CCINP Maths 2 MP 2002

SESSION 2002 A MPM207

CONCOURS (OMMUNS POLYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, àla précision 
et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

Introduction

Dans tout ce problème, les espaces vectoriels seront des R-espaces vectoriels. 
On appelle algèbre tout
R-espace vectoriel A qui est muni d'une opération interne nommée multiplication 
ou produit. Cette
multiplication est associative, et vérifie la propriété de distributivité :

Va EUR A,Vb EUR A,Vc EUR A, a(b+c) =ab+ac, (b+c)a= ba+ca
ainsi que:
Va EUR A,Vb EUR A,VÀ E R, a(Àb) : (Àa)b : À(ab)

On suppose de plus qu'il existe un élément noté 1 ou 1A et appelé élément 
neutre pour le produit, tel

que:
VaEA, a1=1a=a

Enfin si cette multiplication est commutative, l'algèbre est dite commutative. 
La dimension d'une

algèbre est sa dimension en tant qu'espace vectoriel. Une sous-algèbre de A est 
un sous--ensemble
non vide de A qui est lui--même une algèbre (pour les mêmes opérations) et qui 
possède le même
élément neutre que A. Pour que 18 soit une sous-algèbre de A, il suffit que ce 
soit un sous--espace
vectoriel de A, qu'il contienne 1 et que :

VbeB,Vb'elfià,bb'elfiä

On appelle morphisme d'algèbre entre deux algèbres A et IB, toute application 
linéaire f de A dans
B qui vérifie en plus :

Va EUR À,Va' EUR A, f(aa') =f(a)f(a') et f(1A) : IB

Tournez la page S.V.P

Un morphisme d'algèbre qui est une bijection est appelé isomorphisme d'algèbre. 
On vérifie alors
que son application réciproque est également un morphisme d'algèbre. On dira 
que deux algèbres sont
isomorphes s'il existe un isomorphisme d'algèbre entre les deux. Dans tout le 
problème, n désigne un
entier strictement positif. Dans ce cas, M,,(R) est l'espace vectoriel des 
matrices carrées à n lignes et
n colonnes et à coefficients réels ; c'est une algèbre pour les opérations 
habituelles. L'élément neutre
pour le produit est la matrice de l'identité, notée I,,. La trace d'une matrice 
A : (aij)1S,--Sn est :

15j5n
n
tI'(/--l) = 2 a,,--
i=l

C'est la somme des éléments diagonaux de la matrice A. Une matrice scalaire est 
une matrice de
la forme À]... où A est un réel. Une matrice diagonale est une matrice dont les 
éléments non diago--
naux sont tous nuls. L'ensemble des matrices scalaires et l'ensemble des 
matrices diagonales forment
chacun une sous--algèbre de MAR).

Ce problème étudie certaines propriétés des algèbres, et, en particulier, 
s'intéresse aux algèbres qui
sont des corps, c'est-à--dire dans lesquelles tout élément non nul admet un 
inverse pour le produit.

1. Étude d'un exemple

1. Soit A une matrice quelconque de M2(R). Vérifier que :
A2 ---- tr(A)A + det(A)b = O
2. Soit A une matrice non scalaire; on note A. l'ensemble
A = {M EUR M2(R)l 3(a,b) EUR R2, M : (112 + bA}

Vérifier que A est une algèbre de dimension deux, sous-algèbre de M2(R).

3. Montrer que A contient une matrice B telle que

B2 = --12 si, et seulement si, (tr A)2 < 4detA 4. Vérifier qu'alors 12 et B forment une base de A et en déduire un isomorphisme d'algèbre entre A et le corps C des nombres complexes. 5. On suppose que A est non scalaire et vérifie : (tr A)2 = 4 det A Déterminer toutes les matrices de A telles que M 2 = O, et en déduire que A n'est pas un corps. 6. Soit B une matrice non scalaire de M2(R). On lui associe l'algèbre ]B comme dans 1.2. Dé- montrer que si A et B sont semblables, A et IB sont des algèbres isomorphes. 7. On suppose que A est telle que : @rAYZ>4dOEJl

Vérifier que A est diagonalisable de valeurs propres distinctes. En déduire que 
A est isomorphe
à l'algèbre des matrices diagonales. Est--ce que A est un corps ?

II. Quelques résultats généraux

Soit ID> une algèbre de dimension finie n.

1. Soit a un élément de D, démontrer que l'application çba définie par :

çba:D---->D
a:+-->ax

est un endomorphisme de l'espace vectoriel II).

2. On note .%' une base de 1D).
Matæ($a) désigne la matrice de l'endomorphisme çba dans la base %. Démontrer 
que l'appli--

cation:
\11 :D -------> M,,(R)

a l--> Mâtg($a)

est un morphisme injectif d'algèbres. Vérifier que \II(D) est une sous--algèbre 
de M,,(R) et en
déduire que D est isomorphe à une sous--algèbre de M,,(R).

3. On suppose que D = C, corps des nombres complexes. On munit C, considéré 
comme R-
espace vectoriel, de la base % = (1, 2). Pour tout nombre complexe z = a + il), 
(a et b réels),
écrire la matrice Matæ(çbz).

4. Soit maintenant A une sous-algèbre de M,,(R). On s'intéresse à quelques cas 
où on peut affir-
mer que A est, ou n'est pas, un corps.

(a) On suppose que A. contient une matrice non scalaire A qui a une valeur 
propre réelle /\.
Montrer que A ne peut pas être un corps. On utilisera une matrice bien choisie, 
combinai--

son linéaire de I,, et de A.

(b) En déduire que si A contient une matrice diagonalisable ou trigonalisable 
non scalaire,
elle ne peut pas être un corps.

(c) On suppose que A est intègre, c'est--à--dire que :
VAEA, VBEA, AB=O=>A=OouB=O

Montrer que, si A est une matrice non nulle de A, l'application çbA : X +--> AX 
est un
isomorphisme de l'espace vectoriel A. En déduire que A est un corps.

111. L'algèbre des quaternions
On suppose qu'il existe deux matrices A et B de M,,(R) telles que :
A2 = --I... B2 = --1... AB + BA : 0 (*)

]. Démontrer que n ne peut pas être impair.

2. Démontrer que le sous--espace vectoriel lH[ engendré par les matrices [... 
A, B et AB est une
sous--algèbre de M,,(R).

Tournez la page S.V.P.

3. Lorsque t, a:, y et 2: sont des réels, calculer le produit :

(H,, + a:A + yB + ZAB)(Hn ---- a:A -- yB -- ZAB)

4. En déduire :

(a) que les quatre matrices [... A, B et AB sont indépendantes et forment une 
base de H ;

(b) que H est un corps.

5. On suppose dans toute la suite du problème que n = 4 et, en notant J la 
matrice J =

(O _1) et 0 la matrice nulle de M2(R), on définit les matrices A et B de M4(R) 
par :

10
_J 0 _ 0--12
A--(o _,) B--(12 .)

On pose également C = AB.

(a) Vérifier que les matrices A et B satisfont la condition (*). On appellera 
donc H le sous--
espace vectoriel de MAR) engendré par 14, A, B et C = AB. Ses éléments sont 
appelés
quaternions. La base (14, A, B, C ) de H sera notée .%'.

(b) Soit M une matrice non nulle de H, vérifier que tM E H; quel lien y a t-il 
entre M "1 et
tM ?

IV. Les automorphismes de l'algèbre des quaternions

]. On appelle quaternion pur un élément M de H tel que M = JM . Vérifier que 
l'ensemble
des quaternions purs est un R-espace vectoriel de dimension trois et de base % 
= (A, B, C ).
On le note L Est-ce une sous--algèbre de H ?

2. On munit IL de la structure d'espace vectoriel euclidien telle que la base % 
soit orthonormée. Le
produit scalaire de deux éléments M et N de L est noté (M |N ), la norme de M 
s'écrit ||M ||.

Vérifier que :

%(MN + NM) = --(M|N)14

3. Montrer qu'un quaternion est pur si, et seulement si, son carré est une 
matrice scalaire de la
forme /\I4 où A est un réel négatif.

4. Soit çf) un isomorphisme d'algèbre de H dans lui--même. Démontrer qu'il 
transforme tout qua--
ternion pur en un quaternion pur de même norme, et que la restriction de @ à L 
est un endomor-
phisme orthogonal.

5 . Soient M et N deux quaternions purs. On veut démontrer que si M et N ont 
même norme,
alors il existe P E H, non nulle, telle que :

M : P'1NP

(a) Commencer par examiner le cas où M et N sont colinéaires.

(b) On suppose maintenant que M et N ne sont pas colinéaires. Vérifier que si M 
et N ont
même norme :

M(MN) -- (MN)N = IlMIIZ(M--N)
et en déduire une matrice P non nulle telle que .M P : PN.

6. Montrer qu'alors, si on écrit P = 0514 + Q, avec & réel et Q E lL, @ est 
orthogonal à M et à N.

7. En déduire que tout isomorphisme d'algèbre çb de H dans lui--même est défini 
par :
çb(M ) = P_1M P

où P est un élément non nul de H. On pourra observer qu'un tel isomorphisme est 
déterminé par
l'image de A et de B, et commencer par chercher les isomorphismes qui laissent 
A invariante.

Fin de l'énoncé.