g(g;) ()),/01)+ K( (3: ,y)f y)dy pour tout a: dans [0,1]. PARTIE IV : Une application géométrique 7. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on considère un vrai triangle ABC avec B et G sur l'axe des abscisses. Soit M un point de l'axe des abscisses. On note : ---- PM le projeté orthogonal de M sur (GA); --- QM le projeté orthogonal de PM sur (AB); ---- RM le projeté orthogonal de QM sur (BG) On obtient donc une application ga: IR ----+ IR qui a l' abscisse de M associe l' abscisse de RM. On appelle @, b et c les mesures resoectives des angles BAG, ABC et BCA. (a ) Pour M et M' points distincts de (BC), justifier l'égalité (lorsque M # G) : PMPM' ----- ------------PMC ---- |cos c| MM' "' MC _ (b) Démontrer que