CCINP Maths 1 MP 2014

SESSION 2014 MPM1002

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

\ Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/5

I : PREMIER EXERCICE

I.1. On note D = {(a:, y) EUR R2, 332 + y2 S 1}, calculer l'intégrale double // 
doedy.

1+az:2+y2
D

II : DEUXIEME EXERCICE

& et 19 étant deux fonctions continues sur R, on note l'équation différentielle
(E): 332 y" + a(a:) y' + b(a:) y = 0 .

On note S+ l'espace vectoriel des solutions de (E) sur l'intervalle ] = ]O, 
+oo[ et S _ l'espace
vectoriel des solutions de (E) sur l'intervalle J : ]--oo, O[ .

L'objectif de cet exercice est d'étudier la dimension de l'espace vectoriel S 
des fonctions y de
classe 02 sur R vérifiant (E) sur R tout entier.

II.1. Donner la dimension des espaces vectoriels S + et S _.

II.2. On note 90 l'application linéaire de S vers S+ >< S_ définie par g0(f) : (f],fj) où f; désigne la restriction de la fonction f a l'intervalle ] et fj désigne la restriction de la fonction f a l'intervalle J. Donner le noyau de l'application go et en déduire que dim S S 4. II.3. Dans cette question, on considère a(a:) : a: et b(a:) : O, d'où (E) : a:2y" + a:y' : 0 . Déterminer S+ et S _. Déterminer ensuite S et donner sans détails la dimension de S. II.4. Dans cette question (E) : a:2y" -- 6oey' + 12y : 0. Déterminer deux solutions sur I de cette équation de la forme 33 H 33" (oz réel). En déduire S+ puis S _. Déterminer S et donner la dimension de S. II.5. Donner un exemple d'équation différentielle du type (E) : 33%" + a(a:)y' + b(a:)y : 0 tel que dim S = 0 (on détaillera). On pourra, par exemple, s'inspirer de la question précédente. III : PROBLEME Première partie : convergence de séries par transformation d'Abel III.1. On considère une suite de réels (an), une suite de complexes (bn) et on note pour tout entier naturel 71 : Sn : Zakbk et Bn : 2 191EUR. k--0 k=0 En remarquant que, pour k 2 l, bk =Bk -- Bk_1, démontrer que, pour tout entier naturel 71 non nul, n--1 Sn : Z(ak -- ak+1)Bk + czan (transformation d'Abel). k=0 2/5 III.2. On suppose que la suite (En) est bornée et que la suite (an) est décroissante de limite nulle. III.2.a Démontrer que la série Z(ak -- ak+1) converge. 1:20 III.2.b En déduire que la série Zanbn converge. nZO III.2.C En appliquant le résultat précédent au cas où bn : (--l)", donner une démonstration du théorème des séries alternées, après l'avoir énoncé. III.3. Exemple. Dans cette question, 9 est un réel différent de 2k7r (k EUR Z) et oz E R. n III.3.a Calculer pour n entier naturel non nul, Ze k=1 ik9 in9 III.3.b Discuter en fonction du réel oz la nature de la série Z 7121 a | sin na: III.4. Soit la série de fonctions Zun où pour a: réel et n entier naturel non nul, un(aî) : ( ) 7121 \/H Démontrer que cette série de fonctions converge simplement en tout point de R. On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une série de complexes Ë un converge si et seulement si, les deux séries ayant pour termes généraux les parties réelles et parties imaginaires (c'est--à--dire ZRe(un) et Zlm(un) ) convergent. sin(na:) \/ñ +oo On notera U sa fonction somme : pour tout réel Q:, U (33) : î: n=1 Deuxième partie : convergence uniforme de séries III.5. On considère une suite de réels (an) et ( fn) une suite de fonctions définies sur une partie A de (C et a valeurs dans (C. On pose, pour tout Z EUR A et pour tout entier naturel n, Fn(z) : ka(z). k_0 On suppose que la suite (an) est décroissante de limite nulle et qu'il existe M EUR R+, tel que pour tout Z EUR A et tout 71 E N, an(z)l S M (on dit que la suite (E,) est uniformément bornée). III.5.a Démontrer que la suite (anFn) converge uniformément sur A et que la série de fonc-- tions Ë (a;EUR -- ak+1)Fk converge normalement sur A. 1:20 III.5.b A l'aide d'une transformation d'Abel, en déduire que la série de fonctions Zanfn converge uniformément sur A. 3/5 III.6. Exemple. sin(na:) \/ñ III.6.a Démontrer que pour a: E R, 1 -- e'"' : --21sin(æ/2)e'oe/2. Pour {L' réel et 71 entier naturel non nul, un(aî) : Démontrer que la série de fonctions Zun converge uniformément sur tout intervalle 7121 [a, 27T -- &] où a E ]O, 7T[. En déduire que la fonction U est continue sur l'intervalle ]O, 27T[. III.6.b Pour 79 entier naturel, on considère la série de fonctions Zvn où pour a: réel et 71 7121 sin(na:) sin(pæ) \/ñ Démontrer que, pour tout entier naturel 79, la série de fonctions Ë on converge 7121 entier naturel non nul, vn(a:) : uniformément sur l'intervalle [O, 7T] . On pourra, par exemple, utiliser sans démonstration, que : a: _ a: pour tout a: E {O, 7T], -- £ sm (î) . 7T III.6.C On se propose dans cette question de démontrer que la fonction U n'est pas continue par morceaux sur R. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que la fonction U est continue par morceaux sur R. i. Déterminer alors les coefficients de Fourier de la fonction U. On pourra utiliser pour p et 71 entiers naturels non nuls : P # n» / sin(nâî) sin(pæ)dæ = 0 et pour p = n / sin(nâî) sin(pæ)dæ : % 0 0 ii. En utilisant la formule de Parseval, aboutir a une contradiction. Troisième partie : convergence uniforme d'une série entière III.7 . Si Zanz" est une série entière de la variable complexe de rayon R > O, 
rappeler le
7120
résultat du cours concernant la convergence uniforme de cette série.

III.8. On considère la série entière de la variable complexe Z de rayon 1.

Z'ÏL
7121fi
III.8.a On note D = {21 EUR @, 1711 < 1}. Démontrer que la série entière de la variable réelle Ë ne converge pas uni-- 3371 7121 \/H formément sur ]--1, 1[ (en particulier la série Ë ne converge pas uniformément Z'ÏL 7121 \/H sur D). 4/5 III.8.b III.8.C III.8.d III.8.e On pourra confondre un point de R2 et son affixe. 77 Pour oz EUR }O, 5 {, on note Da l'ensemble des complexes z, tels que lzl S 1 et dont la partie réelle vérifie Re(z) S cos oz. Représenter géométriquement l'ensemble Da dans un repère orthonormé du plan. Démontrer que Da est une partie fermée de (C. On pourra écrire : Da : {(a:,y) EUR R2,a:2 +y2 S 1} fi {(a:,y) EUR R2,a: S cosa} et démontrer que Da est une partie fermée de R2. En déduire que Da est une partie compacte de (C. On note pour ?: EUR CC et n entier naturel, Fn(z) : 2 gif. k=0 Démontrer que pour tout ?: EUR Da et tout entier naturel n, si a: : Re(z) : 2 2 < \Fnls _ ___ .
1 a: 1 cosa

Démontrer que la série entière Ë converge uniformément sur tous les compacts

Z'ÏL
nZl\/ñ
Da (poura E }O,%{).

Fin de l'énoncé

5/5