CCINP Maths 2 MP 2005

SESSION 2005 MPM2007

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏE(HNIOUOES

EPREUVE SPEClFIQUE - F ILIERE MP

' MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

RACINES CARRÉES DE MATRICES

Notations

Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note :
M ,, (IR) la IR - algèbre des matrices carrées réelles de taille n.

Mm1 (IR) le IR - espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne.
GLfl (IR) le groupe des matrices inversibles de M " (IR) .
I" la matrice unité de M " (IR) .

[d l'application identité de IR".
Pour une matrice A de M n ( IR) , 'A est sa matrice transposée.

Sn (IR) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M " (IR) .

S + (IR) l'ensemble des matrices symétriques positives de M " (IR) , 
c'est-à-dire des matrices A de

Il

Sn (IR) vérifiant : pour toute matrice X E M...] (IR), 'XAX Z 0.

Si x, ,x,,...,xn sont des réels, on note diag(x, ,x,,...,xn) la matrice 
diagonale de M " (IR) qui admet

pour coefficients diagonaux les réels x, ,x,,..., xn dans cet ordre.

Si p est un entier naturel non nul, on notera || IL0 la norme infinie sur IR" :

h"=maxl
oe [

lSiSp

' __ 17
Si x-(x,,...,xp)eIR ,

Si (: EUR IR" et r > 0, on note B,, (a, r) la boule ouverte de centre a et de 
rayon r pour la norme " ||æ .

Obiectifs

Soit A une matrice de M" (IR) , on dit qu'une matrice R de M" (IR) est une 
racine carrée de A si

R2 = A.
On note Rac(A) l'ensemble des racines carrées de A, c'est--à--dire

Rac(A) : {R E M,, (R), R' = A} .

Le problème propose de déterminer les racines carrées de A dans différents 
exemples, (on pourra
constater qu'une matrice peut admettre parfois une infinité de racines) et 
d'étudier quelques

propriétés topologiques de Rac(A) .

Les trois parties du problème sont indépendantes.
Les trois premiers exemples de la partie I sont tous indépendants.

I --- DÉTERMINATION DE Rac(A) DANS QUELQUES EXEMPLES

Exemple 1 : Cas où A possède n valeurs propres distinctes
On suppose que la matrice A e M " (IR) admet n valeurs propres réelles Â, < À, < < À" . 1. Justifier l'existence d'une matrice PeMÆR) inversible telle que A=PDP'l où D : diag(À, ,À,,...,Àn ) , puis montrer que R est une racine carrée de A, si et seulement si la matrice S : P"'RP est une racine carrée de D. 2. Racines carrées de D Soit S une racine carrée de D. a Montrer que DS : SD. En déduire que la matrice S est diagonale. b. c. On note alors S : diag(s,,s,,...,sn). Que vaut si2 lorsque ie {l,...,n} ? d. e. Que peut--on dire de Rac(A) si A admet une valeur propre strictement négative ? Si on suppose que toutes les valeurs propres de A sont positives ou nulles, déterminer les racines carrées de la matrice D. On pourra poser 8, EUR {--1,+l} pour i & {l,..., n} . 3. Écrire toutes les racines carrées de A à l'aide de la matrice P. Combien de racines carrées A admet--elle ? (On discutera selon le signe des valeurs propres de A). 4. Application : 11 --5 5 Écrire les racines carrées de A: --5 3 --3 à l'aide de la matrice P que l'on 5 ---3 3 déterminera. Exemple 2 : Cas où A est la matrice nulle de MH (IR) Dans cet exemple, on cherche à déterminer les racines carrées de la matrice nulle. Soit R E M n ( R), une racine carrée de la matrice nulle. 5. Soit f l'endomorphisme de R" dont R est la matrice dans la base canonique de R". On note r le rang def. . n a. Comparer Im f et Ker f pu1s montrer que r 5 --2--. b. On suppose f non nul, donc r 21 . Soit (e.,...,er) une base de Im f que l'on complète avec (e,.+,,...,en_,.) pour former une base de Ker f . Pour ie {l,...,r} , on note "; le vecteur tel que f (ui) : e, . Montrer que la famille B =(e,,... e ul,...,u,) est une base de R" puis écrire la ' n---r ' matrice de f dans la base B . On notera M , cette matrice. 6. 3. Déterminer les racines carrées dans M n (R) de la matrice nulle. b. Application : déterminer dans M 4 ( IR) , les racines carrées de la matrice nulle. Exemple 3 : Cas où A : In 7. Soit R une racine carrée de l'unité ] . Il a. Vérifier que R est une matrice inversible. b. Montrer que R est semblable à une matrice diagonale que l'on décrira. 8. Déterminer Rac(lfl) . On pourra poser EUR,. EUR {--l,+l} pour ie{1,...,n} . Exemple 4 : Cas où A est une matrice symétrique réelle Dans cet exemple, toutes les matrices que l'on considérera appartiennent à M ,, (R) . 9. Une matrice symétrique admet-elle nécessairement une racine carrée ? 10. Montrer qu'une matrice symétrique positive admet au moins une racine carrée qui est elle même symétrique et positive. Remarque : On peut montrer l'unicité de cette racine carrée dans Sn+ (IR) mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème. Il -- ÉTUDE TOPOLOGIQUE DE Rac(A) Si A est une matrice de M,,(R) qui a pour coefficients (a.... )1<' , on définit une norme en ,_j$n a,._jl . On munit M n ( R) de cette norme N. posant N (A) = max ISA/Sn 11. Fermeture de Rac(A) Soit A une matrice de M ,, ( R) . Montrer que Rac(A) est une partie fermée de M ,, ( R) . 12. Étude du caractère borné de Rac(ln) a. Un exemple instructif 1 0 J. Calculer Sq2. Rac(l,) est-elle une q _ Pour tout entier naturel q, on pose S q =( partie bornée de M , (IR) ? b. Rac(ln) est-elle une partie bornée de M n ( R) pour n 2 3 ? c. Application : pour cette question, n 2 2 . Montrer qu'il n'existe pas de norme " " « surmultiplicative » sur GL" (R) , c'est-à-- dire vérifiant pour tous A et B dans GL" ( R) , "AB" ?. "A""B" . III -- ZÉROS DE FONCTIONS POLYNOMIALES. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DE L'INTÉRIEUR DE Rac(A) Soit p un entier naturel non nul. On munit R" de la norme infinie " "oe . On note FP l'ensemble des fonctions polynomiales sur R" , c'est-à-dire : si Pe FP , il existe N un entier naturel et une famille de réels {a. lSi,,...,i < N } tels que :, ..... t,,' p-- _ "l I' V(x,,x,,...,xp)ell><...xIp, P(x,,x,,...,xp)-- z ail_____ipxl...xp. lSt, ,...,1,,.<.N Par exemple si p = 3 , P(x, ,x,,x,) : 5x12 + 3x,x,x3 + 4xî est une fonction polynomiale sur R' . Si p = l , F, est l'ensemble des fonctions polynômes sur R . Enfin, si Pe FP , on pose Z(P) : {(x,,x,,...,xp)e RP, P(x,,x2,...,xp)= O} (Z(P) est l'ensemble des zéros de la fonction polynomiale P). L'objectif de cette partie est d'étudier l'intérieur de Z (P), afin de déterminer l'intérieur de Rac(A). On rappelle que si Q est une partie de R" , un vecteur a de R" est un point intérieur à Q s'il existe un nombre réel r strictement positif tel que B,, (a,r) (: Q et que l'intérieur d'une partie est l'ensemble de ses points intérieurs. 13. Questions préliminaires : a. Soit a : (a,,...,ap)e R" et r > 0. Montrer que Bao (a,r) peut s'écrire comme 
produit

de p intervalles.

b. Soient F et G deux parties de R". On suppose que F et G sont d'intérieur 
vide,
montrer que F 0G est encore d'intérieur vide.

14. Exemples d'ensemble des zéros de fonctions polynomiales
a. Dans cette question p = 1. Soit P une fonction polynôme sur IR . Dans quel 
cas Z (P)

est-il infini ? Justifier votre réponse.
b. Dans cette question p = 2 . On considère P(xl,x2) : 2x, --x2 --1 et Q(x, 
,x2) = x,2 --x2 .

Représenter graphiquement dans le plan R2 les ensembles Z (P) et Z (Q).
Z (P) et Z (Q) sont--ils infinis ?

15. Intérieur de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale
Soit P & FP .

a. Soient I,,12,...,I p des parties infinies de R . Montrer par récurrence que 
si la fonction

polynomiale P s'annule sur [] >< 12 x >< Ip , alors P est la fonction nulle. b. En déduire que si P s'annule sur une partie d'intérieur non vide, P est la fonction nulle. c. Si l'on suppose que P n'est pas la fonction nulle, que vaut l'intérieur de Z (P) ? 16. Application à l'étude de l'intérieur de Rac(A) Dans cette question, on confondra les espaces vectoriels Mn (R) et R" . Par exemple, on . , , , o 2 . prendra la liberte d ecr1re que pour M e M " ( R), M = (m,. ,)l<_ _< EUR R" , sans se souc1er de '- _uj_n l'ordre des termes. Soit A une matrice de MH (R). , . , 2 . . . a. Ecrire Rac(A) sous forme d un sous--ensemble de R" purs montrer qu'il ex1ste des éléments P],PZ,...,P. de I'n2 tels que Rac(A)=ûZ(P,). n" h. Déterminer l'intérieur de Rac(A). Fin de l'énoncé