CCINP Maths 1 MP 2010

SESSION 2010 MPM 1002

A

CONCOURS COMMUN?» POLYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* * *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur
sa copie et devra poursuivre sa composition en erpliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené
à prendre.

Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et 
donner directement la
réponse sur la copie.
Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1
On considère la fonction f de R2 dans R définie par :
v4 .
f(æay) : @ 81(æ,y)#(0,0) et f(0,0) : 0-
1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (O, 
O) que l'on déter--

minera.

2. Démontrer que la fonction f est difiérentiable en (O, O).

EXERCICE 2
1. Rappeler la définition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace 
vectoriel normé.

2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de 
E dans F.
Si A est une partie compacte de E, démontrer que f (A) est une partie compacte 
de F.
L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est--elle nécessairement 
une partie
compacte de E ?

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SESSION 2010 MPM 1002

A

CONCOURS COMMUN?» POLYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* * *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur
sa copie et devra poursuivre sa composition en erpliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené
à prendre.

Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et 
donner directement la
réponse sur la copie.
Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1
On considère la fonction f de R2 dans R définie par :
v4 .
f(æay) : @ 81(æ,y)#(0,0) et f(0,0) : 0-
1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (O, 
O) que l'on déter--

minera.

2. Démontrer que la fonction f est difiérentiable en (O, O).

EXERCICE 2
1. Rappeler la définition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace 
vectoriel normé.

2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de 
E dans F.
Si A est une partie compacte de E, démontrer que f (A) est une partie compacte 
de F.
L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est--elle nécessairement 
une partie
compacte de E ?

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PROBLÈME : PHÉNOMÈNE DE GIBBS

Partie préliminaire

sint
l. (a) Justifier que la fonction 15 |--> ? est intégrable sur l'intervalle ]O; 
77].

t
Onposel=/7T £dt.
0 t

(b) Rappeler le développement en série entière en 0 de la fonction sinus et 
déterminer, avec

00
soin, une suite (...,),C20 vérifiant ] : Z(--l)'"u;,.
k=0

'ÏL

. 7Î . 77
2. (a) Démontrer que la su1te <--') converge et que la su1te ( n>0

n

') est décroissante.
n>1

+OE)
(b) Si R,, : î: (--l)kuk, majorer \Rnl, en utilisant la question (a).
k=n+1

2
En déduire, en précisant la valeur de n utilisée, une valeur approchée du réel 
-- I a 10--2
7?

près.

Première partie : Phénomène de Gibbs

On considère la fonction f définie sur R impaire et de période 277 vérifiant :

f(t) : l pour t E ]O;7T[ et f(0) : f(7T) : O.
3. On pose pour tout entier naturel n non nul et t réel,
t)=4îsin( [(2k +1)t]
7T 21EUR + 1 '

=0

Démontrer, a l'aide d'une série de Fourier, que la suite de fonctions (S,,)n>1 
converge sim--
plement vers la fonction f sur R. La convergence est--elle uniforme sur R ?

4. Sur un même graphique, uniquement a l'aide d'une calculatrice, tracer sur 
l'intervalle {-- %; 7T}
la courbe de la fonction f et l'allure de la courbe de la fonction S.... Puis 
sur un autre
graphique, tracer sur l'intervalle {--%; 7T} la courbe de la fonction f et 
l'allure de la courbe
de la fonction 320.

Que constate--t--on sur les courbes des fonctions S,, lorsque 15 se rapproche 
de 0 par valeurs
supérieures ou par valeurs inférieures ?

Cette particularité est appelée phénomène de Gibbs.

5. On pose pour n entier naturel non nul et t réel,

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(a) Démontrer que Vn E N*, Vt E R \ 77Z,

sin2 (nt)

sin t

T,,(t) =

Dans la suite de cette question 5., on considère deux nombres réels & et [9 
tels que a < 19 et [77,19] C l0;%[. (b) Justifier qu'il existe une constante M telle que pour tout entier naturel 77 non nul et tout 75 EUR [67,19], T,,(t) S M. (c) Démontrer que l'on peut trouver une suite de réels (wn) convergeant vers 0 et telle que pour tout entier naturel 77 non nul et tout 75 EUR [a, b], lf(t) -- S,,(t)l £ w,,. En commencant par observer que sin[(2k + 1)t] : Tk+1(t) -- T;,(t), on pourra chercher a majorer, pour tout couple (77, p) d'entiers naturels non nuls et tout 75 EUR [a, b], lSn+p(t) -- S,,(t)l. Que peut--on en déduire concernant la série de Fourier de la fonction f ? 6. (a) Calculer S,',(t) pour tout t E ]O; %} et déterminer la plus petite valeur ou,, qui annule S,',(t) sur ]0; 3}. (b) Démontrer que, pour a: E [O -E 72 2 oe ' 2t 1 7T ' S,,(æ) : _/0 M dt puis que S,,(ozn) : _/0 smu du. 77 sin t 7777 sin 23 'ÏL (c) Démontrer que la suite (S,,(oz,,))n21 converge et préciser sa limite. 29 On pourra utiliser sans démonstration : pour 79 E O' 3 sin9 Z --. 7 2 7 7T } et n entier naturel non nul, 7. Démontrer que la suite sup lS,,(a:) -- f (a:)l ne converge pas vers 0. oeEUR]0;%[ n Deuxième partie : Démonstration du théorème de convergence normale Pour une fonction f continue par morceaux de R dans (C et de période 277, on note pour tout 71 EUR Z : Cn(f)=à / fe--Wdt.

8. Rappeler le théorème de Parseval (avec les coefficients c,,( f )) pour une 
fonction continue par
morceaux de R dans (C et de période 277.

Dans le cas où la fonction f est de plus continue sur R, justifier que si pour 
tout 776 Z,
c,,( f ) = 0 alors f est la fonction nulle.

Ce résultat reste--t--il valable si la fonction f est seulement continue par 
morceaux de R dans
C et de période 277 ?

9. Soit f une fonction continue de R dans (C et de période 277 dont la série de 
Fourier converge
uniformément sur R vers une fonction g :

% EUR a, g(t) : cO(f) + Z(c_p(f)e--W + cp(f)eW).

(a) Justifier que l'application g est continue sur R puis pour tout entier 77 
EUR Z, exprimer,
avec soin, c,,(g) en fonction de c,,( f )

3/4

(b) Démontrer que f = g.

10. Dans cette question, f est une fonction continue de R dans (C, de période 
27r et de classe 01
par morceaux.

On pose pour n entier naturel non nul et t réel,

un(f)(t) = Cn(f)6mt + C--n(f)6_mt-

(a) Déterminer une relation entre cn( ]" ) et cn( f )

(b) Démontrer que pour tout t réel,

lun(f)(t)l s % + â(lCn(f')l2 + lC--n(f')l2)-

(c) Démontrer, avec soin, que la série de fonctions Zun( f ) converge 
normalement sur R
et préciser vers quelle fonction.

(ol) Énoncer le théorème que l'on vient de démontrer.
Le phénomène de Gibbs peut--il se produire pour cette fonction f ?

Fin de l'énoncé

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