CCINP Maths 1 MP 2018

SESSION 2018

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MPMA102

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP!
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MATHÉMATIQUES 1
Lundi 30 avril : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé d'un problème avec quatre parties.
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ESTIMATIONS NUMÉRIQUES D'INTÉGRALES
Objectifs
Le fil conducteur de ce sujet est le calcul approché d'intégrales.
La partie I est indépendante des autres parties. À travers l'exemple de 
l'intégrale de Gauss, on utilise
des suites de fonctions et on « permute limite et intégrale ».
Les parties II et III peuvent être traitées de manière indépendante. La partie 
IV utilise des résultats
des parties II et III.
Les parties II, III et IV traitent de l'utilisation des polynômes 
interpolateurs pour le calcul approché
d'intégrales : on présente le principe des méthodes de quadrature, dites de 
Newton-Cotes, ainsi qu'un
raffinement avec la méthode de quadrature de Gauss.
Le sujet comporte aussi quelques questions notées Informatique portant sur le 
programme «informatique pour tous». Les algorithmes demandés doivent être 
écrits en langage Python.
Notations
-- Si f est une fonction réelle bornée sur [a, b] avec a < b, on pose : f  = sup | f (x)|. x[a,b] -- On note Rn [X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. On pourra confondre les expressions « polynômes » et « fonctions polynomiales ». Partie I - « Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss On considère l'intégrale de Gauss : I= 1 2 e-x dx. 0 I.1 - Utilisation d'une série entière Q1. Démontrer à l'aide d'une série entière que : I= + n=0 On pose pour n  N : sn = n k=0 (-1)n . (2n + 1)n! (-1)k . (2k + 1)k! 2/7 Q2. Justifier que pour tout n  N, on a : |I - sn | 1 . (2n + 3)(n + 1)! Q3. Informatique : écrire une fonction récursive factorielle qui prend en argument un entier naturel n et renvoie l'entier n!. Q4. Informatique : en déduire un script, qui détermine un entier N, tel que |I - sN |  10-6 . I.2 - Utilisation d'une autre suite de fonctions Pour tout n  N , on définit sur [0, +[ la fonction fn par : n x2 fn (x) = 1 - . n Q5. Déterminer, en détaillant, la limite simple de la suite de fonctions ( fn )nN . 2 Q6. Soit n  N . Démontrer que x  [0, 1], | fn (x)|  e-x . En déduire que : n n (-1)k I = lim . n+ k nk (2k + 1) k=0 Partie II - Notion de polynôme interpolateur Soit f : [a, b]  R une fonction continue. On se donne n + 1 points x0 , x1 , . . . , xn dans [a, b], deux à deux distincts. On appelle polynôme interpolateur de f aux points xi , un polynôme P  Rn [X] qui coïncide avec f aux points xi , c'est-à-dire tel que pour tout i  0, n, P(xi ) = f (xi ). II.1 - Existence du polynôme interpolateur Pour tout entier i de 0, n, on définit le polynôme li de Rn [X] par : n X - xk . li (X) = x - xk k=0 i ki On pose : Ln ( f ) = n f (xi )li (X). i=0 Q7. Démontrer que Ln ( f ) est un polynôme interpolateur de f aux points xi , puis démontrer l'unicité d'un tel polynôme. Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de Lagrange. 3/7 II.2 - Calcul effectif du polynôme interpolateur de Lagrange Q8. Informatique : si y0 , . . . , yn sont des réels, le polynôme P = n yi li (X) est l'unique polynôme i=0 de Rn [X] vérifiant P(xi ) = yi pour tout i. Écrire en langage Python une fonction lagrange qui prend en arguments x une liste de points d'interpolations xi , y une liste d'ordonnées yi de même longueur que x, a un réel, et qui renvoie la valeur de P en a. Par exemple, si x = [-1, 0, 1] et y = [4, 0, 4], on montre que P = 4X 2 et donc P(3) = 36. Ainsi, lagrange(x, y, 3) renverra 36. Q9. Informatique : chercher le polynôme interpolateur P = a0 + a1 X + · · · + an X n de f aux points xi revient aussi à résoudre le système linéaire suivant d'inconnues a0 , . . . , an : P(x0 ) = f (x0 ) a0   f (x0 ) .. V  ...  =  ... . P(x ) = f (x ) an f (xn ) n n où V est une matrice carrée de taille n + 1. Déterminer la matrice V et indiquer la complexité du calcul en fonction de n, lorsque l'on résout ce système linéaire par la méthode du pivot de Gauss. II.3 - Expression de l'erreur d'interpolation On suppose, en plus dans cette partie, que f est de classe C n+1 sur [a, b]. On rappelle que Ln ( f ) est son unique polynôme interpolateur aux points xi . On note  = {x0 , . . . , xn } l'ensemble des points d'interpolations et  le polynôme de Rn+1 [X] défini par : n = (X - xi ). i=0 On veut démontrer pour tout réel x  [a, b], la propriété suivante notée P x : c x ]a, b[, f (x) - Ln ( f )(x) = f (n+1) (c x ) (x). (n + 1)! Q10. Résultat préliminaire : soit p  N . Démontrer que si  : [a, b]  R est une fonction p-fois dérivable qui s'annule p + 1 fois, alors il existe c ]a, b[ tel que (p) (c) = 0. Q11. Justifier que pour tout x  , la propriété P x est vraie. On fixe x un réel de [a, b] qui n'est pas dans . Soit  un réel. On définit sur [a, b] une application F par : F(t) = f (t) - Ln ( f )(t) -  (t). Q12. Déterminer un réel  de sorte que F(x) = 0. On choisira alors  de cette façon. Q13. Démontrer que F s'annule n + 2 fois et en déduire que P x est vraie. 4/7 Q14. Justifier que la fonction f (n+1) est bornée sur [a, b] et en déduire un réel positif K indépendant de n tel que : K n+1  (n+1) f . f - Ln ( f ) (n + 1)! Q15. En déduire que si f est la fonction sinus, la suite (Ln ( f ))nN converge uniformément vers f sur [0, 2]. 1 Q16. On définit f sur [-1, 1] par f (x) = . Démontrer à l'aide d'une série entière que : 1 + x2 k  N,  f (2k)   (2k)!. Cette dernière inégalité montre que la quantité  f (n+1)  peut être grande et cela peut empêcher parfois la convergence de la suite de polynômes interpolateurs. Ceci est appelé le phénomène de Runge. Partie III - Famille de polynômes orthogonaux On munit R[X] l'espace des polynômes à coefficients réels du produit scalaire ·, · défini par : pour tout polynôme P et Q de R[X] : P, Q = 1 P(t)Q(t) dt. -1 On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base canonique (1, X, X 2 , . . .) de R[X]. On obtient donc une famille orthonormée de polynômes (P0 , P1 , P2 , . . .) vérifiant : k  N, Vect {1, X, . . . , X k } = Vect {P0 , P1 , . . . , Pk }. Le polynôme Pn s'appelle le polynôme de Legendre d'indice n. Q17. Calculer P0 et P1 . Q18. Justifier que pour n  1, le polynôme Pn est orthogonal à Rn-1 [X]. Démontrer que le polynôme Pn est de degré n. On prend n  1. On veut démontrer que Pn admet n racines simples dans [-1, 1]. 1 Pn (t) dt = 0 et en déduire que Pn admet au moins une racine dans [-1, 1]. Q19. Justifier que -1 Supposons par l'absurde que Pn admet strictement moins de n racines simples. Si Pn admet des racines t1 , . . . , t p de multiplicité impaire avec p < n, on pose Q = (X - t1 ) . . . (X - t p ) ; sinon, on pose Q = 1. On considère enfin le polynôme H = QPn . 1 Q20. Justifier que H(t) dt = 0, puis conclure (on pourra remarquer que H est de signe constant sur [-1, 1]). -1 5/7 Partie IV - Méthodes de quadrature Dans cette partie, nous allons voir comment les polynômes interpolateurs de Lagrange peuvent être b f (x) dx pour f : [a, b]  R une fonction continue. utilisés pour estimer a Pour cela, on choisit d'abord une subdivision a = x0 < x1 < ... < xN = b de l'intervalle [a, b]. À cause du phénomène de Runge, si N est grand, le polynôme interpolateur de f aux points xi n'est pas b forcément une bonne approximation de f . Approximer b f (x) dx par LN ( f )(x) dx n'est donc pas a forcément pertinent... a Nous allons en fait approximer f par un polynôme d'interpolation sur chaque petit intervalle [xk , xk+1 ]. D'après la relation de Chasles, on a : Q21. Justifier que : xk+1 xk b f (x) dx = a k=0 xk+1 - xk f (x) dx = 2 On est donc ramené à estimer N-1 xk+1 f (x) dx. xk 1 xk+1 - xk . g(t) dt avec g(t) = f xk + (t + 1) 2 -1 1 g(t) dt où g : [-1, 1]  R est une fonction continue. -1 On se donne n + 1 points t0 , t1 , . . . , tn dans [-1, 1], deux à deux distincts. n g(ti )li (X) est le polynôme interpolateur de g aux points ti et on pose : On rappelle que Ln (g) = i=0 J(g) = 1 Ln (g)(t) dt = -1 Lorsqu'on approxime n i g(ti ) avec i = 1 li (t) dt. -1 i=0 1 g(t) dt par J(g), c'est-à-dire : -1 1 -1 g(t) dt n i g(ti ), i=0 on dit que J est une méthode de quadrature associée aux points t0 , . . . , tn et aux poids 0 , . . . , n . 1 Q22. Justifier que pour tout polynôme P  Rn [X], on a J(P) = P(t) dt. -1 On dit que la méthode de quadrature J est d'ordre au moins n car la formule approchée est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n. Q23. Exemple : on prend n = 1, t0 = -1 et t1 = 1. Déterminer 0 et 1 . Expliquer à l'aide d'un graphique en prenant g positive pourquoi, dans ce cas, la méthode J s'appelle la « méthode des trapèzes ». 6/7 Quadrature de Gauss Dans les deux questions suivantes, on prend pour points d'interpolation t0 , t1 , . . . , tn les (n + 1) racines du polynôme de Legendre Pn+1 introduit dans la partie III. Nous allons démontrer que, dans ce cas, la formule de quadrature J est d'ordre au moins 2n + 1. Soit P  R2n+1 [X]. On fait la division euclidienne de P par Pn+1 , on note respectivement Q le quotient et R le reste de cette division : P = QPn+1 + R. 1 1 Q24. Démontrer que J(QPn+1 ) = Q(t)Pn+1 (t) dt, puis conclure que J(P) = P(t) dt. -1 -1 Q25. Démontrer que les poids 0 , . . . , n associés à la quadrature de Gauss sont strictement positifs et calculer leur somme. FIN 7/7