CCINP Maths 2 MP 2014

SESSION 2014 MPM2006

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

\ Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/5

Partie I : EXERCICE 1

Soit les suites réelles (un), (un) et (w.) définies par :

un--l--1 : un + 3Un
Vn E N "Un+1 : 31... + un + 410.1 et (u.../vo, wo) : (1.0.1).
wn+1 : 4Un + wn

I.1.

I.1.a Justifier sans calcul que la matrice A = EUR M3(R) est diagonalisable.

Door--\
A>+--\O--D
+--\»-l>©

I.1.b Diagonaliser la matrice A E Mg(lR).

I.1.c Déterminer la matrice A" pour tout 71 E N . On pourra utiliser la 
calculatrice.

I.2. Expliciter les termes u... un et wn en fonction de n.

Partie II : EXERCICE 2

Soit 71 un entier supérieur a 2 et E un espace vectoriel sur R de dimension n. 
On appelle
projecteur de E , tout endomorphisme p de E vérifiant p o p = p.

II.1. Soit p un projecteur de E.

II.1.a Démontrer que les sous-espaces vectoriels Ker(p) et lm(p) sont 
supplémentaires
dans E.

II.1.b En déduire que la trace de p (notée Tr (p)) est égale au rang de p (noté 
rg (p)).

II.1.C Un endomorphisme u de E vérifiant Tr (u) : rg (u) est--il nécessairement 
un projec--
teur de E ?

II.2. Donner un exemple de deux matrices A et B de M3(R) de rang 1 telles que A 
soit
diagonalisable et B ne soit pas diagonalisable. Justifier la réponse.

II.3. Soit u un endomorphisme de E de rang 1.

II.3.a Démontrer qu'il existe une base fi : (el, - - - ,en) de E telle que la 
matrice Mat5(u)
de u dans fi soit de la forme :

0 0 0.1
0 . . . () @

Mat5(u) : _ _ _ EUR MAR) où al, - - - ,an sont 71 nombres réels.
0 0 an

II.3.b Démontrer que u est diagonalisable si, et seulement si, la trace de u 
est non nulle.

II.3.C On suppose que Tr (u) : rg (u) = 1. Démontrer que u est un projecteur.

l l --l
II.3.d Soit la matrice A = 1 1 --1 EUR M3(R). Démontrer que A est la matrice 
d'un
1 l --l

projecteur de R3 dont on déterminera l'image et le noyau.

2/5

Partie III : PROBLEME

Notations et rappels

Soit 71 un entier supérieur a 1. On désigne par diag (041, - - - , o...) la 
matrice diagonale de M...,(R)
dont les coefficients diagonaux sont les réels 041, - - - , or,, dans cet 
ordre. Si M EUR M,,(R), on note
"M sa transposée.

On munit l'espace vectoriel E = R" du produit scalaire canonique noté (\ ) et 
de la norme
euclidienne H H associée. On note 8 (E) le sous--espace des endomorphismes 
symétriques de E,
c'est--à--dire l'ensemble des endomorphismes 8 de E vérifiant :

V(OE,y) EUR EZ, <8(OE) \ y) = ("L) 8(9)>-

Un endomorphisme symétrique 8 de E est dit symétrique positif (respectivement 
symétrique
défini positif) si :

Va: E E, (8(33) \ a:) > 0 (respectivement Va: E E \ {O}, (8(33) \ a:) > 0).

Une matrice symétrique S de M,,(R) est dite symétrique positive (respectivement 
symétrique
définie positive) si :

VX EUR M...(R), "XSX ; 0 (respectivement VX EUR Mn,1(llä) \ {O}, "XSX > 0).

On note S,Ï (R) (respectivement S,Ï+(R)) l'ensemble des matrices symétriques 
positives (res--
pectivement symétriques définies positives) de M,,(R).

On rappelle qu'un endomorphisme 8 de E est symétrique (respectivement 
symétrique positif,
symétrique défini positif) si, et seulement si, sa matrice dans toute base 
orthonormée de E est
symétrique (respectivement symétrique positive, symétrique définie positive).

On admet que, pour tous réels positifs al, - - - ,a...

n 1/n n
1
(U (L,-> { -- Ë a,- (inégalité arithmético--géométrique).

. n .
7,=1 'L=1

Objectif du problème

On se donne une matrice S de S,Ï (R) (ou SË+(R)) et on étudie le maximum (ou 
minimum) de
la forme linéaire A |--> Tr (AS ) sur des ensembles de matrices.

Questions préliminaires

III.1.

III.1.a Enoncer (sans démonstration) le théorème de réduction des 
endomorphismes symé--
triques de l'espace euclidien E et sa version relative aux matrices symétriques 
réelles.

III.1.b Toute matrice symétrique a coefficients complexes est--elle 
nécessairement diagonali--
sable ? On pourra par exemple considérer la matrice de M2(C) :

III.2. Soit 8 EUR 8 (E), de valeurs propres (réelles) À1, - - - ,)... rangées 
dans l'ordre croissant :
À1<À2<'"<Àn- Soit 5 = (51, - -- ,en) une base orthonormée de E telle que, pour tout @ E {l, - -- ,n}, 8,- est un vecteur propre associé a la valeur propre À,-. Pour tout vecteur a: de E, on pose : Rs(ff) =  "MM -- I,, est continue de MAR) dans 
MAR).

III.5. Justifier que, si A = (a...--) est une matrice orthogonale, alors :
V(z',j) e {1,--- ,n}2 la...-- \g 1.

111.6. En déduire que le groupe orthogonal CAR) est une partie compacte de MAR).

III.7. Soit S E S,Ï(R), de valeurs propres (positives) À1, - - - , ).... On 
pose A : diag()... - - - , )...).
Si A est une matrice orthogonale, on note T (A) le nombre réel T (A) : Tr (AS )

III.7.a Soit A E CAR). Démontrer qu'il existe une matrice orthogonale B telle 
que :
T(A) : Tr (BA) .

III.7.b Démontrer que l'application T de CAR) dans R admet un maximum sur CAR),
que l'on notera t.

III.7.c Démontrer que, pour toute matrice orthogonale A de CAR), T(A) { Tr (S), 
puis
déterminer le réel 15.

4/5

Inégalité d'Hadamard

Soit S = (S...--) E S,,Ï (R), de valeurs propres (réelles positives) À1,--- 
,)... rangées dans l'ordre
croissant :

O< À1< \ Àg< <Àn- III. 8. Démontrer l' inégalité valable pour tout S E S+(R): s> 0, on pose S8 = S + ein. Démontrer que det(Sg) < (8... + 8), puis 1 % conclure que : n n U Ài < H 8...- (inégalité d'Hadamard). i=1 i=1 Application de l'inégalité d'Hadamard : détermination d'un minimum Soit S E SË+(R), de valeurs propres 0 < À1 < < À... et A : diag()...--- ,Àn). Soit Q EUR On(R) telle que S : QA'Q. On désigne par M l'ensemble des matrices de SË+(R) de déterminant égal a l. III.12. Démontrer que, pour tout A E M, la matrice B : "QAQ est une matrice de U vérifiant : Tr (AS) : Tr (BA). III.13. Démontrer que {Tr (AS)\A E U} : {Tr (BA)\B EUR bl}, puis que ces ensembles admettent une borne inférieure que l'on notera m. III.14. Démontrer que, si B = (I)...) E U : Tr (BA) ; n(À1---Àn)1/n(b1,1---bn,n)1/n. III.15. En déduire que, pour B = (I)...) E U, Tr (BA) ; n (det(S))1/n. l III.16. Pour tout entier k tel que 1 < [EUR < n, on pose ,uk : À_ (det(S))1/n et D : diag(..., - -- ,un). !: Déterminer le réel m. Fin de l'énoncé 5/5