CCINP Maths 1 MP 2021

SESSION 2021 @ MP1M1

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

1/5
EXERCICE I

On note f la fonction définie sur ]0,1] par :
nt

t2--1

f() =

Q1. Soit k EUR N. Justifier l'existence puis calculer l'intégrale

1
lk = | t* Int dt.
0

Q2. Justifier que la fonction f est intégrable sur |0,1[, puis démontrer que :

T2

[ ro =--

On pourra utiliser librement que :

EXERCICE II

Q3. Justifier que la fonction In est concave sur |0, +co! et en déduire que :

+ b+
V(a, b,c) EUR 10, +of*, Vabc < ---- On note f la fonction définie sur ]0, +co[? par : GP) = x +y += f(x; Y)=x+7y _ Q4. Démontrer que f admet un unique point critique sur l'ouvert |0,+oco[?, puis démontrer que f admet un extremum global que l'on déterminera. 2/5 PROBLÈME Un peu d'arithmétique avec la fonction zêta de Riemann On note & la fonction zêta de Riemann définie sur |1, +c| par : +00 1 &Cx) -- > 2
n=1

Le problème est constitué de trois parties indépendantes dans une large mesure.

Partie I - Alsorithmique : calcul de zêta aux entiers pairs

La suite des nombres de Bernoulli notée (b, }nen est définie par :
n--1

--1 n +1
Bo -- 1, Vn > 1, Dh -- k bn

Leonhard Euler (1707-1783) a démontré la formule suivante qui exprime les 
nombres &(2k) à
l'aide des nombres de Bernoulli :

(--1)7122k 17 2k
(2k)!

vk e N°, c(2k) =

Dans cette partie (informatique pour tous), on se propose de programmer le 
calcul des nombres de
Bernoulli b, afin d'obtenir des valeurs exactes de &(2k).

Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très 
attentif à la rédaction
du code notamment à l'indentation.

Q5. Écrire une fonction factorielle(n) qui renvoie la factorielle d'un entier n 
EUR N.

Q6. On considère la fonction Python suivante binomin,p) qui renvoie le 
coefficient
binomial (n)
D

def binomi(n, p):
1f not(0<= p <= n): return 0 return factorielle(n)//(factorielle(p)*factorielle(n-p})) Combien de multiplications sont effectuées lorsque l'on exécute binom(30,10)7? Expliquer pourquoi 1l est possible de réduire ce nombre de multiplications à 20 ? Quel serait le type du résultat renvoyé s1 l'on remplaçait la dernière ligne de la fonction binom par return factoriellei(n)/(factorielle(p)*factorielle(n-p))? 3/5 Q7. Q8. Démontrer que, pourn >p>1,ona
F)=5 (1)
p/ p\p-1/
En déduire une fonction récursive binom rec(n,p) qui renvoie le coefficient
binomial (n).
P

Ecrire une fonction non récursive bernoulli(n) qui renvoie une valeur approchée 
du
nombre rationnel b,. On pourra utiliser librement une fonction binomial (n,p) 
qui renvoie

le coefficient binomial ().

Par exemple bernoulli(10) renvoie 0,075 757 575 757 575 76 qui est une valeur

5
approchée de bp = --

66

Partie II - Généralités sur la fonction zêta

Pour tout n EUR N°, on note f, la fonction définie sur ]1, +oco|[ par :

Q9.

Q10.
Q11.

Q12.
Q13.

Q14.

1
În (x) Dr

n*

r r r e In n
Pour tout a > 1 réel, démontrer que la série > --- converge.
n

Démontrer que la fonction & est de classe C{ sur ]1,+o[, puis qu'elle est 
décroissante.

La série de fonctions > fn converge-t-elle uniformément sur ]1, +co| ?

Déterminer la limite de & en +oo.

Soit x > 1. On pose :

*?°dt
I(x) -- Î 2x
1 À
Démontrer que :
I(x) < &(x) < I(x) + 1. En déduire un équivalent de & au voisinage de I. Un premier lien avec l'arithmétique : pour tout n EUR N°", on note d,, le nombre de diviseurs de | 1 l'entier n. On pose À = N° x N° et on prend x > 1. Justifier que la famille ( 
-) est
(ab)? (a, b}eA

sommable et que sa somme vaut {(x)*. En déduire que :
+00

dn
(x) = DE
n=1

On pourra considérer la réunion U,en* An où 4, = {(a, b)E À, ab =n}.
4/5
Partie III - Produit eulérien

Soit s > 1 un réel fixé. On définit une variable aléatoire X à valeurs dans N°" 
sur un espace
probabilisé (Q, A, P) par :

1
Vk EN',P(X = k) = ES

On rappelle qu'un entier a divise un entier b s'il existe un entier c tel que b 
= ac. On note alors ab.

Q15. Soit a E N°. Démontrer que P(X EUR aN ) = _
a

Q16. Soient a;, a>, ..., a, dans N° des entiers premiers entre eux deux à deux 
et N EUR N°.
Démontrer par récurrence sur ñn que :
(a. IN, IN, 7) an|N) -- a; X A> X *. X an|N.

Le résultat persiste-t-1l s1 les entiers a, &>, ..., a, sont seulement supposés 
premiers dans leur
ensemble, c'est-à-dire lorsque leur PGCD vaut 1 ?

Q17. En déduire que si a;,a>,...,a, sont des entiers de N° premiers entre eux 
deux à deux, alors
les événements [X EUR a; N*|,...,[X EUR a,N*] sont mutuellement indépendants.
On pourra noter (b.,....,b,) une sous-famille de la famille (a, ...,a,).

On note (Py)nen* = (2,3, 5,7,11,...) la suite croissante des nombres premiers.
Pour tout entier n EUR N°", on note B, l'ensemble des w EUR Q tels que X(w) 
n'est divisible par aucun
des nombres premiers pD1,D>,....., Dn.

Q18. Soit n EUR N°. Déduire des questions précédentes que :
n
1
P(B,)= | | (: _ =)
k=1 Pk

Q19. Soit w dans N,en B,. Que vaut X(w) ? En déduire que :

n

1
S)= lim | [Tr

k=1 Pr

. 7 1
On se propose, en application, de prouver que la série D, -- des inverses des 
nombres premiers
n

L 1
diverge. On raisonne pour cela par l'absurde en supposant que la série >», -- 
converge.
£ P P PP q p g

[=
Un -- -
n 1-1

k=1 Pk

On pose pour tout n EUR N",

Q20. Justifier que la suite (u,,) converge vers un réel L et que l'on a pour 
tout réel s > 1, [ > &(s).
Conclure.

FIN
5/5