CCINP Maths 1 MP 2020

SESSION 2020 C MP1M1

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 4 mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé d'un problème qui comprend quatre parties indépendantes.

1/5
Objectifs

L'objectif de la partie I est de montrer l'existence d'un développement 
ternaire propre pour
certains nombres réels.

La partie IT propose l'étude d'une série de fonctions où les coefficients du 
développement ternaire
sont remplacés par une fonction continue.

La partie IIT étudie des développements ternaires aléatoires.

La partie IV définit et présente quelques propriétés de la fonction de 
Cantor-Lebesgue.

Notations

On note T l'ensemble des suites réelles t = (t,)nen* à valeurs dans {0; 1; 2}:
VnEN", t,EUR{0;1;2}.

On désigne par £" l'ensemble des suites réelles u = (u, ),en* bornées et on 
pose || u ||= Sup [u. |.
nEN*

On note |y| la partie entière d'un réel y.

PARTIE I - Développement ternaire

Étude de l'application ©

Q1. Démontrer que £" est un espace vectoriel réel et que l'application u || u 
|| est une norme
sur 2".

-- OO Fr r_ * r r Un
Q2. Pour u = (uy)nen* EUR ©", démontrer que la série de terme général jn 6st 
convergente.

On note alors :
+ 00
Un
o(u) = 3

n=1
Q3. Démontrer que l'application © est une forme linéaire continue sur £°".

Q4. Démontrer que si t = (t,)nen* EUR T, alors le réel o(t) est dans 
l'intervalle [0,1|.

Q5. Onnote tr = (T + ET = (T'h)nen: les éléments de T définis par :
n/neN non P

T =1et VnEN*\{1}, t, =0 T=0etVnEN*\{1} t, = 2.

Calculer o(rt) et o(t'). L'application o est-elle injective sur T ?

Développement ternaire propre

On fixe x EUR [0,1[. On définit une suite t(x) = (t,(X))hnen* Par :
VnEeN', t,(x) =137x] -- 313% 1x].

Q6. Démontrer que t(x) ET.

2/5
Q7.

Q8.

Q9.

On définit deux suites réelles (xh)nen* EURt (Yn)nen* Par :

, 137x| 1
Vn EUR N", Xn -- Zn et Yn = Xn Ton:
Démontrer que les suites (x,) et (y,) sont adjacentes de limite x. En déduire 
que :
+ 00
L N'tn(x)
X = 2h
n=1

Que peut-on en conclure concernant l'application p > 10,1] 9
F pP Le (0)

La suite t(x) = (t,(X))nen: est appelée développement ternaire propre de x.

Informatique pour tous. Écrire en langage Python une fonction flotVersTern(n, x)
d'arguments un entier naturel n et un flottant x et qui renvoie sous forme 
d'une liste les n
premiers chiffres t:(x),....,t,(x) définis dans la question précédente du 
développement
ternaire de x.

Par exemple flotVersTern(4,0.5) renvoie [1,1,1,1].

Informatique pour tous. Si £ = [£:,,...,1,]| est une suite finie d'entiers de 
{0; 1; 2}, on la
complète avec des 0 pour en faire un élément de T encore noté #.

Écrire en langage Python une fonction ternVersFlot(£) d'arguments une liste 
d'entiers #.
Cette fonction renvoie en sortie le flottant o(#).

Par exemple ternVersFlot([1,1,1,11]) renvoie 0.493827......

Q10. Znformatique pour tous. S1 EUR = [£,,..,1,| est une suite finie d'entiers 
de {0; 1; 2}, on lui

ajoute un élément égal à --1 s1 la somme ?, + --: + #,, est paire et un élément 
égal à --2 sinon.
Ce dernier élément permet alors d'essayer de détecter d'éventuelles erreurs de 
transmission.
Écrire en langage Python une fonction ajout(£) qui ajoute à la liste £ un 
élément comme
expliqué précédemment et qui renvoie la nouvelle liste.

Écrire en langage Python une fonction verif(£) qui renvoie True si la valeur du 
dernier
élément de # est correcte et False sinon.

Par exemple ajout([1,0,2,1,@]) renvoie [1,0,2,1,0,-1] et verif([1,0,2,1,0,-2])
renvoie False.

PARTIE II - Étude d'une fonction définie par une série

Dans cette partie, on définit une fonction @ à l'aide d'un développement en 
série analogue au
développement ternaire propre d'un réel, mais où la suite (t, )nen* est 
remplacée par une fonction
numérique à valeurs dans l'intervalle [0,2].

Pour tout réel x on pose :

+ 00

0) = Y 1 + re |

n=1

3/5
Étude de l'application @
Q11. Démontrer que est définie et de classe C! sur R.

Q12. Pour tout x réel, justifier l'écriture :

1 +2 einx
D
p(x) 7 + Im Zn

n=1

et en déduire une expression simple de @(x) en fonction de sin(x) et cos(x).

+00
ncos(nx)

Gr en fonction de cos(x).

Q13. Pour x EUR KR, en déduire une expression simple de D
n=1
TT

Q14. À l'aide de | (x) dx démontrer que :

0
T sin(x) 7 1 L
dx = 1147
J x >, (1-2 +1)

10 -- 6cos(x) n37t1

puis en calculant la somme de la série du second membre, en déduire la valeur 
de l'intégrale :
[ T sin(x)
dx .
po 10 -- 6cos(x)

Q15. Retrouver cette valeur par un calcul direct.

PARTIE IIT - Développements ternaires aléatoires

Dans cette partie, (Th n)n>1n>2 eSt une suite de variables aléatoires discrètes 
réelles, mutuellement
indépendantes, définies sur un même espace probabilisé (9, A, P) et vérifiant :

Vn>1,VN>2,T,n(®) = {0;1;2}

1 2
avec P(Tyn = 0) = P(Tyn = 1) = ve P(Tyn =2)=1- V

Soit N > 2 fixé. On pose :
N
Tan
XN -- ETS :

n=1
On admet que X,, est une variable aléatoire discrète réelle définie sur (9, A, 
P).

Q16. Démontrer que X}, admet une espérance et une variance. Donner leur valeur 
en fonction de N.

Q17. Justifier que, pour tout £ > 0:
im P(|Xvy -- E(Xy)| > EUR) = 0

4/5
Q18.

Soit £ > 0, démontrer que :
E E
P(IXy -- 11 > EUR) < P(IXy -- EQXn)| > =) + P(IECX\) -- 11 > =) |

En déduire que, pour tout £ > 0 :

PARTIE IV - Fonction de Cantor-Lebesgue

Dans cette partie, on va définir et étudier la fonction de Cantor-Lebesgue.

Étude d'une suite de fonctions

On note f, la fonction définie sur [0,1] par f(x) = x. Pour tout entier n EUR 
N, on pose :

Q19.

[___ fn(3x) 1
; si x EUR [0
, 1 È 1 | 1 2
xE [0,1], fnr1(0 = 4 - si x EUR b:s
1 -- 2 2
G +22 six e [5,1

Représenter l'allure graphique des fonctions fo, f: et f, sur trois schémas 
différents (pour f>
on envisagera sept sous-intervalles de [0,1|).
Pour tout n EUR N, démontrer que f, est à valeurs dans [0,1].

Q20. Informatique. Écrire en langage Python une fonction récursive cantor(n,x) 
qui renvoie la

Q21.

Q22.

Q23.

valeur de f, (x).

Pour tout entier n EUR N, démontrer que :

Vx E [0,14 [fn+10x) -- fGx)| < ZX onIL En déduire que la suite de fonctions (f,)nen converge uniformément sur [0,1]. La limite de la suite de fonctions (fh )nen est notée f. On l'appelle fonction de Cantor-Lebesgue. Démontrer que la fonction f est à valeurs dans [0,1] et qu'elle est croissante et continue sur [0,1]. Démontrer aussi qu'elle est surjective de [0,1] vers [0,1]. La fonction f est aussi nommée « escalier du diable ». Les développements ternaires étudiés en début de problème permettent d'obtenir une expression analytique de f (x). FIN 5/5