CCINP Maths 1 MP 2016

SESSION 2016

MPMA102

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!

MATHEMATIQUES 1
Mardi 3 mai : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
"
!
!
Les calculatrices sont interdites
!
!
!
!
!
!
!
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
1/4

!

EXERCICE I
On considère l'équation différentielle (E) : x2 y + (x2 - x) y + 2 y = 0.
I.1. Existe-t-il des solutions non nulles de l'équation (E) développables en 
série entière sur un
intervalle ]-r, r[ (r > 0) de R?

EXERCICE II
II.1. Démontrer que la famille

i+ j
2i+ j

est sommable et calculer sa somme.

(i, j)N²

II.2. Soit X et Y deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé à 
valeurs dans N.
On suppose que la loi conjointe du couple (X,Y ) vérifie :
i+ j
pour tout (i, j)  N², P(X = i,Y = j)= P [(X = i)  (Y = j)] = i+ j+3 .
2
II.2.a. Vérifier que la relation ci-dessus définit bien une loi conjointe.
II.2.b. Démontrer que les variables aléatoires X et Y suivent une même loi.
II.2.c. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?

PROBLÈME : Fonction Digamma
Partie préliminaire
III.1.
III.1.a. Soit x  ]0, + [, démontrer que la fonction t  e-t t x-1 est intégrable 
sur ]0, + [.
III.1.b. On note, pour tout x  ]0, + [, (x) =

 +

e-t t x-1 dt (fonction Gamma d'Euler).

0

Démontrer que pour tout x  ]0, + [, (x) > 0.
III.1.c. Démontrer que la fonction  est dérivable sur ]0, + [ puis exprimer  
(x) sous forme
d'intégrale.
III.2. Pour tout entier n  2, on pose un =

 n
1
n-1

1
dt - .
t
n

III.2.a. Utiliser un théorème du cours pour justifier simplement que la série

 un converge.
n2

III.2.b. Pour tout entier n  1, on pose Hn =

n

1

 k - ln(n).

k=1

Démontrer que la suite (Hn )n1 converge.
2/4

La limite de la suite (Hn )n1 sera notée  dans tout le sujet ( est appelée la 
constante d'Euler). Dans
 (x)
la suite de ce problème, on définit pour tout x  ]0, + [, (x) =
appelée fonction Digamma.
(x)

Expression de la fonction Digamma à l'aide d'une série
III.3. Pour x  ]0, + [ et pour tout entier
n1, on définit la fonction fn sur ]0, + [ telle que :
 nt 
pour tout t  ]0,n], fn (t) = 1 -
t x-1 et pour tout t  ]n, + [ , fn (t) = 0.
n
III.3.a. Démontrer que pour tout x < 1, ln(1 - x)  -x. En déduire que pour tout entier n  1 , pour tout x  ]0, + [ et tout t  ]0, + [ , 0  fn (t)  e-t t x-1 . III.3.b. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que pour tout x  ]0, + [, n t n x-1 1- t dt. (x) = lim n+ 0 n III.4. On pose, pour n entier naturel et pour x  ]0, + [, In (x) = 1 (1 - u)n ux-1 du. 0 III.4.a. Après avoir justifié l'existence de l'intégrale In (x), déterminer, pour x > 0 et pour n  1,
une relation entre In (x) et In-1 (x + 1).
III.4.b. En déduire, pour n entier naturel et pour x  ]0, + [ une expression de 
In (x).
III.4.c. Démontrer que, pour tout x  ]0, + [, (x) = lim

n! nx

n+ n

(formule de Gauss).

 (x + k)

k=0
n

III.5. Pour tout entier n  1, on note toujours Hn =

1

 k - ln(n).

k=1

n 
1 n 
x  -x 
x
En remarquant que pour n  1 et x  ]0, + [, x  1 +
= e x Hn  1 +
e k , démontrer
n k=1
k
k
k=1
n 
x  -x 
1
x
e k (formule de Weierstrass).
= x e lim  1 +
que pour tout x  ]0, + [,
n+
(x)
k
k=1

III.6.
III.6.a. En déduire que la série

x x
ln
1
+
-
converge simplement sur ]0, + [ .

k
k
k1
+ 

x x
ln
1
+
- . Démontrer que l'application

k
k
k=1
1

g est de classe C sur ]0, + [ et exprimer g (x) comme somme d'une série de 
fonctions.

+ 
1
1
-1
- + 
-
III.6.c. En déduire que, pour tout x  ]0, + [, (x) =
. On rappelle
x
k+x
k=1 k
 (x)
.
que pour tout x  ]0, + [, (x) =
(x)
III.6.b. On pose, pour tout x  ]0, + [, g(x) =

3/4

III.7.
III.7.a. Que vaut (1)? En déduire la valeur de l'intégrale

 +

e-t ln(t) dt.

0

III.7.b. Calculer, pour tout x  ]0, + [, (x + 1) - (x) puis démontrer que, pour 
tout entier
n-1
1
n  2, (n) = - +  .
k=1 k
III.7.c. On pose, pour tout (x,y)  ]0, + [2 et k entier naturel, jk (y) =
Démontrer que la série

1
1
-
.
k+y+1 k+y+x

 jk converge uniformément sur ]0, + [.
k0

En déduire lim ((x + n) - (1 + n)).
n+

III.8. Déterminer l'ensemble des applications f définies sur ]0, + [ et à 
valeurs réelles vérifiant
les trois conditions :
· f (1) = - ,
1
· pour tout x  ]0, + [, f (x + 1) = f (x) + ,
x
· pour tout x  ]0, + [, lim ( f (x + n) - f (1 + n)) = 0.
n+

Autour de la fonction Digamma
III.9. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.
On effectue un premier tirage d'un boule dans l'urne et on adopte le protocole 
suivant :
si on a tiré la boule numéro k, on la remet alors dans l'urne
avec k nouvelles boules toutes numérotées k.

On effectue ensuite un deuxième tirage d'une boule.
On note X (respectivement Y ) la variable aléatoire égale au numéro de la boule 
choisie au premier
tirage (respectivement au deuxième tirage).
III.9.a. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ainsi que son espérance 
E(X).
III.9.b. Déterminer
 la loi de la variable aléatoire
 Y et vérifier que pour tout entier naturel non
1
k
nul k, P(Y = k) =
.
(2n + 1) - (n + 1) +
n
n+k
III.9.c. Calculer l'espérance E(Y ). On pourra utiliser, sans démonstration, que
n
1-n
k2
 n(n + k) = 2 + n ((2n + 1) - (n + 1)).
k=1
Fin de l'énoncé
4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 16 1213 ­ D'après documents fournis

Par exemple, si on a tiré la boule numéro 3, on remet quatre boules de numéro 3 
dans l'urne (la boule
tirée plus 3 nouvelles boules numéro 3).