CCINP Maths 1 MP 2019

SESSION 2019 C MPMA102

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 29 avril: 14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/4
+00
l 7
On admet que > --- ------ et on pose, pour f EUR 10, +co[ , f() =
n

Q1.

EXERCICE I

2 _
te !

6 let.

n=|

Justifier que la fonction f est intégrable sur 10, +o0| puis, à l'aide d'un 
théorème d'intégration

+00
terme à terme, calculer l'intégrale | df.
o e-1
EXERCICE II

Si X est une variable aléatoire à valeurs dans N de loi de probabilité donnée 
par : VneN,

+ 00

P, = P(X = n), la fonction génératrice de X est G,(1) = E(t* ) = > Pit".

Q2.

Q3.

n=0

Démontrer que l'intervalle |-1,1[ est inclus dans l'ensemble de définition de 
la fonction G; .

Soient X, et X, deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N.
On pose S = X,+%,, démontrer que pour tout fe |-L I[ , Gs(f) = CYy, ().Gy, ({) 
par deux
méthodes : l'une utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières et 
l'autre utilisant

uniquement la définition : G,(f) = E(t*).

On généralise ce résultat, que l'on pourra utiliser dans la question suivante, 
à n variables
aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans N (on ne demande pas de 
preuve de
cette récurrence).

Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 
et une boule
numérotée 2.
On effectue n tirages d'une boule avec remise et on note S, la somme des 
numéros tirés.

Déterminer pour tout £e [-I,1|, Gs,, (#) et en déduire la loi de S,.

2/4
PROBLÈME

Introduction

n

X «

nr où (a,),>, est une
-- X

Dans ce sujet une série de fonctions Z,, est une série de fonctions Ù a,

n>]

suite de réels telle que la série entière > ax soit de rayon 1.

n>l

Partie I - Propriétés

Soit une série de fonctions Z,, : Ù a

n>1]

ñ |
1-- x"

Q4. Sixe |-1,1|, donner un équivalent de 1--- x" pour n au voisinage de +.
q P £

n

X
---- converge absolument.

"1x

Démontrer que pour tout xe Ï-L I[ , la série >. a

n2>1
Remarque : la série Z, peut parfois converger en dehors de l'intervalle |-L|. 
Donner un

exemple de suite (a,),-, telle que la série Z,, converge en au moins un x, 
n'appartenant pas

à l'intervalle |-L I[

n

n converge uniformément sur tout segment

Q5. Démontrer que la série de fonctions > a
l-- x

n>]

[--b, b| inclus dans l'intervalle |-L|.

x"

+ 00
Q6. On pose, pour tout x EUR Ï-LII , f(x) = >. a,
I

n
n=] À
Justifier que la fonction f est continue sur l'intervalle Ï-Lil et démontrer 
ensuite que la

fonction j est de classe C! sur l'intervalle |-Ll , Donner la valeur de f"(0).

Q7. Expression sous forme de série entière
On note A=N°xN..
Lorsque (u, , )(n, pye4 St une famille sommable de réels, justifier que

Y Su, Y > Ux.p |» OÙ 1, ={(k,p)EUR À,kp=n).
n=1 \ p=l n=1 | (k,p}el,

Démontrer que pour tout x e |-L,1[, la famille (a, x" Yen. pyza St Sommable.

+00 n 00
En déduire que pour tout x e |-1,1|, > a, > b,x" où b, = > a
=]

n =
l--x n d\n

n=1

(d | n Signifiant d divise n).

3/4
Partie II - Exemples

Q8.

Q9.

Q10.

Q11.

Q12.

Dans cette question, pour 721, a, =1 et on note d, le nombre de diviseurs de n. 
Exprimer,

x"
1x"

comme la somme d'une série entière.

+ 00
pour tout xe Ï-LII , f(x) = >. a,

n=1

Dans cette question, pour n 21, a, =@(n) où on) est le nombre d'entiers 
naturels premiers

avec ñ et inférieurs à n.

Justifier que la série entière Ù a,x" est de rayon 1.

n>]

On admet que pour n 21, n = >. p(d). Vérifier ce résultat pour nr =12.
din

x"

+00
Pour x e Ï-LII , eXprimer > p(n)

n=|

ue sous la forme d'un quotient de deux polynômes.
-- X

En utilisant le théorème de la double limite, établir à l'aide du développement 
en série entière

D"

n

+ 00
de la fonction x + In(1+ x) sur l'intervalle Ï-Lil , la valeur de la somme >.

n=]l

Dans cette question et la suivante, pour n2>1, a,=(-1)" et pour tout xe |-LIf,

x"

En utilisant le théorème de la double limite, calculer lim 1) et donner un 
équivalent de

Xx--0 X
f(x) au voisinage de 0. Retrouver le dernier résultat de la question Q6.

-- ]n 2

l-- I
On pourra remarquer que pour x e 0, I] , _ 5
1x"  l+x+x

Démontrer qu'au voisinage de 1, f(x) --

+ +x7l

FIN

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IMPRIMERIE NATIONALE --- 191144 - D'après documents fournis