CCINP Maths 2 MP 2006

SESSION 2006 MPM2006

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

***

QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE

Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n 2 2 
et on note ( | ) un

produit scalaire sur E et " H la norme associée.

Si x,, x2, ...,x sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x,, 
x2,...,x notée

p 179

G(x,, x2, ..., xp), la matrice de ÿl/lp(lR) de terme général (x,. ' x_,) pour 
IS i S p et 15 j 5 p :

(x,lxl) (xl|x2) (x,|x,,)
(x2lxl)

G(x,, x2, ..., xp) :

(xplx1) . (xplxp)
on notera 1"(x| , x2, ..., xp) son déterminant: F(xl , x2, xp) : det G(xl , x2, 
..., xp).

Si A est une matrice de MM (IR) , le noyau de A est, par définition,

Ker(A) : {X EUR Mq_1(R),AX : O}

Par ailleurs, on note :
pour n entier n 2 2 , En l'espace R" muni du produit scalaire canonique à la 
fois considéré
comme espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien.

[. GÉNÉRALITÉS

]. Résultat préliminaire
a. Que peut--on dire d'une matrice Y G MM (IR) vérifiant 'Y Y = 0 ?

b. Si A EUR M,", (IR) , montrer que Ker (' A A) c Ker A puis en déduire que
rang ('A A): rang A.

2. On donne xl , x2 , ..., xp p vecteurs de E.

Si @ : (el, e,, ..., en) est une base orthonorrnale de E, et si A est la 
matrice de MM (IR)
dont les colonnes sont les composantes des vecteurs xl , x2 , ..., x p dans la 
base OE , montrer
que G(xl, x,, ..., xp) : 'A A.

Quel lien existe entre le rang de la matrice G(x... x,, ..., x p) et le rang de 
la famille de

vecteurs (xl , x2 , ..., xp) '?

3. Dans cette question, p = n .
a. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur l"(xl , x,, 
x") pour que la

famille (xl , x2 , x") soit liée.

b. Montrer que la famille (x1 , x2 , ..., x") est libre si, et seulement si, 
l"(xl , x,, ..., x") > O.

4. Application
L'angle géométrique d'un couple (u,v) de vecteurs non nuls de En est le réel oc 
& [O, n]

(" IV)
Hull IIVII'

Si A, B et C sont trois points de E3 situés sur la sphère de centre O et de 
rayon 1, si on

vérifiant: cos oc :

___--

désigne par or, 6 et y l'angle géométrique des couples respectifs (OA, OB), 
(OB, OC) et

(O2, O_O) , montrer en utilisant une matrice de GRAM que :
1+2cosa cosB cosy Z cos'oc+cosOE+cos'y.
Que se passe--t-il dans le cas où les points A, B et C sont sur un même cercle ?

5. Interprétation géométrique de la matrice de GRAM
a. Si a, b et y sont trois vecteurs de E tels que le vecteur a soit orthogonal 
à la fois au

vecteur b et au vecteur y, trouver une relation entre les déterminants
F(a+b,y), F(a,y) et F(b,y).

b. Si (x, y) est une famille libre de deux vecteurs de E2 , si F : vect{y} et 
si 2 est le projeté
orthogonal du vecteur x sur F, montrer que F(x, y) : F(x -- z, y).

11.

c. En déduire que si A, B et C sont trois points non alignés de E , ldl"(îB, 
AC) est l'aire

2

du triangle ABC (donc, dl"(AB, AC) est l'aire du parallélogramme << formé par A, B et C »). De la même façon on montre que si A, B, C et D sont quatre points non coplanaires de E , dF(AB, AC, AD) est le volume du parallélépipède << formé par A, B, C et D » que l'on désignera par parallélépipède ABCD. On ne demande pas de prouver ce résultat. a. Vérifier que ce résultat permet de retrouver la formule usuelle du volume du parallélépipède rectangle. b. A l'aide de ce résultat écrire un petit algorithme en français qui, avec la donnée des coordonnées des points A, B, C et D, calcule le volume du parallélépipède ABCD ou affiche que les points sont coplanaires. On pourra considérer que l'algorithme suppose connu le calcul du déterminant. c. Après avoir entré cet algorithme dans la calculatrice, indiquer les résultats qu'elle donne dans chacun des cas suivants : i. A=(1,2,0), B=(l,--l,3), C=(--l,--2, O) et D=(3, --1,0). ii. A=(l,--l, 2), B=(3,4,--7), C=(O,3, O) et D=(O, 2,1). iii. A=(8,0,â--), B=(O,l,--l), C=(--%,2,0) etD=(3,3, 0). POINTS ÉQUIDISTANTS SUR UNE SPHÈRE EUCLIDIENNE Dans cette partie, m est un entier naturel, m 2 2 , et test un réel, ! :t 1 . La famille de m vecteurs distincts (x, , x2 , ..., x...) de l'espace E, de dimension n 2 2, est solution du problème P(m, [) si : 7. tous les vecteurs x, , x2 , ..., xm sont de norme 1 et pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et m, (x, | x j ) = t . Résultats préliminaires a. Montrer que si (x,, x,, ..., xm) est solution du problème P(m, !) alors, pour tout couple x, -- x j " est constant. (i, j) d'entiers distincts entre l et m, b. Sans aucun calcul de déterminant, donner en le justifiant, le polynôme caractéristique de la matrice J & ÿVlm (R) dont tous les éléments sont égaux à 1. c. En déduire que si (x,,x2,...,xm) EURSt solution du problème P(m,t), alors I'(x,, x,, x...) = (] --t)""'(l + (m --l)t). Conditions nécessaires a. Montrer que, pour que (x,,x2,...,xm) soit une famille libre de vecteurs solution du ----1 m--l' problème P(m, !) , il est nécessaire que t es ] l [ et que m 5 n. b. Montrer que, pour que (x,, x,, ..., xm) soit une famille liée de vecteurs solution du --- 1 m -- 1 (on pourra montrer qu'alors, la famille (xl , x2 , ..., xm_l) est libre). c. Application Existe--t-il dans E3 cinq vecteurs distincts qui deux à deux forment un même angle obtus problème P(m, !) , il est nécessaire que t = et que m S n +1 9 , c'est-à-dire tel que 9 EUR }Ë,Tt[ ? 9. Exemple du cas n = 2 Déterminer pour m .>. 3, une famille (A,, A,, ..., A...) de points de E , telle 
que la famille

de vecteurs (OZ, (Î4Ç, ...,OAm ) soit solution du problème P(m, !) en précisant 
le couple
(m, !) . Placer ces points sur une figure.

10. Exemple du cas n = 3
On suppose que 11: 3 et le}:--1--,l{.

2t+1

On pose a-- - et I):

a. Soit u un vecteur unitaire de R3 et H un sous es ace su lémentaire ortho 
onal de vect u
p PP g

dans R3 , justifier qu'il existe une famille (y,, y2, y,) de vecteurs de H 
solution du
--1
problème P(3, Î).

b. Si on pose alors pour tout ie {1, 2, 3}, x, = a y, +!) u , montrer que (xl, 
x,, x3) est une
famille libre de vecteurs solution au problème P(3, !) .

c. A quelle condition nécessaire portant sur oc EUR ]O,7t[ , existe--t--il 
trois points A1, A2 et A3 de

la sphère de centre O et de rayon 1 de E3 tels que les trois angles 
géométriques des couples

(5ÀÎ, O/ÎZ), (OX, @) et (OE, @) soient égaux à oc ?
Remarque : on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4.

111. THÉORÈMES d'APOLLONIUS

On rappelle que si OE = (al, a,, ..., an) est une base de E et si f est une 
forme bilinéaire

symétrique sur EXE, la matrice de f dans la base @ est la matrice symétrique S 
de
M,, (R) définie par : S = ( f (a, , a] )). Par ailleurs, si x et y sont deux 
vecteurs de E où X et

Y sont les matrices de 9Vlml (R) représentant leurs composantes dans la base @, 
on a
f(x, y)='XSY-
11. Soit < , > un autre produit scalaire sur E, on considère (a,, a,, ..., a") 
et (bl, b,, ..., bn)

deux bases orthonormales de E pour ce produit scalaire.
On note P la matrice de passage de la base (a, , a2 , ..., an) vers la base 
(17] , b2 , b ).

n

Montrer que, pour le produit scalaire ( | ), G(bl , b2 , ..., bn) : P"1 G(a1 , 
a2 , ..., a") P

" n

puisjustifier que Z(a,l a, ) : Z(b,l b, ).

i=l i=l

12. Dans E , de repère orthonormé (O,el,ez), on considère l'ellipse C d'équation

2 2
x . , . . .
--2-- + %,-- =1 ou a et b sont deux reels strictement pos1t1fs.
a
. , , . . . 2 u v u' v' . ,
a. Just1fier que l on defimt un produit scala1re sur R par .

Donner un exemple simple de deux diamètres conjugués de C .
c. Dans cette question, on demande de faire une figure.
Soit M 0 un point de coordonnées (x... yo) de C , montrer en utilisant un 
vecteur gradient,

xxo+YYO

2
a b2

la droite D qui passe par O et parallèle à T a pour équation cartésienne  : O .

que l'équation de la tangente T à la courbe C en M 0 est : l. En déduire que

___-->

Si on note M O' un point d'intersection de D et C , montrer que les vecteurs OM 
0 et

OM O' sont des diamètres conjugués de C .

(1. Si M et M ' sont deux points de C tels que les vecteurs OM et OM ' soient 
des diamètres
conjugués de C , démontrer les deux théorèmes d'Apollonius suivants :

i. OM2 +OM' 2: a2 +!)2 (précision: OM2 : (ÜM| 5M)).

ii. L'aire du parallélogramme << formé par O, M et M ' >> est constante égale à 
a b .

IV. RECHERCHE D'UNE ISOMETRIE AFFINE

13. On note O(En) le groupe des automorphismes orthogonaux de En .

Soit (x,, x,, xn) et ( y,, y,, ..., y") deux familles de vecteurs de En 
vérifiant

G(x,, x,, ..., xn) =G(yl, y,, ..., y").

On veut montrer qu'il existe ueO(E ) vérifiant: pour tout entier ie{l,2,...,n},

n
u(X.> = y.-

On note p =rang(x,, x,, ..., x") =rang(y,, y,, ..., y"), et on considère que 
les vecteurs
sont numérotés de sorte que (x,, x,, ..., x p) et (y,, y,, ..., y p) soient 
deux familles libres

de vecteurs.

On pose alors V = vect{x,, x,, ..., x }: vect{x,, x2, x . x },

3 p) ") n

17

W : vect{y,, y,, ..., yp}= vect{yl, y,, ..., yp, ..., yn },

14.

on note (6 e en) une base orthonormale de Vl

p+l' p+2' ...»

et (e' e' ..., e'n ) une base orthonormale de Wl .
Soit u un endomorphisme de E défini par :

pour ie {l, 2, ..., p} u(x,) : y,. et pour ie {p+l, p+2, ..., n} u(e,) : e'l..

p+l ' p+2 '

?

Montrer que u conserve le produit scalaire.
b. Pour tout entier i EUR {p + 1, p + 2, ..., n}, montrer que y,. -- u(x,) E W 
(\ Wi.
c. Conclure.

On donne (A1, A2, ..., A") et (B] , B,, ..., En) deux familles de points de En 
vérifiant pour
A,AJ. = "13,3,

tout couple d'entiers (i, j) compris entre l et n, et on veut montrer qu'il

existe une isométrie affine f de En vérifiant pour tout entier i E {l, 2, ..., 
n}, f (A,) : B, .

a. Si on pose pour tout entier i & {l, 2, ..., n}, x,. = A] A, et y,. = B1 B, , 
montrer que, pour tout
couple d'entiers (i, j) compris entre 1 et n, (x,. ' x j.): (y, 1 y.].).

b. Conclure.

Fin de l'énoncé