SESSION 2024 MP1M1
CONCOURS
COMMUN
INP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 1
Durée : 4 heures
NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
« Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées,
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
. Ne pas utiliser de correcteur.
« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
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EXERCICE 1
X est une variable aléatoire à valeurs dans N d'espérance finie.
Q1. Exprimer, pour k non nul, P(X =k) en fonction de P(X > k -1) et de P(X >Kk).
n n--1
Démontrer que pour tout ne N, D kP(X _k)=d P(X>k)-nP(X > n).
k=1 k=0
+00
Démontrer le résultat de cours : E(X)= > PIX > kK).
k=0
Q2. Soit neN. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue, de
façon
équiprobable, p tirages successifs avec remise et on note X le plus grand
nombre obtenu.
Calculer, pour tout entier naturel k, P(X < k), puis donner la loi de X. n--1 p Q3. Calculer lim L Ù x) , puis en utilisant la Q1., déterminer un équivalent pour ñn au voisinage n--+0 n de +x de E(X). EXERCICE II On considère les équations différentielles : (E): x°y"+4xy'+(2- x°)y =1 (H): x?y"+4xy'+(2- x°)y =0 On note / = 10, + of, S,(E) l'ensemble des solutions de l'équation (E) sur let S,(H) l'ensemble des solutions de l'équation (H)sur 1. Q4. Donner, en justifiant, la dimension de l'espace vectoriel S,(H). Q5. Démontrer qu'il existe une unique solution f de (E) sur / développable en série entière sur KR. Vérifier que pour tout xe/, f(x) = NX | X --1 shx Q6. On note pour x el, g(x)=-- et h(x)=----. X X On admet dans cette question que geS,(E) et heS,(H). Donner, sans calculs, l'ensemble S,(E). Q7. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel S,(H) (solutions de (H) sur R ) ? 214 PROBLÈME Il existe de nombreuses méthodes pour déterminer la valeur de > --
n
n=1
Ce problème propose deux méthodes différentes de recherche de la valeur de
cette somme.
Q8.
Q9.
Q10.
Q11.
Q12.
Q13.
Question préliminaire
+00
+00 2
Si on admet que Dr L T = que vaut la somme De ?
n + n
n=1
Partie |
On note, pour tout entier naturel n, W, = [2 (sinx)"ax.
0
Calculer la dérivée de la fonction x+ (sin x)"*!, puis déterminer une relation
entre W.., et
W,.
. | 22 (n!Y
En déduire, pour tout entier naturel n, que W,,,,, =
(2n +1)!
Déterminer sur l'intervalle |-1, 1 le développement en série entière des
fonctions x =
1-- x
et X 1H Arcsin x.
+00 |
En déduire que pour tout x e 0 c X -- > Gr)!
: 25 2°" (nl) (2n +1)
2n+1
(sin x)" '.
T [oo 2
Justifier que [2 Ù n) (sin x}7*1 | dx = > fe (sin x)" Tax.
0 552" (nl) (2n+1) 277 ( Fe _--.
+00
En déduire la valeur de De
n
n=1
3/4
Q14.
Q15.
Q16.
Q17.
Q18.
Partie II
," r r = CN = 1 =
Donner sur l'intervalle ]-1 1 le développement en série entière de la fonction
x + PTE puis
X --
1
X
dx.
0 X?--1
calculer l'intégrale [
On donnera le résultat sous la forme de la somme d'une série numérique.
+® Arctan(xt)
0 1+ 2
df.
On pose pour xe [O, + of, f(X) -[
Démontrer que la fonction f est bien définie et est continue sur l'intervalle
[O,+ oo] .
Établir que cette fonction fest de classe C' sur l'intervalle 10,1] et exprimer
f'(x) comme une
intégrale.
x°t
Réduire au même dénominateur l'expression : et en déduire que pour tout
+17 1+1°x2
In x
xe [0,1, f'(x) =
JD, FO9=72
+00
Calculer f(1), puis en déduire la valeur de De
n
n=1
FIN
4/4
NATIONALE - 241089 - D'après documents fournis
IMPRIMERIE
