CCINP Maths 2 MP 2010

SESSION 2010 MPM2006

A

CONCOURS (OMMUNS POIYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* >|< * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en eapliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R--espace vectoriel de dimension finie n > 1. 
On note id
l'endomorphisme identité de E, MAR) le R--espace vectoriel des matrices réelles 
carrées de
taille n.

Si E1 et E2 sont des sous--espaces vectoriels de E supplémentaires, 
c'est--à--dire E : El @ E2,
on appelle projecteur sur El parallèlement à EZ l'endomorphisme p de E qui, a 
un vecteur a:
de E se décomposant comme a: = 331 + 332, avec (331, 332) EUR El >< E2, associe le vecteur 331. On rappelle que si A est une matrice de MAR), la matrice exponentielle de A est la matrice : +oo Ak exp(A) : Ü' k=0 ' De même si u est un endomorphisme de E , l'exponentielle de u est l'endomorphisme : +oo uk exp(u) : --. k=0 k! 1/4 SESSION 2010 MPM2006 A CONCOURS (OMMUNS POIYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * >|< * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en eapliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R--espace vectoriel de dimension finie n > 1. 
On note id
l'endomorphisme identité de E, MAR) le R--espace vectoriel des matrices réelles 
carrées de
taille n.

Si E1 et E2 sont des sous--espaces vectoriels de E supplémentaires, 
c'est--à--dire E : El @ E2,
on appelle projecteur sur El parallèlement à EZ l'endomorphisme p de E qui, a 
un vecteur a:
de E se décomposant comme a: = 331 + 332, avec (331, 332) EUR El >< E2, associe le vecteur 331. On rappelle que si A est une matrice de MAR), la matrice exponentielle de A est la matrice : +oo Ak exp(A) : Ü' k=0 ' De même si u est un endomorphisme de E , l'exponentielle de u est l'endomorphisme : +oo uk exp(u) : --. k=0 k! 1/4 Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d'exponentielle de matrice a l'aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable Dans la dernière partie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances a des parties. Les quatre parties sont indépendantes. I. Questions préliminaires . . 0 1 0 0 l. 801t les matrices A -- 0 0 et B _ 1 0 . Calculer exp(A), exp(B), exp(A) exp(B) et exp(A + B) (pour exp(A + B), on donnera la réponse en utilisant les fonctions ch et sh). 2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices A et B de MAR) vérifient l'égalité exp(A) exp(B) : exp(A + B). II. Un calcul d'exponentiefle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas diagonalîsable Soit A E Mn(lR) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont : À1<À2<"'<À... où 7° désigne un entier vérifiant 1 { 7° { n. 3. Polynôme interpolatcur de Lagrange : on note IRT_1[X] le R--espace vectoriel des polynômes a coefficients réels de degré inférieur ou égal a 7° -- 1. On considère l'application linéaire çb de RT_1[X] dans IR" définie par : P '_> (P(À1),P(À2),. ' ' 7P(À7'))'

Déterminer le noyau de çb, puis en déduire qu'il existe un unique polynôme L de 
IRT_1[X] tel
que pour tout 7 EUR {I, . . . ,7°}, L(Ài) : eÀ'L'.

4. Pour 7' EUR {I, . . . ,7°}, on définit le polynôme ZZ- de RT_1[X] par :

" X--Àk
k=1 " '"
k7£75

(a) Calculer Zi(Àj) selon les valeurs de 7' et j dans {l, . . . ,7°}.

(13) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des 
polynômes

ZZ- avec 7 EUR {l,...,7°}.
5. Une propriété de l'emponcntz'cllc : soit P une matrice inversible de MAR) et 
D une matrice
de MAR).

(a) Justifier que l'endomorphisme de MAR) défini par M |--> PM P_1 est une 
application
continue.

(13) En déduire que :

exp(PDP_l) : Pexp(D)P_l.

2/4

Déduire des questions 3. et 5. que exp(A) : L(A).

On suppose que E est munie d'une base 13 et on désigne par ?} l'endomorphisme 
de E dont la
matrice par rapport a B est A. Soit A une valeur propre de v, et a: un vecteur 
propre associé.
Démontrer que pour tout polynôme P E R[X], on a :

P(v)(a:) : P(À)æ.

Soit 2' EUR {1, . . . ,7°}, on note E, : Ker(v -- À,-- id) le sous--espace 
propre de ?} associé a À,--.
(a) Démontrer que l'endomorphisme de E, p,-- : Z,-(v) est le projecteur sur E,, 
parallèlement

a @ E;, (on dit que les p,-- sont les projecteurs spectraux de v).
k = 1
k #75
(b) En déduire une expression de exp(A) comme une combinaison linéaire de 
matrices de
projecteurs.

III. Un calcul d'exponentiefle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, 
cas
non diagonalîsable

Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme minimal est (X -- 1)2(X -- 2).

9.
10.

11.
12.
13.

14.

15.

16.

L'endomorphisme u est--il diagonalisable ? Justifier la réponse.
Écrire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire de M3(R) dont 
l'endomorphisme
canoniquement associé a pour polynôme minimal (X -- 1)2(X -- 2).
Démontrer, sans aucun calcul, que E : Ker(u -- id)2 @ Ker(u -- 2 id).
On considère les endomorphismes de E : p = (u -- id)2 et q = u 0 (2 id --u). 
Calculer p + q.
Démontrer que l'endomorphisme p est le projecteur sur Ker(u -- 2 id), 
parallèlement a
Ker(u -- id)? Que dire de l'endomorphisme q ?
Soit {L' un élément de E.

(a) Préciser (u -- 2 id) (p(a:)).

(b) Déterminer un nombre réel oz tel que pour tout entier naturel k, uk @ p : 
oz""p.

(c) En déduire que exp(u) @ p : fip où @ est un réel a déterminer.
Que vaut pour tout entier [EUR > 2, (u -- id)'EUR 0 q?
Démontrer que exp(u) oq : yuoq où y est un réel a déterminer (on pourra écrire 
en justifiant
que exp(u) : exp(id) @ exp(u -- id) ).

Ecrire enfin l'endomorphisme exp(u) comme un polynôme en u.

IV. Calcul de distances à l'aide de projecteurs orthogonaux

Dans cette artie on su ose en lus ue l'es ace E est muni d'un roduit scalaire < - - > ce
7 7 7
qui lui confère une structure d'espace euclidien. On rappelle que la norme 
euclidienne associée,

notée H - H, est définie par :
Va: E E, Ha:H : \/< a:,a: >.

Si F est un sous--espace vectoriel de E, on note F L son orthogonal, et on 
appelle projecteur
orthogonal sur F, noté 191: le projecteur sur F, parallèlement a F i.

Enfin, si a: est un vecteur de E, la distance euclidienne de a: a F, notée 
d(a:, F) est le réel :

d<æ. F) = inf{Hæ -- yH \ y e F}. 3/4 17. 18. 19. 20. Théorème de la projection orthogonale : soit F un sous--espace vectoriel de E et a: un vecteur de E. Rappeler sans démonstration, la formule permettant de calculer d(a:, F) a l'aide du vecteur pF(a:). Cas des hyperplan5 : soit n un vecteur non nul de E et H l'hyperplan de E orthogonal a n, c'est a dire H : (Vect {n})% Exprimer pour a: E E, la distance d(a:, H) en fonction de < a:,n > et de Un....

Une application : dans cette question uniquement, E : M,,(R) muni de son 
produit scalaire
canonique : si A et B sont dans M,,(R), en notant Tr la trace,

< A, B > : Tr('AB).

Enfin on note H l'ensemble des matrices de M,,(R) dont la trace est nulle.

(a) Justifier que H est un hyperplan de M,,(R) et déterminer H i.
(b) Si M est une matrice de M,,(R), déterminer la distance d(M, H).

Et pour une norme non euclidienne ? Dans cette question E = R2 est muni de la 
norme infinie
notée NOO : si a: : (331,332) EUR R2, Noe(a:) : max{loefl, 13:21}. On pose F : 
Vect{(1,0)} et
a: = (1, 1). Déterminer la distance «infinie» du vecteur a: a F, c'est--à--dire 
le réel :

doe<æ. F) = inf{Noe