CCINP Maths 2 MP 2001

SESSION 2001 MP006

A

CONCOURS (0MMUNS POlYÏECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n°99--186 du 16/11/99.

UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON

Notations et définitions :

Dans tout le problème K désigne lRä ou (C et n est un entier naturel.

. . , . . ... 1
SI u est un endomorph1sme d un K-espace vectoriel E, on note u0 = sz et Vne N, 
u"+ = u 0 u .

On note KH [X] la K-algèbre des polynômes de degré inférieur ou égal à n, 7%" 
(K) la K--algèbre
des matrices carrées de taille n à coefficients dans K de matrice unité I" et 
GL " (K) le groupe des

matrices inversibles de 7%" (K) ; les éléments de 7%" (K) sont notés M = (m,. 
]) .

Pour une matrice A de 776" (K), on note 'A la transposée de la matrice A, rg(A) 
son rang,

)(A = det(A -- X I") son polynôme caractéristique et Sp(A) l'ensemble de ses 
valeurs propres.

Si P = X " +a...X""' +...+alX +a0 est un polynôme unitaire de K" [X] on lui 
associe
() O . . 0 -- ao
l 0 . . O --- al
. 0 l 0 . 0 -- (17
la matr1ce compagnon C ,. = " EUR 7%}, (K).

0.010 --a,,_2
O . . 01 --a"_]

(c'est-à--dire la matrice C,. = (c,--j) est définie par c,-j =l pour i--j=1, Cm 
=_ai--l et Cij :D

dans les autres cas).
Les parties II. III. et IV. utilisent les résultats de la partie I. et sont 
indépendantes entre elles.

Tournez la page S.V.P.

l\)

1. Propriétés générales

Dans cette partie on considère le polynôme P = X " +a X "' +...+a1X +a0 de K" 
[X] et C ,, sa

n--l

matrice compagnon associée.

1. Montrer que C,, est inversible si et seulement si P(O) # O.

2. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice C P et déterminer une 
constante k telle que
la = k P.

3. Soit Q un polynôme de K" [X], déterminer une condition nécessaire et 
suffisante pour qu'il

existe une matrice A de 7%" (K) telle que ;(A = Q .

4. On note 'CP la transposée de la matrice C P .
a. Justifier la proposition : Sp(C,.) =Sp(' C,.) .
b Soit  élément de Sp(' C P) , déterminer le sous--espace propre de [CP 
associé à À .

c. Montrer que 'C,. est diagonalisable si et seulement si P est scindé sur K et 
a toutes ses
racines simples.

d. On suppose que P admet n racines /'L1, /12, À" deux à deux distinctes, 
montrer que 'C,.
est diagonalisable et en déduire que le déterminant de Vandermonde

1 l . . l
>... 7.2 . . x,,
7L12 7t22 . . k,,2 est nonnul.
}Lln--l À2l'l--l . . knit--]

5. Exemples :

a. Déterminer une matrice A (dont on précisera la taille n) vérifiant :
A2002 = A2001 + A2000 +1999 In .

b. Soit E un K--espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E 
vérifiant:
f "" $ 0 et f " = O ; montrer que l'on peut trouver une base de E dans laquelle 
la matrice
de f est une matrice compagnon que l'on déterminera.

11. Localisation des racines d'un polynôme

Soit A = (a....) une matrice de 7%" (C), on pose pour tout entier 1.<. i S n : Il r,. =Zlaij' et D; = { zEC, z'Sri}. [=] X] 262 Pour X = EUR 7%" 1(@), on note HX" =max x,. \. _ " °° 1.<.iSu x" xl . x7 ., \ 6. 801t Àe Sp(A) et X = ' un vecteur propre assooee a À. X Il Montrer que pour tout entier 1 S i S n : 'À x,.| S nl.X"æ . 7. Démontrer que Sp (A) c ÜDk . [(=] X ""1 + ...+ a1X + a() un polynôme de C[X], établir que toutes les racines de , l+'a,,_ll }. 8. Soit P=X"+a P sont dans le disque fermé de centre 0 et de rayon R = max{ lao n--l ,l+|al ,l+la2 9. Application : Soit a, b, c et d quatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que l'équation d'inconnue n : / -- / n" +n) =n' +n' n'admet pas de solution sur N\{O,l }. III. Suites récurrentes linéaires On note E :(}N l'espace vectoriel des suites de complexes et si u est une suite de E, on écrira u(n) à la place de un pour désigner l'image de n par M. On considère le polynôme P = X " + a X "" +...+a0 de  À" est élément de 
F.

11. Soit ça l'application de F vers @" définie par : u l--> (u(0), u(1),..., u( 
p -- l)), montrer que ça est
un isomorphisme d'espaces vectoriels. Quelle est la dimension de F ?

12. Pour tout entier 0 S i S p --l on définit les éléments e,. de F par :

e,(i)=l et, lorsque OSjSp--l et j;éi, e,.(j)=0.
a. Déterminer pour OSiS p--l, e,.(p).

b. Montrer que le système de vecteurs (eo, e, e })_1) est une base de F.

p--l
c. Soit u un élément de F, établir que u : Zu(i)e, .
[:O

13. Si M est un élément de E, on définit l'élément f(u) de E par : f(u) : n 
l--> u(n+ 1). Montrer
que l'application f ainsi définie est un endomorphisme de E et que F est stable 
par f.

14. Si g est l'endomorphisme de F induit par f, montrer que la matrice de g 
dans la base
(eo,el,...,ep_,) est 'C,,.

15. On suppose que P admet p racines non nulles et deux à deux distinctes : 
À... /"L] , À {,_1 .

a. Déterminer une base de F formée de vecteurs propres de g.

b. En déduire que, si u est élément de F, il existe des constantes complexes 
ko, k......, k

telles que : Vne N, u(n) : kOÀS + klÀf' +...+ k ÂÏ)--1°

p--l

p--1

16. Exemple : (On revient àla notation usuelle un)

Soit a , b et c trois réels distincts.
Déterminer une base de l'espace vectoriel des suites définies par u0 ,ul et % 
et par la relation

de récurrence valable pour tout ne N :

Lt,,+3 = (a +b+c) un+2 -- (ab+ac+bc) u + abc un .

n+l

IV. Matrices vérifiant : rg(U -- V) = 1

Dans cette partie, pour une matrice A, on notera C A la matrice compagnon du 
polynôme (----l)" 95 A .

17. Une matrice A est-elle nécessairement semblable à la matrice compagnon CA ?

Pour tout couple (U, V) de matrices de GL" (K), on considère les deux 
propositions suivantes,
que l'on identifie chacune par un symbole :

(*): rg(U--V)=l

(**) : Il existe une matrice inversible P telle que U : P_'CUP et V : P"CVP.
18. Montrer qu'un couple (U, V) de matrices distinctes de GL " (K) vérifiant 
(**) vérifie (*).

19. Déterminer un couple (U, V) de matrices de GL2 (K) (n = 2) vérifiant (*) 
mais ne vérifiant

pas (**) et déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes Xu et Xv .

Dans la suite de cette partie, (U, V) est un couple de matrices de GL " (K) 
vérifiant (*) et tel que

)(U et xv sont deux polynômes premiers entre eux.

Soit E un K--espace vectoriel de dimension n et de base B, on désigne par u et 
v les

automorphismes de E tels que U (respectivement V) soit la matrice de u 
(respectivement v) dans la
base B.

Enfin on pose H= Ker (u -- v) .

20. Montrer que H est un hyperplan vectoriel de E. '

21. Soit F # {0} un sous--espace vectoriel de E stable par u et par -v 
c'est--à--dire :
u(F)CF et V(F)CF.

On notera u F (respectivement vF ) l'endomorphisme induit par u (respectivement 
v) sur F.
On rappelle que ){uF d1v1se %" .

a. Montrer que F n'est pas inclus dans H.

b. On suppose que F # E , montrer que F + H = E puis que l'on peut compléter 
une base
B F de, F par des vecteurs de H pour obtenir une base B' de E. En utilisant les 
matrices de u

et v dans la base B' montrer que l'on aboutit à une contradiction.

c. Quels sont les seuls sous--espaces stables à la fois par u et par v '?
22. Pourje N, on note G_, = {xe E, 14 " (x) EUR H}.

a. Montrer que les sous-espaces G]. sont des hyperplans vectoriels de E.

b. Montrer que ñGi # {0}.
'=0

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n--?.

c. Soit y un vecteur non nul de HG}. , on pose pour 0 5 j 5 n --l : ej : uj (y).
j=o '

Montrer que B" : (eo, el, ..., e ) est une base de E.

n--l

(On pourra considérer F =vect{y, u(y), u""(y)} où p est le plus grand entier 
naturel

non nul pour lequel la famille (y, u(y), u""' (y)) est libre).
d. Montrer que la matrice de u (respectivement v) dans B" est C U 
(respectivement Cv) .

e. Conclure.

23. Application :

Soit u et v deux automorphismes d'un K--espace vectoriel E de dimension n 
vérifiant :
rg(u--v) =l, xu(X) : (--1)"(X" +1) et xï_(X) : (--l)"(X" --l).

En utilisant une action de groupe, montrer que le groupe engendré par u et v 
est fini de
cardinal inférieur ou égal à (Zn) !.

Fin de l'énoncé.