CCINP Maths 2 MP 2013

SESSION 2013 MPM2006

u- CONCOURS COMMUNS
IIIII

-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

'Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

1/5

Exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole

On munit le plan d'un repère orthonormé. On considère la conique % d'équation 
cartésienne :

332 -- 13y2 : l.

1. Tracer l'allure de l'hyperbole %. On précisera les tangentes aux points 
d'ordonnée nulle ainsi
que les branches infinies.

2. Ecrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d'entiers 
naturels (a:, y)

vérifiant :
(l) 332 -- 13y2 : 1
y { 200

3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d'entiers 
naturels (a:, y)
solutions du système (1). On ne demande pas d'écrire le programme sur la copie.

Problème : matrices «toutes--puissantes»

Notations et objectifs

Dans tout le texte, K désigne le corps R ou (C et p un entier naturel non nul.

On note M,,(K) le K--espace vectoriel des matrices carrées de taille p a 
coefficients dans K et
I,, la matrice unité de MAK).

On pourra confondre M1(K) et K.
Une matrice N de M,,(K) est dite nilpotente s'il existe un entier naturel 7° 
tel que N " = 0.

Si M1, . . . ,M;, sont des matrices carrées, la matrice diag(M1, . . . ,M;,) 
désigne la matrice dia--
gonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1, . . . , M ,,.

Si E est un K--espace vectoriel, on note id E l'application identité sur E.
Enfin, on note K[X] la K--algèbre des polynômes a coefficients dans K.

On dit qu'une matrice A de M,,(K) est «toute-puissante sur K» et on notera en 
abrégé TPK
si, pour tout 71 E N*, il existe une matrice B de M,,(K) telle que A : B".

On note T p(K) l'ensemble des matrices de M,,(K) toutes--puissantes sur K :

T,,(K) : {A e M,,(K) \ Vn e N* HB e M,,(K) A = En}.

L'objectif principal du sujet est d'établir le résultat suivant :
toute matrice inversible de M,,(C) est TPC.
Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre--exemples.

Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de 
la matrice A
est scindé, on peut ramener l'étude au cas des matrices de la forme Al,, + N 
avec N nilpotente.

Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c'est--à--dire de 
la forme 1}) + N avec
N nilpotente et on en déduit le théorème principal.

Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III 
utilise les résultats
des parties précédentes.

2/5

Partie I : quelques exemples
1. Le cas de la taille 1

(a) Démontrer que T1(R) : {O, +oo[.

(b) Soient 71 E N* et b : re'9 avec 7° > 0 et 9 E R. Donner les racines 
n--ièmes du nombre
complexe 19, c'est--à--dire les solutions de l'équation z" = [) d'inconnue ?: 
EUR C.

(C) En déduire T1((C).
2. Une condition nécessaire...

(a) Démontrer que si A E Tp(K), alors det A E T1(K).
(b) En déduire un exemple de matrice de M2(R) qui n'est pas TPlR.

3. ...mais pas suffisante

SoitA--(_1 0 a b

0 _ 2 . Démontrer qu'il n'existe aucune matrice B = (c ci

que A : BZ. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente 
n'est pas
suffisante.

) de Mg(R) telle

4. Un cas où A est diagonalisable

() 3 2
Soit A = --2 5 2
2 --3 0

(a) Démontrer que A est diagonalisable sur R (le détail des calculs n'est pas 
demandé).
(b) Démontrer que la matrice A est TPlR.

(c) Pour chacun des cas n = 2 et n = 3, expliciter une matrice B de Mç,(R) 
vérifiant
B" = A (on pourra utiliser la calculatrice).

5. Un exemple de nature géométrique
. --l ()
801t A _ ( 0 _1).

(a) Justifier que A est la matrice d'une rotation vectorielle dont on précisera 
une mesure
de l'angle.

(b) En déduire que A est TPlR.

6. Le cas des matrices nilpotentes

Soit N une matrice nilpotente de MAK).

(a) Déterminer le polynôme caractéristique de N , en déduire que N p = 0.

(b) Démontrer que si N est TPK, alors N est la matrice nulle.

3/5

Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé

Dans toute cette partie, A désigne une matrice de M,,(K) dont le polynôme 
caractéristique
noté XA est scindé sur K, c'est--à--dire de la forme :

!:
XA = (--1)p H(X -- &)";
i=1
avec k, 7°1, . . . ,7°;, des entiers de N* et À1, . . . , A], les valeurs 
propres de A, éléments de K.

On note 13 la base canonique de KP et u l'endomorphisme de KP dont A est la 
matrice dans la

base 13 .

Enfin, pour 2' E {l, . . . , k}, on note C',- = Ker(u -- À,- ide)" que l'on 
appelle sous--espace carac--
téristique de u associé a la valeur propre À,-.

7. Démontrer que KP : C'1 @ - - - @ C';,.
8. (a) Soit ?} un endomorphisme de KP qui commute avec u et Q un polynôme a 
coefficients
dans K. Démontrer que Ker Q(u) est stable par @.

(b) En déduire que pour tout 2' E {l, . . . , k}, le sous--espace 
caractéristique C',- est stable
par u.

On note ainsi uc, l'endomorphisme induit par u sur C,.

9. Soit @ E {l, . . . , k}. Justifier que l'application uc, -- À,idg, est un 
endomorphisme de C',-
nilpotent.

10. En déduire que la matrice A peut s'écrire sous la forme :

A : Pdiag(Àflpl + N1, . . . , ÀkÏp,, + Nk)P_1a

avec P une matrice inversible de M,,(K) et pour tout @ E {l, . . . , k}, p,- : 
dim C',- et N,- est
une matrice nilpotente de Mp,(K).

On rappelle que diag(ÀJpl + Nl, . . . ,À;,ka + N;,) désigne la matrice 
diagonale par blocs de
premier bloc À1]p1 + Nl, de deuxième bloc À21p2 + N2 et de dernier bloc À;,ka + 
N;,.

11. Démontrer que, si pour tout 2' E {l, . . .,k} la matrice À,-Ip, + N,- est 
TPK, alors A est
elle--même TPK.

Partie III : le cas des matrices unipotentes

Soit N une matrice nilpotente de M,,(K). Nous allons montrer que la matrice 
unipotente I,,+N
est TPK.

On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.

On rappelle que si f est une fonction, la notation f (a:) : o(a:p) signifie 
qu'il existe une fonction
8 tendant vers 0 en () telle que f(a:) : æp5(a:) au voisinage de 0.

4/5

12. Une application des développements limités

(a) Soit V un polynôme de R[Xl tel que V(a:) : o(a:p) au voisinage de O.
Démontrer, a l'aide d'une division euclidienne, qu'il existe un polynôme Q de 
R[Xl tel
que V = X p >< Q. (b) Soit 71 E N*. Démontrer l'existence d'un polynôme U de R[Xl tel que l'on ait, au voisinage de 0 : 1 + a: : (U(æ))" + o(a:p) (on pourra utiliser un développement limité de (l + a:)°'). (c) En déduire que, pour tout 71 E N*, il existe un polynôme Q de R[Xl tel que : 1+X=U"+Xp >< Q. 13. Applications (a) Démontrer que la matrice unipotente ]p + N est TPK. (b) Soit A E K non nul. En déduire que si A est TPK, alors la matrice ÀIp + N est TPK. 14. Le résultat annoncé (a) Conclure que toute matrice inversible de Mp(CC) est TPC. (b) Toute matrice de Mp(CC) est--elle TPC ? 15. Donner un exemple de matrice de M4(R) non diagonalisable et non inversible qui est TPR. Fin de l'énoncé 5/5