CCINP Maths 2 MP 2009

 

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A MPM2006

CONCOURS (OMMUNS POI.YTECHNIOUES

SESSION 2009

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* * *

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision 
et a la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur

sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené

à prendre.

Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

Remarques :
... Il n'est pas demandé le détail des calculs sur la copie lorsque le candidat 
aura besoin de

calculer un déterminant, un produit de matrices, l'inverse d'une matrice ou 
tout autre calcul.
Par exemple, pour un déterminant, il pourra se contenter d'écrire le 
déterminant à calculer

et de donner la réponse.
---- On rappelle que le candidat doit indiquer les théorèmes utilisés et 
lorsqu'il s'agira des

théorèmes de Bézout et Gauss il indiquera leur nom.

PREMIER EXERCICE

Soit E un IR--espace vectoriel, u un endomorphisme de E et P un polynôme à 
coefficients réels.
1. Si À est une valeur propre de u, démontrer que P (À) est une valeur propre 
de l'endomorphisme
P(u) de E.
2. On suppose que P(u) est l'endomorphisme nul : P(u) = 0.
(a) Montrer que toute valeur propre de u est racine de P.
(b) Réciproquement, toute racine de P est--elle valeur propre de u ?

3. On suppose dans cette question que E est un IR--espace vectoriel de 
dimension impaire et
que u est un endomorphisme de E vérifiant u3 -- u2 + u -- id = 0. Déterminer le 
Spectre de u.

1/4

DEUXIÈME EXERCICE

On munit IR3 de sa structure euclidienne canonique et on note (e1,e2,e3) sa 
base canonique.
On note w = 261 + 382 + 63 et H le plan vectoriel d'équation 2:L' + 3y + z = 0. 
On note 3 la
symétrie orthogonale par rapport au plan H et S la matrice de 3 dans la base 
(e1,e2,e3) de IRB.

1. Donner une base (u, U) du plan H et justifier, sans calcul, que (u, 'U, w) 
est une base de IR3.
2. Écrire la matrice S' de la symétrie s dans la base (u, v, w).

3. En déduire la matrice S .

PROBLÈME : RÉSULTANT DE DEUX POLYNÔMES

I. Définition et propriétés

Soit p et q deux entiers naturels non nuls, soit

P C]
P = zaka et Q : Zb,,X'"
k=0 k=0

deux polynômes de C[X] avec (L,, 74 O, bq # O.
Le résultant des polynômes P et Q est le nombre complexe noté Res(P, Q) :

ao bo
CL1 (91

cm ' bo

Res(P, @) : ap al ao 191
al bq

% È

ap bq

C'est un déterminant q + p colonnes, dont les q premières colonnes représentent 
les coefficients
du polynôme P et les p suivantes représentent les coefficients du polynôme Q ; 
les positions non

remplies étant des zéros.
Par exemple, si P = 1 + 2X + 3X2 et Q = 4 + 5X + GX2 + 7X3,

0
O
Res(P, Q) = 1
2
3

oc>oeoe»--
OO--DN)r--*O
Ox]OEOEA>
flOEOEA>O

La matrice servant à définir Res(P, Q) pourra être notée M p)Q :
Res(P, Q) : det MP,Q-

On note E : Cq_1[X] >< Cp_1[X] et F : Cp+q_1[X]. Soit u l'application de E vers F définie pour (A, B) E E par : u(/--l, B) : PA + QB. 1. Cas où u est bijective (a) Démontrer que u est une application linéaire. (b) Si on suppose que u est bijective, démontrer que P et Q sont premiers entre eux. 2/4 (c) Si on suppose que P et Q sont premiers entre eux, déterminer Keru et en déduire que u est bijective. 2. Matrice de u On note 8 == ((1,O),(X,O),...,(Xq"l,0),(O,l),(O,X),...,(O,XP"'1)) une base de E et B' = (1,X, ...,Xp+q"l) la base canonique de F. (a) Déterminer la matrice de u par rapport aux bases 3 et B' . (b) Démontrer que Res(P, Q) # 0 si et seulement si, P et Q sont premiers entre eux (donc Res(P, Q) = 0 si et seulement si, P et Q ont au moins une racine commune complexe). 3. Racine multiple (a) Démontrer qu'un polynôme P de C[X ] admet une racine multiple dans @ si et seulement si, Res(P, P') = 0. (b) Application : déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme X 3 + aX + b admette une racine multiple. II. Applications 4. Equation de Bézout Dans cette question, on note P = X4 + X3 + 1 et Q = X3 ------ X + 1. (a) Démontrer, en utilisant la première partie, que les polynômes P et Q sont premiers entre eux. (b) On cherche un couple (A0, B0) de polynômes de C[X] tel que PAO + QBO : 1. Expliquer comment on peut trouver un tel couple en utilisant la matrice de u puis donner un couple solution. (0) Déterminer tous les couples (A, B) de polynômes de C[X ] vérifiant PA + QB : 1. On pourra commencer par remarquer que, si (A,B) est un couple solution, alors P(A "" AO) : Q(Bo "" B)- 5. Equation d'une courbe (a) On considère la courbe F de représentation paramétrique t2+t t2--t+1 pourtEURlR. f--"\--x QOE É"? /"\/'\ <--+-- @-- VV ll ll Etudier et construire la courbe P, on précisera les branches infinies. (b) On se donne deux polynômes P et Q à coefficients réels et l'on pose, pour (a:, y, t) E IRB, A(t) = P(t) -- a: et B(t) : Q(t) -- y. Etablir que si un point M de coordonnées (a:, y) appartient à la courbe de représentation paramétrique pour t E IR f'""\ @ & @@ \-/V || || ©"U /'\/'\ @+-- @+-- VV alors les fonctions polynômes A et B ont une racine commune. En déduire qu'un point M de coordonnées (513, y) appartenant à. la courbe I' vérifie : oe2+y2--2oey--4y+3=0. 3/4 (c) Expliquer brièvement et sans calcul, à partir de la matrice de la forme quadratique définie sur IR2 par q(a:, y) : £L'2 +y2 -- 2æy, la nature de la courbe d'équation cartésienne æ2+y2--2æy--4y+3=0. 6. Nombre algébrique En utilisant les polynômes P(X) = X2 -- 3 et Qy(X) : (y -- X)2 - 7, déterminer un polynôme à coefficients entiers de degré 4 ayant comme racine \/3 + \/'7 . Quelles sont les autres racines de ce polynôme ? Fin de l'énoncé 4/4