SESSION 2013 MPM1002
_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.
\ Les calculatrices sont autorisées
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
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Exercice 1 : une série de Fourier
On considère la fonction f de R dans R, 27T--périodique7 impaire, vérifiant :
pour tout réel 3: EUR ]O,7T[, f(a:) : 1 et f(0) : f(7r) : O.
1. Représenter graphiquement la fonction f sur R, puis déterminer la série de
Fourier de la
fonction f.
2. Justifier l'existence des sommes suivantes et utiliser la question
précédente, en énonçant
les théorèmes utilisés, pour donner leur valeur :
+°°<--1>k ... 1
= Z--dt .
k! 71!
k=0
ON RAPPELLE LE THÉORÈME SUIVANT :
Si une fonction f admet un développement en série entière sur l'intervalle
]--a, a[, alors :
-- la fonction f est de classe COO sur ]--a, a[,
-- son développement en série entière est unique et est donné par la série de
Taylor de la
fonction f a l'origine :
+00 (71) 0
pour tout réel 3: EUR ]--a, a[ , f(a:) : f--'()æn
n.
n=0
I. Quelques exemples d'utilisation de ce théorème
4. On considère la fonction f définie sur R par :
f(0) : 1 et pour tout réel a: # O, f(a:) : sma:.
33
Démontrer que la fonction f est de classe COO sur R.
5. Expliciter une fonction f de classe COO sur un voisinage de 0 et vérifiant,
pour tout entier
naturel n, l'égalité f(")(0) : n. n!
6. Un théorème des moments
Soit f une fonction développable en série entière sur ]--R, R[ avec R > 1 :
+OO (fi)
Voeei--R.Rt f<æ>=îjf nf"æ"
n=0 '
1
On suppose, que pour tout entier naturel n, / oe"f(oe)doe : O.
0
L'objectif de cette question est de montrer que f est identiquement nulle sur
]--R, R[.
f <") (0) (a) Démontrer que la série Z f(a:) ... 7120 1 (lo) A l'aide du calcul de / (f ($))2dâî, démontrer que la fonction f est nulle sur l'intervalle [O, 1] . (c) Démontrer que f est la fonction nulle sur l'intervalle ]--R, R[. a:" converge normalement sur l'intervalle [O, 1]. II. Contre-exemples 7. Donner un exemple de fonction f a la fois de classe COO sur un intervalle ] et développable en série entière au voisinage de l'origine? mais qui ne coïncide pas avec sa série de Taylor en 0 sur ] tout entier. 3/4 8. Un exemple de fonction ne coïncidant avec sa série de Taylor en 0 sur aucun voisinage de 0 On considère la fonction f définie sur R par : pour tout réel a: # O, f(a:) : exp <--l) et f(0) : O. 332 (a) Donner, a l'aide de la calculatrice (sans étude), l'allure de la courbe de la fonction f. (b) Par les théorèmes généraux, la fonction f est de classe COO sur ]0, +oo[. Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme P,, tel que, pour tout a: e ]0, +oo[, f(æ) : P;(OE) exp <--l). 371 332 (c) Démontrer que la fonction f est de classe COO sur [D, +oo[ avec pour tout entier naturel n, f(")(0) : 0. Par parité, la fonction f ainsi définie est de classe COO sur R. (d) La fonction f est--elle développable en série entière sur un intervalle ]--7°, 7°[ ? 9. Un exemple où la série de Taylor de la fonction f en 0 a un rayon nul +oo --t e Pour tout a: réel, on ose : a: = _ dt. p " ' /0 1 + ta:2 --t 1 + ta:2 {O, +oo[, puis démontrer que la fonction f est de classe C' sur R. (a) Justifier que, pour tout réel a:, la fonction t % est bien intégrable sur On admettra que la fonction f est de classe COO sur R et que l'on obtient les dérivées successives en dérivant sous le signe intégrale. (b) Pour 75 EUR]O, +oo[, calculer, au moyen d'une série entière, les dérivées successives en EUR zéro de la fonction a: n--> _
1 + ta:2
pour en déduire l'expression de f(")(0) pour tout
entier naturel n.
(n) 0
(c) Quel est le rayon de la série entière î:f--'()æn ?
n.
7120
La fonction f est--elle développable en série entière a l'origine ?
III. Condition suffisante
On se propose, dans cette partie, d'étudier une condition suffisante pour
qu'une fonction de
classe COO sur un intervalle centré en 0 soit développable en série entière au
voisinage de O.
10. Soient & un réel strictement positif et f une fonction de classe COO sur
l'intervalle ]--a, a[.
On suppose qu'il existe un réel M > 0 tel que, pour tout réel 3: EUR ]--a, a[
et pour tout
entier naturel n, f(")(a:)l S M.
(a) Démontrer que la fonction f est développable en série entière au voisinage
de l'ori--
gine.
(b) Donner un exemple simple de fonction pour laquelle ce résultat s'applique.
Fin de l'énoncé
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